柯西中值定理和不定式極限0001

1、第二節(jié) 柯西中值定理和不定式極限 一 柯西中值定理 現(xiàn)給出一個(gè)形式更一般的微分中值定理 定理 6.5(柯西中值定理)設(shè)函數(shù) f 和 g 滿足； (i)在 a,b 上都連續(xù)； (ii) 在(a,b) 內(nèi)都可導(dǎo)； (iii) f x 和 g x 不同時(shí)為零 ; (iv)g(a) g(b), f ( ) f(b) f(a) 則存在 (a,b) ，使得 . g (x) g(b) g(a) 證 做輔助函數(shù) f (b) f (a) F x f (x) f(a) g(b) g(a) 易見 F在 a,b 上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在 (a,b) ，使得 F ( ) f ( ) f(b) f (a) g ( )

2、0 因?yàn)?g ( ) 0(否則由上式？也為零) ，所以可把上式改 g(b) f (a) 寫成式。 柯西中值定理有著與前兩個(gè)中值定理相類似的幾何意義。只是現(xiàn)在要把？這兩個(gè)函數(shù)寫作以 x 為參量的參數(shù)方程 u g(x), v f(x). 在 uOv平面上表示一段曲線(圖 65) . 由于式右邊的 f (b) f (a) 表示連接該曲線兩端的弦 AB的斜率，而式左邊的 f ( ) dv g(b) g(a)g ( ) du x xo 則表示該曲線上與 x=相對應(yīng)的一點(diǎn) C(g( ),f( ) 處的切線斜率。因此式即表示上述切線 與弦 AB互相平行。 例1 設(shè)函數(shù) f 在 a,b ( a0)上連續(xù), 在

3、(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，則存在 (a,b) ，使得 f(b)-f(a)= f ( )ln b a 證 設(shè) g(x)=lnx, 顯然它在a,b 上與 f(x) 一起滿足柯西中值定理?xiàng)l件， 于是存在 (a,b) ， 使得 f(b) f(a)= f ( ) ln b lna 1 上式整理后便得到所要證明的式。 二 不定式極限 我們在第三章學(xué)習(xí)無窮小(大)量階的比較時(shí)，已經(jīng)遇到過兩個(gè)無窮小(大)量之比的極 限。由于這種極限可能存在，也可能不存在，因此我們把兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量之比的極 0 限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記為 0 型或 型的不定式極限?，F(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定 0 式極限，這個(gè)方法通常

4、稱為洛必達(dá)( LHospital )法則?？挛髦兄刀ɡ韯t是建立洛必達(dá)法則的 理論依據(jù)。 1 0 型不定式極限 0 定理 6.6 若函數(shù) f 和 g 滿足： () lim f(x)= lim g(x)=0 ； x x0 x x0 () 在點(diǎn) x 0的某空心鄰域 U0(x 0 )內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且 g() 0 () f (x) =A(A 可為實(shí)數(shù)，也可為 惑 ), 則 lximx0 g(x) lixmx x x0 f(x) = f (x) =A. g(x) lximx0 g(x) 證 補(bǔ) 充 義 f( x 0 )=g(x 0 )=0 ， 使 得 f 與 g 在點(diǎn) x0處連續(xù) 任取 x U 0(x0)

5、,在區(qū)間 x0,x 或 x0,x 上應(yīng)用柯西中值定理， 有 f(x) (f x0) f ( ),即 f(x) f ( )( 介于x0與x之間) g x g x0 g ( ) g x g ( ) 0 當(dāng)令x x0時(shí)，也有x0，故得 lim f (x) lim f ( ) f (x) A 0 0 x x0 g x x x0 g ( ) g (x) 注 意 若 將 定 理 中 6.6 中 x 換 成 x x0 ,x x0 ,x,x ,只要相應(yīng)的修正條件 ii 中的鄰域，也可得到同樣的結(jié)論。 求 lim x 1 cosx tan2 x f (x) 1 cosx與 g(x) tan2 x在點(diǎn) x0 的鄰

6、域內(nèi)滿足定理 6.6 的條件 解 容易檢驗(yàn) fx i 和 ii ，又因 lxim g x lim 3 sin x cos x lim 2 2 x 2 tan x sec2 xx 故由洛必答法則求得 lim f xlim f x1 x g xx g x2 lim f x 仍是 0 型不定式極限，只要有可能， x x0 g x 0 如果 我們可再次用洛必達(dá)法則，即考慮極限 lim f x 是否存在。 x x0 g x 當(dāng)然這時(shí) f 和g 在x0的某鄰域內(nèi)必須滿足定理 6.6的條件。 例三 求 ex 1 2x 2 ln 1 x2 解利用 ln 1 x2 1 ex 1 2x 2 lim 2 x 0 l

7、n 1 x2 x2 x 0 ，則得 1 ex 1 2x 2 lim x0 lim x0 1 2 lim 2x x 0 2 ex 1 2x 3 ex 1 2x 2 2 1. 2 例四 求 lim x . x 01 e x 解 這是 0 型不定式極限，可直接運(yùn)用洛必達(dá)法則求解。但若作適當(dāng)變換，在計(jì)算上可方便 0 些。為此，令 tx,當(dāng) x 0 時(shí)有t 0 ，于是有 lxim01 ex x =lxim0 1 tet lxim0 1et1. 2. 型不定式極限 lim f x lim g x ; x x0 x x0 lim f x A x x0 g x )在 x0的某又鄰 U 0(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，

8、且 g x 0 f x f x lim f x A( A可為實(shí)數(shù)也可為， )，則 lim f x x x0 g x x x0 g x 例五 求 lim ln x xx 解 由定理 6.7 ，有 lim ln x lim (ln x) lim 1 0 x x x (x) x x 注1 若 lim x x0 g x 不存在， 并不能說明 lim x x0 fx 不存在（試想， gx 這是為什么？） 注 2 不能對任何比式極限都按洛必達(dá)法則求解。 首先必須注意它是不是不定式極限， 其次是 否滿足洛比達(dá)法則的其他條件。 x sin x 1 cosx 下面這個(gè)簡單的極限 lim lim ，就會因右式的極

9、限不存在得錯(cuò)誤結(jié)論。 x x x 1 3 其他類型不定式極限 不定式極限還有 0 ，1， 00， 0， ， 等類型。經(jīng)過簡單變換它們一般均可化為0 或 型得極限 0 例六 求 lim xlnx x lnx 解 這是一個(gè) 0 型不定式極限。用恒等變形 xln x ln1x將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極限， x 1 lnx 并應(yīng)用洛必達(dá)法則得到 lim xlnx lim lim x lim( x) 0 x 0 x 0 1 x 0 1 x 0 2 x k 例求 lim sinx 1 lnx k為常數(shù) 。 00 型 不 定 式 極 限 ， 按 上 例 變 形 的 方 法 ， lim sinx x0 klnsi

10、n x 1 lnx lim x0 然后得到 lim sinx 1 ln x ek k 0 x0 當(dāng) k=0 時(shí)上面所得的結(jié)果顯然成立。 kcosx sinxlim kcosx xk, 1x 0sinx x k x 1 x2 例 求 lim x 0 lnx 0 解 這是一個(gè) 0 型不定式極限。類似的先求其對數(shù)的極限 型： x 1 x2 lim x 0 ln x lim 11 x 1 x 0 1 x 1 x2 是有 lim =e x 0 ln x 11 例求 lim( ). 型不定式極 限，通分后化 x 0 x 1 ln x 解這是一個(gè) 1 ) lim ln x x 1 lim ln x x 0

11、x 1 ln x x 0 x 1 1x 1lim1 xlim ln x x x 0 2 ln x 2 1 試問函數(shù) 習(xí)題 f x x2,g x x3在區(qū)間 1,1 上能否應(yīng)用柯西中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論，為什 么？ 2 設(shè)函數(shù) f 在 a,b 上可導(dǎo)，證明存在 a,b ,使得 2 f b f ab2 a2 f 3設(shè)函數(shù) f在a點(diǎn)處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證 lim f a h f a h 2f a x0 h2 fa 4設(shè) 0證明存在 , 使得 sin sin cot 2 cos cos 5 求下列不定式極限 xlim0 x 1 ex 1 1 2sin x 1 lxim0; 2 lim x 0 sin x x cos3x ln 1 x x 3 lim 4 lim tan x x x 0 cosx 1 x 0 x sin x 6 設(shè)函數(shù) f 在 a 點(diǎn)