極坐標(biāo)第一課時(shí)

1、極坐標(biāo) 第一課時(shí)第一課時(shí) 平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)p與坐標(biāo)與坐標(biāo)(a ,b)是是 _對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的. p(a,b) . x y o a b 平面直角坐標(biāo)系是最簡(jiǎn)單平面直角坐標(biāo)系是最簡(jiǎn)單 最常用的一種坐標(biāo)系，但不是最常用的一種坐標(biāo)系，但不是 唯一的一種坐標(biāo)系唯一的一種坐標(biāo)系. 有時(shí)用別有時(shí)用別 的坐標(biāo)系比較方便的坐標(biāo)系比較方便. 我們先看下面的問題我們先看下面的問題. . 還有什么坐標(biāo)系呢？還有什么坐標(biāo)系呢？ 與角與角終邊相同的角：終邊相同的角： = =+2+2k, ,kzz 一一一一 以南泉路為以南泉路為x軸軸 以濰坊路為以濰坊路為y軸軸. 請(qǐng)問：去源深請(qǐng)問：去源深 體育場(chǎng)怎么走

2、？體育場(chǎng)怎么走？ 從這向東從這向東 走走2000米。米。 請(qǐng)問：去源深請(qǐng)問：去源深 體育場(chǎng)怎么走？體育場(chǎng)怎么走？ 請(qǐng)分析上面這句話，他告訴了問路人什么？請(qǐng)分析上面這句話，他告訴了問路人什么？ 從 這 向 東 走從 這 向 東 走 2 0 0 0 米 ！米 ！ 出發(fā)點(diǎn)出發(fā)點(diǎn) 方向方向距離距離 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示 一點(diǎn)的位置一點(diǎn)的位置 這種用這種用方向方向和和距離距離表示平面上一點(diǎn)表示平面上一點(diǎn) 的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。 它直觀、方便它直觀、方便 請(qǐng)大家回憶直角坐標(biāo)系的建立過請(qǐng)大家回憶直角坐標(biāo)系的建立

3、過 程，試著建立一個(gè)用距離與角度程，試著建立一個(gè)用距離與角度 確定平面上一點(diǎn)位置的坐標(biāo)系。確定平面上一點(diǎn)位置的坐標(biāo)系。 試一試？試一試？ 一、極坐標(biāo)系的概念：一、極坐標(biāo)系的概念： 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)o，叫做，叫做極點(diǎn)極點(diǎn)。 引一條射線引一條射線ox，叫做，叫做極軸極軸。 再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位 和和角度單位角度單位及及它的正它的正 方向方向（通常取逆時(shí)針（通常取逆時(shí)針 方向）。方向）。 這樣就建立了一個(gè)這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系。 x o 二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定 x o m 對(duì)于平面上任意一點(diǎn)對(duì)于平面上任意一點(diǎn)m，

4、 用用 表示線段表示線段om的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度， 用用 表示從表示從ox到到om 的的 角度，角度， 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)m的的極徑極徑， 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)m的的極角極角，有序，有序 數(shù)對(duì)數(shù)對(duì)（ ， ）就叫做就叫做m的的 極坐標(biāo)。極坐標(biāo)。 特別強(qiáng)調(diào)：特別強(qiáng)調(diào)： 表示線段表示線段om的長(zhǎng)度，即點(diǎn)的長(zhǎng)度，即點(diǎn)m到到 極點(diǎn)極點(diǎn)o的距離；的距離； 表示從表示從ox到到om的角度，即的角度，即 以以ox（極軸）為始邊，（極軸）為始邊，om 為終邊的角。為終邊的角。 題組一題組一：說出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)：說出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo) a b c d e f g o x 4 6 5 3 5 3 4 2 在同一極坐標(biāo)系中在同一極坐

5、標(biāo)系中, ,有如下極坐標(biāo)：有如下極坐標(biāo)： 4, 4,2, 4,4, 4,2 6666 1：這些極坐標(biāo)之間有何異同？：這些極坐標(biāo)之間有何異同？ 2：這些極角有何關(guān)系？：這些極角有何關(guān)系？ 3：這些極坐標(biāo)所表示的點(diǎn)有什么關(guān)系：這些極坐標(biāo)所表示的點(diǎn)有什么關(guān)系? 極徑相同極徑相同，極角不同。，極角不同。 極角的始邊相同，終邊也相同，極角的始邊相同，終邊也相同， 即即:它們是它們是終邊相同的角終邊相同的角。 它們表示同一個(gè)點(diǎn)。它們表示同一個(gè)點(diǎn)。 探討：探討： 平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？ 若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多少種表示方法？ 坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？坐

6、標(biāo)不唯一是由誰引起的？ 不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？ 想一想？想一想？ 三、點(diǎn)的極坐標(biāo)的統(tǒng)一表達(dá)式三、點(diǎn)的極坐標(biāo)的統(tǒng)一表達(dá)式: x o m 特別地：特別地：極點(diǎn)極點(diǎn)o的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為0,r 一般地：一般地：極坐標(biāo)極坐標(biāo) 與與 表示同一個(gè)點(diǎn)表示同一個(gè)點(diǎn) , ,2k kz (3,0)(6,2 )(3,) 2 45 (5,)(3,)(4, ) 36 5 (6,) 3 abc def g 題組二：在極坐標(biāo)系里描出下列各點(diǎn)題組二：在極坐標(biāo)系里描出下列各點(diǎn) 6 5 3 5 3 4 2 ab c d e f g o x 四、四、1、負(fù)極徑的定義、負(fù)極徑的定義 說明

7、：一般情況下，極徑都是正值；說明：一般情況下，極徑都是正值； 在某些必要情況下，極徑也可以取在某些必要情況下，極徑也可以取 負(fù)值。負(fù)值。 對(duì)于點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)m（ ， ）負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定：負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定： 1作射線作射線op，使，使 xop= 2在在op的反向延長(zhǎng)的反向延長(zhǎng) 線上取一點(diǎn)線上取一點(diǎn)m，使，使 om = o x p m o x p = /4 m 四、四、2、負(fù)極徑的實(shí)例、負(fù)極徑的實(shí)例 在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn) m（3， /4）的位置的位置 1作射線作射線op，使，使 xop= /4 2在在op的反向延長(zhǎng)的反向延長(zhǎng) 線上取一點(diǎn)線上取一點(diǎn)m，使，使 om = 3 說出下圖中當(dāng)極徑取負(fù)

8、值時(shí)各點(diǎn)的極坐標(biāo)：說出下圖中當(dāng)極徑取負(fù)值時(shí)各點(diǎn)的極坐標(biāo)： a a b b c c d de e o o x x 2 6 12 11 12 23 2 3 4 5 四、四、3、關(guān)于負(fù)極徑的思考、關(guān)于負(fù)極徑的思考 “負(fù)極徑負(fù)極徑”真是真是“負(fù)負(fù)”的？的？ 根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當(dāng)然是正根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當(dāng)然是正 的?，F(xiàn)在所說的的?，F(xiàn)在所說的“負(fù)極徑負(fù)極徑”中的中的“負(fù)負(fù)”到底到底 是什么意思？是什么意思？ 把負(fù)極徑時(shí)點(diǎn)的確定過程，與正極徑時(shí)把負(fù)極徑時(shí)點(diǎn)的確定過程，與正極徑時(shí) 點(diǎn)的確定過程相比較，看看有什么相同，有點(diǎn)的確定過程相比較，看看有什么相同，有 什么不同？什么不同？ ？ 四、四、4

9、、正、負(fù)極徑時(shí)，點(diǎn)的確定過程比較、正、負(fù)極徑時(shí)，點(diǎn)的確定過程比較 o x p o x p 1作射線作射線op，使，使 xop= /4 2在在op的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) m，使，使 om = 3 1作射線作射線op，使，使 xop= /4 2在在op的上取一點(diǎn)的上取一點(diǎn)m，使，使 om = 3 m 畫出點(diǎn)畫出點(diǎn) （3， /4） 和（和（3， /4） 給定給定,在極坐標(biāo)系中描點(diǎn)的方法：在極坐標(biāo)系中描點(diǎn)的方法：先按極角先按極角 找到找到極徑所在的射線極徑所在的射線，后，后按極徑的正負(fù)和數(shù)值按極徑的正負(fù)和數(shù)值 在這條射線或其反向延長(zhǎng)線上描點(diǎn)。在這條射線或其反向延長(zhǎng)線上描點(diǎn)。 m 四、

10、四、5、負(fù)極徑的實(shí)質(zhì)、負(fù)極徑的實(shí)質(zhì) 從比較來看，負(fù)極徑比從比較來看，負(fù)極徑比 正極徑多了一個(gè)操作，將射正極徑多了一個(gè)操作，將射 線線op“反向延長(zhǎng)反向延長(zhǎng)”。 o x p m o x p m 而反向延長(zhǎng)也可以看成而反向延長(zhǎng)也可以看成 是旋轉(zhuǎn)是旋轉(zhuǎn) ，因此，所謂因此，所謂“負(fù)負(fù) 極徑極徑”實(shí)質(zhì)是實(shí)質(zhì)是管方向管方向的。這的。這 與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致， 用用“負(fù)負(fù)”表示表示“反向反向 ”。 負(fù)極徑小結(jié)：負(fù)極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨?fù)極徑變?yōu)樨?fù)，極角增加極角增加 。 練習(xí)：寫出點(diǎn)練習(xí)：寫出點(diǎn) 的負(fù)極徑的極坐標(biāo)的負(fù)極徑的極坐標(biāo)（6， ） 6 答：（答：（6， +） 6 或（或（6， +

11、） 6 11 特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時(shí)），特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時(shí)）， 認(rèn)為認(rèn)為 0 。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。 五、極坐標(biāo)系下點(diǎn)的極坐標(biāo)五、極坐標(biāo)系下點(diǎn)的極坐標(biāo) o x p m 探索點(diǎn)探索點(diǎn)m（3， /4）的）的 所有極坐標(biāo)所有極坐標(biāo) 1極徑是正的時(shí)候：極徑是正的時(shí)候： 4 23 k， 2極徑是負(fù)的時(shí)候：極徑是負(fù)的時(shí)候： ) 4 23 k，（ 六、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的六、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的 對(duì)應(yīng)情況對(duì)應(yīng)情況 1給定（給定（ , ）,就可以在就可以在 極坐標(biāo)極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的平面內(nèi)確定唯一的 一點(diǎn)一點(diǎn)m。 2給定平面

12、上一點(diǎn)給定平面上一點(diǎn)m，但，但 卻有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對(duì)卻有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對(duì) 應(yīng)。應(yīng)。 原因在于：極角有無數(shù)個(gè)。原因在于：極角有無數(shù)個(gè)。 o x p m (,) 一般地一般地,若若(,)是一點(diǎn)的極坐標(biāo)是一點(diǎn)的極坐標(biāo),則則 (,+2k)、,+(2k+1)都可以都可以 作為它的極坐標(biāo)作為它的極坐標(biāo). 如果如果限定限定0,02或或 , 那么除極點(diǎn)外那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就 可以可以一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)了了. 2.在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中,與與(,)關(guān)于極軸對(duì)稱關(guān)于極軸對(duì)稱 的點(diǎn)是的點(diǎn)是( ) a.(,) b.(,) c.(,) d.(,) c d 題組三題組三 1. 在極坐

13、標(biāo)系中，與點(diǎn)在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)(3, )重合重合 的點(diǎn)是的點(diǎn)是( ) 6 a.(3, ) b. (3, ) c. (3, ) d. (3, ) 6 6 6 5 6 5 3.在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中,與點(diǎn)與點(diǎn)(8, )關(guān)關(guān) 于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn) 的一個(gè)坐標(biāo)是的一個(gè)坐標(biāo)是 ( ) 6 a.(8, ) b. (8, ) c. (8, ) d.(8, ) 6 5 6 6 6 5 a 六、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的區(qū)別六、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的區(qū)別: : 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo) 極極 坐坐 標(biāo)標(biāo) 表示形式表示形式 與平面內(nèi)點(diǎn)與平面內(nèi)點(diǎn) 的對(duì)應(yīng)關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系 , 0,rxyr、 , x y xyr、 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)

14、應(yīng)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng) )2 , 0, 0 延展練習(xí)延展練習(xí):在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)點(diǎn)a的極坐標(biāo)是的極坐標(biāo)是 (規(guī)定規(guī)定: )則則 (1)點(diǎn)點(diǎn)a關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是的極坐標(biāo)是_ (2)點(diǎn)點(diǎn)a關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是的極坐標(biāo)是_ (3)點(diǎn)點(diǎn)a關(guān)于過極點(diǎn)且與極軸垂直的直線關(guān)于過極點(diǎn)且與極軸垂直的直線對(duì)稱對(duì)稱 的點(diǎn)的極坐標(biāo)是的點(diǎn)的極坐標(biāo)是_ 11 3, 6 7 3, 6 5 3, 6 3, 6 )2 , 0, 0 33一點(diǎn)的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？一點(diǎn)的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？ 小結(jié)小結(jié) 11建立一個(gè)極坐標(biāo)系需要哪些要素建立一個(gè)極坐標(biāo)系需要哪些要素 極點(diǎn)；極

15、軸；長(zhǎng)度單位；角度單位和它極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位和它 的正方向。的正方向。 22極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？ 無數(shù)，極徑有正有負(fù)；極角有無數(shù)個(gè)。無數(shù)，極徑有正有負(fù)；極角有無數(shù)個(gè)。 有。（有。（，2 2k+） 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 第二課時(shí)第二課時(shí) 思考？思考？ 平面內(nèi)一點(diǎn)平面內(nèi)一點(diǎn)m的直角坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)是 ， 其極坐標(biāo)如何表示其極坐標(biāo)如何表示? 點(diǎn)點(diǎn)q的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，其直角坐，其直角坐 標(biāo)如何表示？標(biāo)如何表示？ )3, 1 ( ) 3 2 ,5( 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, 以原點(diǎn)以原點(diǎn) 作為極點(diǎn)作為

16、極點(diǎn),x軸的正半軸作軸的正半軸作 為極軸為極軸, 并且兩種坐標(biāo)系并且兩種坐標(biāo)系 中取相同的長(zhǎng)度單位。中取相同的長(zhǎng)度單位。 點(diǎn)點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為的直角坐標(biāo)為(1, 3) ox y (1, 3)m 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)m的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(,) 3 1 3 tan 231 22 ）（ ) 3 , 2( m 平面內(nèi)一點(diǎn)平面內(nèi)一點(diǎn)m的直角坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)是 ， 其極坐標(biāo)如何表示其極坐標(biāo)如何表示? 點(diǎn)點(diǎn)q的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，其直角坐，其直角坐 標(biāo)如何表示？標(biāo)如何表示？ )3, 1 ( ) 3 2 ,5( ) 2 35 , 2 5 (q答案：答案：) 3 , 2( m 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)m的直角坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)是 (x,

17、y) 極坐標(biāo)是極坐標(biāo)是 (,) 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式： )0(tan, 222 x x y yx 直直化化極極： sin,cos yx極化直：極化直： 1、極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合; 2、極軸與直角坐標(biāo)系的、極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合軸的正半軸重合; 3、兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同、兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同,直角坐標(biāo)化直角坐標(biāo)化 極坐標(biāo)時(shí)，先確定極坐標(biāo)時(shí)，先確定 的值，再確定的值，再確定 所所 在的象限，求出符合條件的極角。在的象限，求出符合條件的極角。 tan 互化公式的三個(gè)前提條件：互化公式的三個(gè)前提條件： 例例1：互化

18、下列直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)：互化下列直角坐標(biāo)與極坐標(biāo) 直角坐直角坐 標(biāo)標(biāo) 極坐標(biāo)極坐標(biāo) )3, 3( ) 1, 3( )0 ,5( 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo) 極坐標(biāo)極坐標(biāo) ) 6 , 4( ) 2 , 1 ( ), 3( )2 ,32()1, 0( ) 0 , 3( ) 6 5 , 32( ) 6 7 , 2( )0 , 5( 練習(xí)練習(xí)1：已知下列點(diǎn)的極坐標(biāo)，求它們：已知下列點(diǎn)的極坐標(biāo)，求它們 的直角坐標(biāo)。的直角坐標(biāo)。 ) 6 , 3( a) 2 , 2( b) 2 , 1( c ) 4 , 2 3 ( d) 4 3 , 2( e 練習(xí)練習(xí)2: 已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo), 求它們求它們 的極坐標(biāo)。的

19、極坐標(biāo)。 )3, 3( a)3, 1(b )0 , 5(c )2, 0( d )3, 3( e ox a b 解：解： 用余弦定理求用余弦定理求 ab的長(zhǎng)即可。的長(zhǎng)即可。 例例2：已知兩點(diǎn)：已知兩點(diǎn) ， 求兩點(diǎn)間的距離。求兩點(diǎn)間的距離。 ) 3 , 2( a ) 2 , 3( b 6 aob 已知極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)已知極坐標(biāo)系中兩點(diǎn) ， 如何求線段如何求線段|pq|的長(zhǎng)？的長(zhǎng)？ ) 6 ,3( p ) 2 , 2( q 推廣：極坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)推廣：極坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn) 的距離公式：的距離公式： ),(),( 2211 qp )cos(2|pq| 2121 2 2 2 1 19| pq 探索？探索？ 化成極

20、坐標(biāo)方程。：把直角坐標(biāo)方程例03 yx . 4 0sincos0 0sincos 0sincos r ， 或 解：解： 化成直角坐標(biāo)方程。：把極坐標(biāo)方程例2sin4 22 a 2sin2sin 0 22422 aa ，所確定的極點(diǎn)在曲線上 xyayx a 2 2 22 2 2 2 2 cossin2 解：解： 化成直角坐標(biāo)方程。：把極坐標(biāo)方程例cos45 為半徑的圓。為圓心，表示的曲線是以 即 程，所確定的極點(diǎn)在滿足方 202cos4 42 4cos4 0 2 2 222 yx xyx 解：解： 的圓的極坐標(biāo)方程。半徑是的極坐標(biāo)是：求圓心例aac,0 ,6 ,m x o a 0 , a 22

21、2 ayax sin cos y x cos20 sincos 222 2 a aa 或 根據(jù) 中包含在曲線cos20a cos2 a為所求曲線的極坐標(biāo)方程 解法一：普通方程：解法一：普通方程： ,m x o a 0 , a 解法二：解法二： cos2 cos20 ,2 2 , 0 ,cos22,90 a aaao aaoaamo 為所求曲線的極坐標(biāo)方程 也滿足和點(diǎn)極點(diǎn) 3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式 小小 結(jié)結(jié) 1、極坐標(biāo)系的四要素、極坐標(biāo)系的四要素 2、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)的條件、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)的條件 極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角

22、度單位 及它的正方向。及它的正方向。 ) 0(tan, 222 x x y yx sin,cos yx )2 , 0, 0 圓的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程 第三課時(shí)第三課時(shí) 曲線的方程的本質(zhì)曲線的方程的本質(zhì) 02, 1, 0432 222 yxyxyx 如如橢橢圓圓，雙雙曲曲線線，拋拋物物線線 ，直直線線，圓圓，曲曲線線它它們們所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的方方程程 曾曾學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)過過這這些些在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下，我我們們 方程。這個(gè)等式就叫做曲線的 滿足的等式，把意點(diǎn)的坐標(biāo) 曲線上任曲線方程的本質(zhì)其實(shí)是 ),( yx 所所滿滿足足的的等等式式任任意意點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo) 是是求求曲曲線線上上因因此此，求求

23、曲曲線線的的方方程程就就 ),(yx 以此類推以此類推曲線的極坐標(biāo)方程是什么？曲線的極坐標(biāo)方程是什么？ 如何來求極坐標(biāo)方程？如何來求極坐標(biāo)方程？ 所滿足的等式意點(diǎn)的極坐標(biāo) 曲線上任曲線的極坐標(biāo)方程的是 ),( 怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？ 下結(jié)論下結(jié)論 建立建立極坐標(biāo)極坐標(biāo)系系 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)（ , ） 找找 , 的的關(guān)系關(guān)系 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) f( , )=0 1 22 yx cos ,sinxy 1.1例例 已已知知圓圓的的圓圓心心在在原原點(diǎn)點(diǎn)，半半徑徑為為 ，求求它它的的 極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程 ( , ) ( , )x y 2 1y 2 2 解解：在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下，滿滿

24、足足條條件件 的的圓圓的的方方程程為為x x ( , ) 又又極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程是是曲曲線線上上 任任意意點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足的的關(guān)關(guān)系系式式 根根據(jù)據(jù)前前面面直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)與與 極極坐坐標(biāo)標(biāo)的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化公公式式 1 此此圓圓的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為 2 1(1) 剛才的求圓的極坐標(biāo)方程的解題剛才的求圓的極坐標(biāo)方程的解題 思想是什么？它是如何實(shí)施的？思想是什么？它是如何實(shí)施的？ 思考思考 cos ,sinxy ( ,0)(0).ac aa 半半徑徑為為 的的圓圓的的圓圓心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為 求求它它的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程。 222 222 () cos ,sin (cos)(sin ) 2 co

25、s xaya xy aa a 解解：直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得 此此圓圓的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為 牛牛 刀刀 小小 試試 練習(xí)：求下列圓的極坐標(biāo)方程練習(xí)：求下列圓的極坐標(biāo)方程 ()中心在極點(diǎn)，半徑為中心在極點(diǎn)，半徑為r； ()中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a； ()中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a； ()中心在中心在(a, )，半徑為 ，半徑為a r 2acos 2asin 0 cos()a a o ),(ac x sin (4) 練習(xí)：說明下列極坐標(biāo)方程表示什么曲線 （） cos( -) 4 (2) cos(- ) 3 (3) 3 2 6 2)5(），半徑

26、為，圓心在（ 22 3. (1)(2)(1)2 (2)10cos (3)2sin (4)2sin() 4 xy 例例 指指出出下下列列圓圓的的圓圓心心以以及及半半徑徑 轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系 下的圓方程下的圓方程 22 22 230 20 xyxy xy xy x （）直角坐標(biāo)方程的極坐標(biāo) 方程為 （）直角坐標(biāo)方程 的極坐標(biāo) 方程為 （）直角坐標(biāo)方程的極坐標(biāo) 方程為 （）直角坐標(biāo)方程的極坐標(biāo) 方程為 例： cos3 sin0 cossin10 3 cos3 5), 2 5 , 2 35 ( 25) 2 5 () 2 35 ( 535 sin5cos35 sin5cos35 22 22

27、 2 半徑是所以圓心為 化為標(biāo)準(zhǔn)方程是 即化為直角坐標(biāo)為 得兩邊同乘以解： yx yxyx 5 3co 3 s5sin已知一個(gè)圓的方程是 求圓心坐標(biāo) 例 ： 和半徑。 (1)曲線的極坐標(biāo)方程概念曲線的極坐標(biāo)方程概念 (2)怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程 (3)圓的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程 所滿足的等式意點(diǎn)的極坐標(biāo) 曲線上任曲線的極坐標(biāo)方程的是 ),( (1) (2)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化互化或直接利用圖或直接利用圖 形寫方程。形寫方程。 小結(jié)：小結(jié)： (3)中心在（中心在（ 0， ），半徑為 ），半徑為的圓的極的圓的極 坐標(biāo)方程坐標(biāo)方程： 2+ 0 2

28、-2 0 cos( - )= r2 關(guān)鍵：找準(zhǔn)關(guān)鍵：找準(zhǔn)，與已知條件的關(guān)系與已知條件的關(guān)系 直線的極坐標(biāo)方程直線的極坐標(biāo)方程 第四課時(shí)第四課時(shí) 負(fù)極徑的定義負(fù)極徑的定義 說明：一般情況下，極徑都是正值；說明：一般情況下，極徑都是正值； 在某些必要情況下，極徑也可以取在某些必要情況下，極徑也可以取 負(fù)值。（？）負(fù)值。（？） 對(duì)于點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)m（ ， ）負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定：負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定： 1作射線作射線op，使，使 xop= 2在在op的反向延長(zhǎng)的反向延長(zhǎng) 線上取一點(diǎn)線上取一點(diǎn)m，使，使 om = o x p m 負(fù)極徑小結(jié)：負(fù)極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨?fù)極徑變?yōu)樨?fù)，極角增加極角增加 。 特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（

29、若不作特別特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別 說明時(shí)），認(rèn)為說明時(shí)），認(rèn)為 0 。因?yàn)樨?fù)極徑只。因?yàn)樨?fù)極徑只 在極少數(shù)情況用。在極少數(shù)情況用。 例題例題1：求過極點(diǎn)，傾斜角為：求過極點(diǎn)，傾斜角為 的射線的極坐的射線的極坐 標(biāo)方程。標(biāo)方程。 4 o m x 4 其極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。其極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。 故所求射線的極坐標(biāo)方程為故所求射線的極坐標(biāo)方程為 (0) 4 新課講授新課講授 分析：分析： 如圖，所求的射線上任一如圖，所求的射線上任一 / 4 點(diǎn)的極角都是點(diǎn)的極角都是 1、求過極點(diǎn)，傾斜角為、求過極點(diǎn)，傾斜角為 的射線的極坐標(biāo)方程。的射線的極坐標(biāo)方程。 5 4 易得易得 5 (0)

30、 4 思考：思考： 2、求過極點(diǎn)，傾斜角為、求過極點(diǎn)，傾斜角為 的直線的極坐標(biāo)方程。的直線的極坐標(biāo)方程。 4 (0) 4 5 (0) 4 和和 和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形 式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不 方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？ 0 為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑 可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方 程可以表示為程可以表示為 () 4 r 或或 5 () 4 r 新課引

31、入：新課引入： 思考：在平面直角坐標(biāo)系中思考：在平面直角坐標(biāo)系中 1、過點(diǎn)、過點(diǎn)(3,0)且與且與x軸垂直的直線方程軸垂直的直線方程 為為 ;過點(diǎn)過點(diǎn)(3,3)且與且與x軸垂直的直軸垂直的直 線方程為線方程為 x=3 x=3 2、過點(diǎn)（、過點(diǎn)（a,b）且垂直于）且垂直于x軸的直線方程軸的直線方程 為為_ x=a 特點(diǎn)：所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是一樣，特點(diǎn)：所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是一樣， 縱坐標(biāo)可以取任意值。縱坐標(biāo)可以取任意值。 例題例題2:求過點(diǎn)求過點(diǎn)a(a,0)(a0)，且垂直于極軸的，且垂直于極軸的 直線直線l的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)( ,

32、)m o x a m 在在 中有中有 rt moa cosommoaoa 即即cosa 可以驗(yàn)證，點(diǎn)可以驗(yàn)證，點(diǎn)a的坐標(biāo)也滿足上式。的坐標(biāo)也滿足上式。 為直線為直線l上除點(diǎn)上除點(diǎn)a外的任意一點(diǎn)，外的任意一點(diǎn)， 連接連接om 求直線的極坐標(biāo)方程步驟求直線的極坐標(biāo)方程步驟: 1、由題意建立極坐標(biāo)系畫出草圖；、由題意建立極坐標(biāo)系畫出草圖； 2、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn) 是直線上任意一點(diǎn)；是直線上任意一點(diǎn)；( , )m 3、連接、連接mo； 4、建立關(guān)于、建立關(guān)于 的方程，并化簡(jiǎn)；的方程，并化簡(jiǎn)；, 5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。 課堂練習(xí)課堂練習(xí)1:求過點(diǎn)求過點(diǎn)a (a, /2)(a0)，且平行于，且平行于 極軸的直線極軸的直線l的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 解：如圖，建立極坐標(biāo)系，解：如圖，建立極坐標(biāo)系， 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 為