2020年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1、 2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件第 2 講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1命題用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件的概念若 pq，則 p 是 q 的充分條件，q 是 p 的必要條件p 是 q 的充分不必要條件p 是 q 的必要不充分條件p 是 q 的充要條件p 是 q 的既不充分也不必要條件p/

2、 q 且 q/ p注意 不能將“若 p，則 q”與“pq”混為一談，只有“若 p，則 q”為真命題時(shí)，才有“pq”，即“pq”“若 p，則 q”為真命題常用知識(shí)拓展1充分條件與必要條件的兩個(gè)特征(1)對(duì)稱性：若 p 是 q 的充分條件，則 q 是 p 的必要條件，即“pq”“qp”(2)傳遞性：若 p 是 q 的充分(必要)條件，q 是 r 的充分(必要)條件，則 p 是 r 的充分(必要)條件，即“pq 且 qr”“pr”(“pq 且 qr”“pr”)2一些常見詞語(yǔ)及其否定2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 1 頁(yè) 共 11 頁(yè) 詞語(yǔ)否定是都是都不是等于大于不是不都是至少一個(gè)是不等于不大于

3、判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)“x 2x3b，則 acbc”的否命題是(a若 ab，則 acbc)b若 acbc，則 abc若 acbc，則 abd若 ab，則 acbc解析：選 a.命題的否命題是將原命題的條件和結(jié)論均否定，所以題中命題的否命題為“若 ab，則 acbc”，故選 a.(2018高考天津卷)設(shè) xr，則“x 8”是“|x|2”的()3a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選 a.由 x38 可得 x2，由|x|2 可得 x2 或 x8”是“|x|2”的充分而不必要條件故選 a.設(shè) mr，命題“若 m0，則方程 x2xm0 有實(shí)根

4、”的逆否命題是_解析：把命題“若 m0，則方程 x2xm0 有實(shí)根”的條件與結(jié)論“換位”又“換質(zhì)”得到逆否命題是“若方程 x2xm0 沒有實(shí)根，則 m0”答案：若方程 x2xm0 沒有實(shí)根，則 m0已知 p：aa，則p 是q 的_條件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)解析：p：a0；q：a2a，即 0a1，故p 是q 的必要不充分條件答案：必要不充分2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 2 頁(yè) 共 11 頁(yè) 四種命題的相互關(guān)系及其真假判斷(師生共研)(1)(2019長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè)(二)命題“若 x 1，則1x1”的逆否命題是()2a若 x 1，則 x1 或 x12b若1x1，

5、則 x 1 或 x12d若 x1 或 x1，則 x 12(2)(2019廣東中山一中第二次統(tǒng)測(cè))下列命題中為真命題的是(a命題“若 xy，則 x|y|”的逆命題)b命題“若 x1，則 x 1”的否命題2c命題“若 x1，則 x x20”的否命題2d命題“若 x 0，則 x1”的逆否命題2【解析】 (1)命題的形式是“若 p，則 q”，由逆否命題的知識(shí)，可知其逆否命題為“若q，則p”的形式，所以“若 x21，則1xy，則x|y|”的逆命題為“若 x|y|，則 xy”，是真命題，故a 正確；命題“若 x1，則 x21”的否命題為“若 x1，則 x21”，是假命題，故b 錯(cuò)誤；命題“若 x1，則 x

6、2x20”的否命題為“若 x1，則 x2x20”，是假命題，故c 錯(cuò)誤；命題“若 x20，則 x1”的逆否命題為“若 x1，則 x20”，是假命題，故 d 錯(cuò)誤，選 a.【答案】 (1)d (2)a(1)判斷命題真假的兩種方法(2)由原命題寫出其他三種命題的方法由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將原命題的條件與結(jié)論互換即得逆命題，將原命題的條件與結(jié)論同時(shí)否定即得否命題，將原命題的條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題1命題“若 a b 0，則 a0 且 b0”的逆否命題是()222020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 3 頁(yè) 共 11 頁(yè) a若 a b 0，則 a0 且

7、b022b若 a b 0，則 a0 或 b022c若 a0 且 b0，則 a b 022d若 a0 或 b0，則 a b 022解析：選 d.“若 a2b20，則 a0 且 b0”的逆否命題是“若 a0 或 b0，則 a2b20”，故選 d.12k22已知集合 p | ， ，qx|x ，kz，記原命題：“若 xp，則 xq”，k zx x k那么，在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()a0c2b1d412解析：選 c.因?yàn)?p | ， x x kk z2k1，kzk2x|x，q | ， ，x xk z2所以 p q，所以原命題“若 xp，則 xq”為真命題，則原命題的逆否命

8、題為真命題原命題的逆命題“若 xq，則 xp”為假命題，則原命題的否命題為假命題，所以真命題的個(gè)數(shù)為2.充分條件、必要條件的判斷(師生共研)(1)(2018高考北京卷)設(shè) a，b 均為單位向量，則“|a3b|3ab|”是“ab”的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件1 12 2(2)(2018高考天津卷)設(shè) xr，則“x ”是“x 1”的()3a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件【解析】 (1)因?yàn)閨a3b|3ab|，所以(a3b)2(3ab)2，所以 a26ab9b29a22020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 4 頁(yè) 共

9、 11 頁(yè) 6abb2，又因?yàn)閨a|b|1，所以 ab0，所以 ab；反之也成立故選 c.1 112(2)由x ，得 0x1，所以 0x 1；由 x 1，得 x1，不能推出 0x1.所以“ x332 212 ”是“x 2，q：5x6x ，則 p 是 q 的()2a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選 b.由|x1|2 得 x1，所以 p：x1；由 5x6x2 得 2x3，所以 q：2x3，所以 p 是 q 的必要不充分條件2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 5 頁(yè) 共 11 頁(yè) 3已知 p：xy2，q：x，y 不都是1，則 p 是 q 的(a充分不必要條件)

10、b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選 a.因?yàn)?p：xy2，q：x1 或 y1，所以p：xy2，q：x1 且 y1，因?yàn)閝p 但p/ q，所以q 是p 的充分不必要條件，即 p 是 q 的充分不必要條件故選 a.充分條件、必要條件的應(yīng)用(典例遷移)已知 px|x28x200，非空集合 sx|1mx1m若“xp”是“xs”的必要條件，求 m 的取值范圍【解】 由 x28x200，得2x10，所以 px|2x10，由“xp”是“xs”的必要條件，知 sp.1m1m，1m2，1m10，所以 m3.0則所以當(dāng) 0m3 時(shí) ，“xp”是“xs”的必要條件，即所求 m 的取值范圍是0，

11、3遷移探究 1 (變結(jié)論)若本例條件不變，問是否存在實(shí)數(shù) m，使“xp”是“xs”的充要條件解：若“xp”是“xs”的充要條件，則 ps，1m2，1m10，m3，m9，所以所以即不存在實(shí)數(shù) m，使“xp”是“xs”的充要條件遷移探究 2 (變結(jié)論)本例條件不變，若“xp”是“xs”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍解：由例題知 px|2x10，因?yàn)椤皒p”是“xs”的必要不充分條件，所以 ps 且 s/ p.所以2，10 1m，1m2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 6 頁(yè) 共 11 頁(yè) 1m2， 1m2，所以或1m101m10.所以 m9，即 m 的取值范圍是9，)根據(jù)充分條件、必要

12、條件求解參數(shù)范圍的方法把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解注意 在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍已知 p：4xa4，q：(x2)(x3)0，且 q 是 p 的充分條件，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為()a1a6 b1a6ca6 da1 或 a6解析：選 b.設(shè) q，p 表示的范圍分別為集合 a，b，則 a(2，3)，b(a4，a4)因a42，為 q 是 p 的充分條件，則有 a b，即43，所以1a6.a等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了“把未知問題化歸到已有知識(shí)范圍內(nèi)求解”

13、的求解策略對(duì)于一個(gè)難以入手的命題，可以把命題轉(zhuǎn)化為易于解決的等價(jià)命題，每一個(gè)等價(jià)命題都能提供一種解題思路已知 p： 1x12，q：1mx1m(m0)，且p 是q 的必要不充分條4件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍【解】 因?yàn)閜 是q 的必要不充分條件，所以 p 是 q 的充分不必要條件由 q：1mx1m，則 q：qx|1mx1m，m0x1由 12，解得3x13，4所以 p：px|3x13因?yàn)?p 是 q 的充分不必要條件，則 p q，m0，m0，所以 1m13，1m13故實(shí)數(shù) m 的取值范圍為12，)2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 7 頁(yè) 共 11 頁(yè) 本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等

14、價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題化歸為簡(jiǎn)單、熟悉的問題來(lái)解決一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充分、必要條件問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來(lái)考慮，這是解此類問題的關(guān)鍵1如果 x，y 是實(shí)數(shù)，那么“xy”是“cos xcos y”的(a充要條件)b充分不必要條件c必要不充分條件d既不充分也不必要條件解析：選 c.法一：設(shè)集合 a(x，y)|xy，b(x，y)|cos xcos y，則 a 的補(bǔ)集 c(x，y)|xy，b 的補(bǔ)集 d(x，y)|cos xcos y，顯然 c d，所 以 b a，于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分條件法二(等價(jià)轉(zhuǎn)化法)：因?yàn)?xycos xco

15、s y，而 cos xcos y / xy，所以“cos xcosy”是“xy”的必要不充分條件，故“xy”是“cos xcos y”的必要不充分條件log x，x0，22函數(shù) f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是()2 a，x0xaa0b0a1212c. a1解析：選 a.因?yàn)楹瘮?shù) f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，所以函數(shù) f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)函數(shù) y2 a(x0)沒有零點(diǎn)函數(shù) y2 (x0)的圖象與直線 ya 無(wú)公共點(diǎn)由數(shù)形結(jié)合，可xx得 a0 或 a1.又因?yàn)閍|a1，故選 a.基礎(chǔ)題組練1(2019山西 45 校聯(lián)考)“若 a2 或 a2，則 a 4”的否命題是()2a若 a2

16、，則 a 42b若 a2，則 a 42c若2a2，則 a 42d若 a2，則 a 42解析：選 c.將原命題的條件和結(jié)論同時(shí)否定之后可得否命題，故原命題的否命題為“若2a2，則 a24”故選 c.2(2019湖北五校聯(lián)考)已知直線 l ：mx2y10，l ：x(m1)y10，則“m122”是“l(fā) 平行于 l ”的()12a充分不必要條件2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 8 頁(yè) 共 11 頁(yè) b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選 c.由直線 l 與直線 l 平行得m(m1)1(2)，得 m2 或 m1，經(jīng)驗(yàn)12證，當(dāng) m1 時(shí)，直線 l 與 l 重合，舍去，所以“m2”是

17、“l(fā) 平行于 l ”的充要條件，1212故選 c.3(2019南昌摸底調(diào)研)已知 m，n 為兩個(gè)非零向量，則“mn0”是“m 與 n 的夾角為鈍角”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件2解析：選 b.設(shè) m，n 的夾角為 ，若 m，n 的夾角為鈍角，則 ，則 cos 0，則 mn0 成立；當(dāng) 時(shí)，mn|m| |n|0 成立，但 m，n 的夾角不為鈍角故“mn0”是“m 與 n 的夾角為鈍角”的必要不充分條件，故選 b.4已知命題 ：如果 x3，那么 x0 不成立”是真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_2解析：由題意知 ax22ax30 恒成立，0，a當(dāng) a0 時(shí)

18、，30 成立；當(dāng) a0 時(shí)，得4 212 0，aa解得3a0，故3a0.答案：3，0 3 8已知函數(shù) f(x)2sin 2 (xr)設(shè) p：x ， ，q：m3f(x)m3.若 px24是 q 的充分條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 2 2x解：因?yàn)?p：x，34236所以 f(x)1，2，又因?yàn)?p 是 q 的充分條件，32，m所以m解得1mb0，則 ln aln b)b向量 a(1，m)，b(m，2m1)(mr)垂直的充要條件是 m1c命題“角 的終邊在第一象限，則 是銳角”的逆否命題為真命題d已知函數(shù) f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的，則命題“若 f(a)f(b)0)是增函數(shù)，所以若 ab0，則 ln aln b，故 a 錯(cuò)誤；若 ab，則 mm(2m1)0，解得 m0，故 b 錯(cuò)誤；(特例法)互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)命題，而角 的終邊在第一象限，角 不一定是銳角，如 315，該角的終邊落在第一象限，但不是銳角，故c 錯(cuò)誤；命題“若 f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題“若 f(x)