(完整版)關于數(shù)項級數(shù)斂散性的判定

1、 關于數(shù)項級數(shù)斂散性的判定1、問題的提出數(shù)項級數(shù)斂散性的判別問題，是數(shù)學分析的一個重要部分.數(shù)項級數(shù)，從形式上看，就是無窮多個項的代數(shù)和，它是有限項代數(shù)和的延伸，因而級數(shù)的斂散性直接與數(shù)列極限聯(lián)系在一起，其判別方法多樣，技巧性也強，有時也需要多種方法結合使用，同時，無窮級數(shù)已經(jīng)滲透到科學技術的很多領域，成為數(shù)學理論和應用中不可缺少的工具，所以研究數(shù)項級數(shù)的判定問題是很重要的.2、熟練掌握并準確應用級數(shù)的概念、性質和判定定理2.1 數(shù)項級數(shù)收斂的定義 數(shù)項級數(shù) u 收斂 數(shù)項級數(shù) u 的部分和數(shù)列收斂于 .ssnnnn=1n=1 這樣數(shù)項級數(shù)的斂散性問題就可以轉化為部分和數(shù)列的極限是否存在的問題

2、的討論，但由于sn求數(shù)列前 項和的問題比較困難，甚至可能不可求，因此，在實際問題中，應用定義判別的情況較少.n2.2 數(shù)項級數(shù)的性質 （ 1 ）若 級數(shù) u 與v 都 收斂， 則對任 意常數(shù) c,d, 級 數(shù)n(cu + dv )亦收 斂，且nnnn=1n=1n=1 (cu + dv ) = c u + d v(cu + dv )u;相反的，若級數(shù)收斂，則不能夠推出級數(shù)與nnnnnnnn=1n=1n=1n=1n=1v 都收斂.nn=1 (u v )注：特殊的，對于級數(shù) u 與 v ，當兩個級數(shù)都收斂時，必收斂；當其中一個nnnnn=1n=1n=1收斂，另一個發(fā)散時，(u v )一定發(fā)散；當兩個

3、都發(fā)散時， (u v )可能收斂也可能發(fā)散.nnnnn=1n=1 1 1 1 1( + )( + )例 1 判定級數(shù)解：因為級數(shù)與級數(shù)的斂散性.3 52nnnnn=1n=1 1 1 1 1( + )與級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂.353 5nnnnn=1n=1n=1 1 1 1 1( + )收斂，故級數(shù) 發(fā)散.因為級數(shù)發(fā)散，級數(shù)22nnnnn=1n=1n=1（2）改變、增加或去掉級數(shù)的有限個項不會改變原級數(shù)的斂散性.（3）在收斂級數(shù)的項中任意加括號，既不改變級數(shù)的斂散性，也不改變它的和.即收斂的級數(shù)在不改變各項順序的情況下，對它的各項任意加括號后，得到的新級數(shù)還是收斂的；加括號后得到的新級數(shù)發(fā)散，那么

4、原級數(shù)也是發(fā)散的.1111-+l +-+l例 2 判定級數(shù)的斂散性.2 -1 2 +1n -1n +1 11 112 2，而級數(shù) 發(fā) -=-=解：先考察級數(shù)，因為 un-1n +1 n -1n -1n -1+1n nn=1n=1散，由于加括號后得到得新級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散.（4）級數(shù)收斂的必要條件 若級數(shù) u 收斂，則limu = 0limu 0u.若，則級數(shù)發(fā)散.nnnnnnn=1n=12.3 判定定理2.3.1 級數(shù)收斂的柯西準則級 數(shù)u 收 斂n 0 $n n *e,p n *, 使 得 當 m n 以 及 , 都 有n=1u + u +l + u e .m+1m+2m+ psin 2

5、n例 1 用柯西準則判別級數(shù)證明：由于的斂散性.2nsin 2m+1 sin 2m+2sin 2m+ pu + u +l + u=+l +222m+1m+2m+ pm+1m+2m p+111111+l +=- 0n = logm np n及任意的 * , 由上式就有因此 ，對于任意的 e. 取使得 當2 e u + u +l + u n 都有u v（2）比較判別法 如果 u 和 v 是正項級數(shù)，若存在某整數(shù) n ，對一切nnnnnn=1n=1(i)若級數(shù) v 收斂，則級數(shù) u 也收斂；（ii）若級數(shù) u 發(fā)散，則級數(shù) v 也發(fā)散.nnnnn=1n=1n=1n=1等比級數(shù)和 p-級數(shù)的斂散性等比

6、級數(shù) aq= a + aq + aq +l + aq +l q 1時，收斂.npn=11例 2 判別級數(shù)的斂散性.( )n +1n41111=解：因為u，而且 p-級數(shù)收斂，由比較判別法知該級數(shù)收( )n+1n n552nn44nn2斂. u(v 0)lim =（3）比較判別法的極限形式 如果 u 和 v 是正項級數(shù)，如果l ，則nnnnvnn=1n=1n （i）當0 l 1例 3 判別級數(shù)n aa的斂散性.a -111a -1a ln a1n解：因為limntt令t = lim= lim= ln a,而正項級數(shù)發(fā)散，由比較原則nt1nt0t0n的極限形式知原級數(shù)發(fā)散.u=(4)比式判別法 如

7、果 u 為正項級數(shù),且 n+1r，unn=1n0 = + 時，或 1n+1u( )13 !n1en+1nnnnnn1+n n 式知原級數(shù)發(fā)散. 時，則uu 發(fā)散.n（i）當時，則收斂；（ii）當nn=1n=1nn例6 判別級數(shù) 的斂散性.2n +1nn1 n 解：因為lim= lim= 0 r = n-1,n = 1,2,l(9)raabe 判別法 設u，.n unnn+11n n 時有r qu 收斂；n(i)若存在q及正整數(shù)n ,使得當，則級數(shù)nn=1(ii）若存在正整數(shù)n ,使得當n n時有r 1，則級數(shù)u 發(fā)散.nnn=1(10) raabe 判別法的極限形式 設 u 是正項級數(shù)，且有l(wèi)

8、im r = r ，nnnn=1（i）若r1,則級數(shù)或 0），滿足下述兩個條件：（i）數(shù)列 u 單調(diào)遞leibniz 判別法 若交錯級數(shù)+1（unnnnn=1減；（ii）limu = 0,則級數(shù)收斂.nn4 u u 1；， 使注：用 leibniz 判別法判定u時，可以用以下幾種方法：比值法：考察是否有nnn+1un+1- u 0f (x) 差 值 法 ： 考 察 是 否 有 u； 導 數(shù) 法 ： 即 建 立 一 個 連 續(xù) 可 導 的 函 數(shù).nn+1f (n) = u (n = 1,2,k ) ，考察是否有 f (n) uuf (n) = u =下面判定u，下面我們用導數(shù)的知識判定數(shù)列單調(diào)

9、遞減.設( ) ( )，n +1 ln n +1nn+1nn( )ln n +1 - n1( ) ( )( ) ( )( )( )-1 u f n 0 f n， 0的斂散性.例 11 判定級數(shù)panan=11，即x( ) 0,2 sin kx sin nx解：由于當 xp 時，有的部分和數(shù)列有界，而數(shù)列sink=1n=1211 ( ) 0 單調(diào)遞減，且lim= 0，故由 dirichlet 判別法知，原級數(shù)收斂. ana nan對于交錯級數(shù)斂散性判定問題，應先判定其是否絕對收斂，即若 u 收斂，則 u 收斂;若不nnn=1n=1是絕對收斂，則根據(jù) leibniz 判別法，abel 判別法，di

10、richlet 判別法判定其是否條件收斂.3、巧妙判別數(shù)項級數(shù)斂散性以上介紹了一些判別數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法，但是在實際的應用中往往需要多種方法結合，且有時還有一定的技巧性，下面結合一些實例列舉一些常用的判別方法和技巧.3.1 等價無窮小替換的方法判斷級數(shù)斂散性 應用定理：設 u 和 v 是兩個正項級數(shù)，且當n u時 ，u 和v 為等價的無窮小量，則nnnnnn=1n=1n=1和 v 的斂散性保持一致.nn=1u vlim = 1 0證明：由于當n時，u 和 為等價的無窮小量，即，由比較判別法的極限形nvnnnn式可知級數(shù) u 和級數(shù) v 同時收斂或同時發(fā)散.nnn=1n=11( ) -1

11、ln 1+n n 例 1 判定級數(shù)的斂散性.( )( )4n - 2 4n +1n=111( ) ( ) 1-1 ln1+ -1 ln1+ nn1 n n ( ), n ，而級數(shù)n=u =解：設 u，則( )( )4n 4n24n - 2 4n +14n - 2 4n +1n( )( )n6 1收斂，所以原級數(shù)絕對收斂.3n2n=13.2 運用常用不等式判斷級數(shù)的斂散性( )常用的不等式有：ln n n，ln 1+ 1+ xx x ， x 1n +1 - ln例 2 判定級數(shù)的斂散性. nn n=1( )ln 1+ x x解：此題我們可以利用不等式，1n +1 1= + lnn1111= -

12、ln= + ln1- 0a例 3 設常數(shù)l，級數(shù)2 收斂，判斷級數(shù)nn2+ ln=1n=1 11l +解：因為級數(shù) a2 收斂，并且級數(shù)也收斂，所以級數(shù)a2收斂，n2+1n+nn2n=1n=111 1 a，由比較判別法可知，級數(shù)n= a a +又因為2收斂，n+2+llln2ln+n+n2n2n2故原級數(shù)絕對收斂.3.4 拉格朗日微分中值定理判斷級數(shù)斂散性 11( ) ( )0,1 f 內(nèi)可導，且其導函數(shù)有界，則級數(shù) - f 應用定理：設 f x 在 絕對收n + kn + k n=112斂.7 ( ) ( )( )0,1 0x 0,1，對于一切 ，都有證明：因為 f x 在內(nèi)可導，且其導函數(shù)

13、有界，所以存在 m( ) f x m ,于是由拉格朗日中值定理得( ) 1 1 11 -m k k( ) - = x -21fff( )( )，n + kn + kn + k n + kn + k n + k121212 1 11 - 由于級數(shù) ( )( )收斂，所以級數(shù) ff 絕對收斂.n + k n + k+ kn + kn n=112n=11211n +1sin- sin的斂散性.例 4 判定級數(shù) n +10n=1111( )( )( )f x= sinf x = - cosk = 10,k = 1解：設函數(shù) f x，則，知有界，令，由于滿足xx2x1211sin- sin上述定理條件，

14、故級數(shù)收斂. n +10n +1n=13.5 對數(shù)判別法判斷級數(shù)斂散性1lnu0，使得當n n 時， 1+a，則級數(shù)u應用定理：若級數(shù) u 為正項級數(shù)，若有anln nn0nn=1n=11lnu n 1收斂，若有n時，則級數(shù) u 發(fā)散.nln n0nn=11ln11un n 時，不等式 1+a證明：如果成立，則有u.由于級數(shù)收斂，所以nln nn a1+0n a1+nn=11lnu 1由比較判別法知級數(shù) u 收斂.同理可證，當不等式成立時，則級數(shù) u 發(fā)散.nln nnnn=1n=1aln ( )n 1的斂散性.例 5 判定級數(shù)a2nn=112nlnlnnln 2 - ln n ln aln

15、nnualn n= ln 2- ln a，解：由于nln nln nln nnx1lim ln 2- ln a = ln 2 lim- ln a = ln 2 lim - ln a = +由洛必達法則可知：1ln nln xn+n+nx8 n 0，存在n ，使得當n n 時，ln 2- ln a 1+a ，因而根據(jù)以上定理原級數(shù)所以，對aln n00發(fā)散.3.6 泰勒展開式判斷級數(shù)的斂散性1n- 1+ 例6 判別級數(shù) e的斂散性. n n=111 1 -1111 nln1+ = e - en+o= e -1+= e - ene 1- 1-+ o 解：因為u n n2n2 n 22n n n n

16、e ( )en .由于級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散.2n2nn=13.7 拆項法判斷級數(shù)的斂散性將級數(shù)的一般項運用等價變形、三角基本公式、有理化等方法拆成幾項之差也是判別級數(shù)收斂的一種常用方法.( )sin na - nsina2例7 判別級數(shù)的斂散性.n2n=1( )( )( )a 2sin na - nsina sin nasina1 1，由于級數(shù) 收斂，22=-解：因為，而且nn2n2nnn222n=1( )sin nan2sin2aa pa p k時，= k根據(jù)比較判別法知級數(shù)收斂；而且，當時，該級數(shù)收斂；當nn=1n=1a pa p k時，原級數(shù)發(fā)散.= k該級數(shù)發(fā)散.由此可知，當時，原

17、級數(shù)收斂；當3.8 gauss 判別法判斷級數(shù)的斂散性m1()a0 n = 1,2,l= + + ol0 1時收斂；當若a，且，e，則級數(shù) a 當 lnnan n e n1+n+1n=1收斂，對m 1發(fā)散.l( ) ()p p +1 l p + n -1 1p q 的斂散性.( 0, 0)例8 判別級數(shù)n!nqn=1解：對于這個級數(shù)來說， 1 an+1 n +1 qp -1 1 q+1q - p +1= 1+ 1+= 1+ o ，nap + n n n n n n 2n+1所以它在q p 時收斂，在q p 時發(fā)散.3.9 運用函數(shù)判定數(shù)項級數(shù)的斂散性9 以前討論的方法判定級數(shù)斂散性都與數(shù)列極限

18、緊密聯(lián)系，這種方法利用函數(shù)來研究數(shù)項級數(shù).給出了利用函數(shù)的導數(shù)和極限判別數(shù)項級數(shù)斂散性的的方法. 1 ( )應用定理 1 若級數(shù)f 收斂，則lim f x = 0 n x0n=1 1 1 證 明 ： 已 知 級 數(shù)f 收 斂 ， 有 級 數(shù) 收 斂 的 必 要 條 件 得lim f = 0， 因 而 n n xn=11( ) lim f x = lim f= 0 . n x0n1-1 cos例 9 判別級數(shù) n enp 的斂散性.nn=1-1 1 1epxlim n e -1 = lim= 1，又由于 lim coslim f 解：由于不存在，所以不存在，由定理nx2 n nx0x0x1 的逆否命題可知，級數(shù)不收斂.( ) 1( )應用定理 2 如果lim f x存在，絕對收斂，則lim f x = 0.f n x0x0n=1( ) ( )= 0存在二階導數(shù)，且 f 0 = f 0 = 0 1應用定理 3 如果函數(shù)在 x，則f 絕對收斂. n n=1( )( )( ) 1應用定理 4 如果lim f x存在，而且lim f x = lim f x = 0，則絕對收斂.f n x0x0x0n=1證明：首先作輔助函數(shù)0x = 0g(x) = (x) x 0 f( )( ) ( )( )f x( )0 = 0 g 0 = lim= lim f x = 0考察g