2019-2020學年度九年級數(shù)學培優(yōu)講義：相似三角形的性質(zhì)及應用

1、 2019-2020學年度九年級數(shù)學培優(yōu)講義：相似三角形的性質(zhì)及應用【學習目標】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運用性質(zhì)進行有關(guān)計算；2、通過典型實例認識現(xiàn)實生活中物體的相似，能運用圖形相似的知識解決一些簡單的實際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學問題）.【要點梳理】要點一、相似三角形的應用1.測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.要點詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標桿測量法2.測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。1如甲圖所示，通常可先測量圖中的線段 dc、bd、ce的距離（長度）

2、，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出 ab的長.2如乙圖所示，可先測 ac、dc 及 de 的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算 ab的長.要點詮釋：1比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺= 圖第 1 頁 共 11 頁 上距離/ 實際距離;2太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應高的比;3視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角要點二、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.2. 相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線

3、的比都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.3. 相似三角形周長的比等于相似比.，則由比例性質(zhì)可得：4. 相似三角形面積的比等于相似比的平方.，則分別作出與的1212bc adk bck ads高 和，則=k2abc11sabc b c a d b c a d22第 2 頁 共 11 頁 要點詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.【典型例題】類型一、相似三角形的應用1. 在斜坡的頂部有一鐵塔 ab，b是 cd的中點，cd是水平的，在陽光的照射下，塔影 de留在坡面上。已知鐵塔底座寬 cd=12m，塔影長 de=18m，小明和小華的身高都是

4、 1.6m，同一時刻，小明站在點 e處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為 2m和 1m，那么塔高 ab為（）.a.24mb.22mc.20md.18m【答案】 a.dn 6.1=【解析】過點d做 dncd交光線ae于點n，則=8.0 ,dn=14.4，de 2第 3 頁 共 11 頁 又am:mn=1.6:1，am=1.6mn=1.6bd=1.66=9.6(m).塔高 ab=am+dn=14.4+9.6=24(m)，所以選 a.【總結(jié)升華】解決本題的難點是把塔高的影長分為在平地和斜坡上兩部分；關(guān)鍵是利用平地和斜坡上的物高與影長的比得到相應的部分塔高的長度舉一反三：

5、【變式】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下 1.5m寬的亮區(qū)de.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離ce=1.2m，窗口高ab=1.8m，求窗口底邊離地面的高度 bc.第 4 頁 共 11 頁 【答案】作 efdc交 ad于 f.adbe，又，.abef， adbe，四邊形 abef是平行四邊形，ef=ab=1.8m.m.2. （2015 春 江津區(qū)校級月考）如圖，直立在 b 處的標桿ab=2.4m，直立在 f 處的觀測者從 e 處看到標桿頂 a、樹頂 c 在同一條直線上（點 f，b，d 也在同一條直線上）已知 bd=8m，fb=2.5m，人高 ef=1.5m，求樹高 cd【答案與解析】解

6、：過e 作 ehcd 交 cd 于 h 點，交 ab 于點 g，如下圖所示：由已知得，effd，abfd，cdfd，第 5 頁 共 11 頁 ehcd，ehab，四邊形 efdh 為矩形，ef=gb=dh=1.5 米，eg=fb=2.5 米，gh=bd=8 米，ag=abgb=2.41.5=0.9 米，ehcd，ehab，agch，aegceh， = ， =，解得：ch=3.78 米，dc=ch+dh=3.78+1.5=5.28 米答：故樹高 dc 為 5.2 米【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形在實際問題中的運用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形類型二、相似三角形的性質(zhì)3.如圖，直角三角

7、形紙片的兩直角邊長分別為 6、8，按如圖那樣折疊，使點 a與點 b重合，折痕為 de，則 s ：s 等于（ ）.bcebdea. 2：5b14:25c16:25d. 4:21第 6 頁 共 11 頁 【思路點撥】相似三角形的面積比等于相似比的平方，但是一定要注意兩個三角形是否相似.【答案】b.【解析】由已知可得 ab=10，ad=bd=5，設 ae=be=x, 則 ce=8-x,在 rtbce 中，x -(8-x) =6 ,x= ,222由adeacb 得，s ：s =（64-25-25）：25=14:25，所以選 b.bcebde【總結(jié)升華】關(guān)鍵是要確定哪兩個是相似三角形.舉一反三【變式】在

8、銳角abc 中，ad,ce 分別為 bc,ab 邊上的高，abc 和bde 的面積分別等于 18 和 2，de=2,求 ac 邊上的高.【答案】過點 b 做 bfac,垂足為點 f，ad,ce 分別為 bc,ab 邊上的高，adb=ceb=90，又b=b，第 7 頁 共 11 頁 rtadbrtceb,bd ab=be cbbd be=ab cb,即且b=b，ebdcba,s2de2 1,bed = = =s18 9 ac bcade 1,=ac 3又de=2，ac=6，1= ac bf =18，bf=6.s2abc4.（2015齊齊哈爾）如圖，正方形 abcb 中，ab=1ab 與直1線 l

9、 的夾角為 30，延長 cb 交直線 l 于點 a ，作正方形 a b c b ，111 1 1 2延長 c b 交直線 l 于點 a ，作正方形 a b c b ，延長 c b 交直線 l1 222 2 2 32 3于點 a ，作正方形 a b c b ，依此規(guī)律，則 a a =33 3 3 42014 2015第 8 頁 共 11 頁 【思路點撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得到 a b = ，aa =2，同理：a a = 2（ ） ，a a =221 112 33 4（ ） ，從而找出規(guī)律答案即可求出3【答案與解析】2（ ）2014解：四邊形 abcb 是正方形，1ab=ab ，abcb ，11aba c，1ca a=30，1a b = ，aa =2，1 11a b =a b = ，1 21 1a a =2 ，1 2同理：a a =2（ ） ，22 3a a =2（ ） ，33 4a a =2（ ） ，nn n+1a a =2（ ） ，20142014 2015故答案為：2（ ） 2014【總結(jié)升華】本題是相似性質(zhì)的運用與找規(guī)律相結(jié)合的一道題，要注意從特殊到一般形式的變換規(guī)律.第 9 頁