力學(xué)實(shí)驗(yàn)論文

1、論復(fù)擺振動(dòng)的研究作者：白忠亮 學(xué)號(hào)：200702051006紅河學(xué)院07物理系，蒙自 661100摘要：復(fù)擺對(duì)于某一間接測(cè)量量，要減小其隨機(jī)誤差的一個(gè)必要條件，就是要它具有較小的隨機(jī)不確定度（通常以標(biāo)準(zhǔn)差表示）本實(shí)驗(yàn)中的三種解法，都具有典型性這里需要特別指出，使用最小二乘法處理適合，該方法適用的條件及誤差分析。關(guān)鍵詞：復(fù)擺 重力加速度 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 最小二乘法 引言：復(fù)擺實(shí)驗(yàn)是一個(gè)傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)，通常是研究周期與擺軸位置的關(guān)系，并測(cè)定重力加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 原理 一個(gè)圍繞定軸擺動(dòng)的剛體就是復(fù)擺，當(dāng)擺動(dòng)的振幅甚小時(shí)，其振動(dòng)周期t為 （1）式中i為復(fù)擺對(duì)回轉(zhuǎn)軸o的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為復(fù)擺的質(zhì)量，為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?/p>

2、為擺的支點(diǎn)到擺的質(zhì)心的距離（圖（1） 又設(shè)復(fù)擺對(duì)通過(guò)質(zhì)心g平行o軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則 （2）而又可寫(xiě)成為，就是復(fù)擺對(duì)g軸的回轉(zhuǎn)半徑，由此可將式（l）改成為 （3） 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1測(cè)量相應(yīng)不同支點(diǎn)的周期abogsh圖（2）ogh圖（1）支點(diǎn)位置，用從擺的一端a量度的距離s表示將支點(diǎn)由靠近a端開(kāi)始，逐漸移向b端并測(cè)周期t，擺角小于5改變支點(diǎn)13次圖（2）要求測(cè)得的周期t的相對(duì)誤差小于0.5 2測(cè)定重心g的位置將復(fù)擺水平放在支架的刀刃上圖（3），利用杠桿原理尋找g點(diǎn)的位置，要求的誤差在1mm以?xún)?nèi)3求出各值對(duì)應(yīng)的h值h均取正值），作th圖線(xiàn)圖（4）4將式（3）改寫(xiě)成為 （4）tghhab圖（4）復(fù)擺支架

3、刀刃圖（3） 令，則上式又成為 （5）從測(cè)量可得出n組（x，y）值，用最小二乘法求出擬合直線(xiàn)y=a+bx的和，再由a、b求出g和k值，并計(jì)算g的不確定度最后求出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用分析天平稱(chēng)量復(fù)擺的質(zhì)量（分析天平的分度值）m=2200.0g用米尺測(cè)量,用秒表測(cè)量振動(dòng)周期t米尺的分度值，秒表的分度值復(fù)擺的上端：，實(shí)驗(yàn)組i123456789104.0245.9048.1948.2548.0047.9448.0548.1048.1548.2048.0047.977.4842.4447.4347.4147.2247.4047.4747.3947.3547.3747.3047.2810.9838.9446.624

4、6.5346.7546.7046.7246.6846.6246.5846.6046.6514.4035.5245.9646.1946.2546.1946.2046.1846.1546.1046.0046.0417.8832.0445.7245.6945.6545.6945.6045.5845.5945.5345.5545.5021.3628.5645.6745.7145.6545.7245.7245.6845.7145.6545.7145.7024.8025.1245.5945.7545.7245.7045.7045.6545.6045.6745.6345.6528.3021.6246.384

5、6.3446.3446.3546.4246.4246.4046.3046.3446.3431.7118.2148.1648.0048.0648.0248.0548.0748.0848.1048.1348.1035.1414.7850.1950.3050.4450.3550.3850.2050.3050.2450.2050.2338.6211.3055.2555.2255.1655.1855.2255.2855.2555.2455.1855.1942.097.8363.9063.8463.9463.8563.8763.9063.8763.9263.9463.9045.524.4082.5082.

6、7282.6082.5582.5882.6682.6782.7082.5182.71復(fù)擺的下端：實(shí)驗(yàn)組i123456789104.0345.8348.1948.0648.1048.1548.1148.0648.1948.0848.1348.187.5042.3647.4747.4747.4547.4247.4047.3947.4247.4747.4047.4010.9238.9446.7546.7946.7046.7246.7346.7146.7546.7946.7746.7514.3835.4846.3246.1946.2046.2946.2546.3246.222746.2846.2717

7、.8432.0245.8845.9145.9545.8345.8645.8845.9045.9445.9145.8721.3028.5645.7545.7245.7845.7745.6845.8045.7245.7045.7545.7824.7625.1046.0345.9645.9045.9645.9545.9345.9845.9745.969628.2021.6646.7246.6646.6646.6546.7046.7246.7546.6746.6746.7231.7018.1648.1548.2248.2248.2548.1348.1548.1748.1448.2048.2435.14

8、14.7250.7850.7250.8050.7150.7250.7750.7550.7750.7450.7238.6011.2655.4755.5055.4455.4055.4555.5255.5055.4755.4655.4242.107.7663.9464.0664.0963.9064.0063.9064.0164.0564.0763.9545.534.3383.6583.8583.6083.6583.6883.7283.7783.7483.7083.68數(shù)據(jù)處理由以上數(shù)據(jù)作與數(shù)據(jù)表格如下：上端實(shí)驗(yàn)組i1234567891011121345.9042.4438.9435.5232.042

9、8.5625.1221.6218.2114.7811.307.834.401.6021.5791.5551.5381.5201.5231.5301.5451.6021.6761.8402.1302.754下端實(shí)驗(yàn)組i1234567891011121345.8342.3638.9435.4832.0228.5625.1021.6618.1614.7211.267.764.331.6041.5811.5581.5421.5301.5251.5321.5561.6061.6911.8492.1332.790根據(jù)求出各s值對(duì)應(yīng)的h值作th曲線(xiàn)（如下圖）作出的th曲線(xiàn)符合實(shí)驗(yàn)原理中th曲線(xiàn)根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理：

10、令y=h2，x=ht2。用最小二乘法處理擬合直線(xiàn)y=a+bx的直線(xiàn)上端12345672106.811801.1541516.3241261.671026.562815.6736631.0144117.7979105.813194.1578984.0205774.0252266.2457558.80341上端8910111213467.4244331.6041218.4484127.6961.308919.3651.6074846.7342241.5166738.2572835.5239333.37187下端12345672100.3891794.371516.3241258.831025.28

11、815.6736630.01117.9122105.881494.5215584.3630774.9556266.4198558.9103下端8910111213469.1556329.7856216.6784126.787660.217618.748952.4418146.8389342.0915638.495735.3055933.70515對(duì)復(fù)擺的上端798.849（） 65.221（）9434.871（）5790779.151（）233709.152（）用最小二乘法求a和b的估計(jì)值和24.771（）-816.740（）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算0.999860a和b的標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算0.125（）8

12、.821（）由，0.286m由，9.769（）0.180（）不確定度的計(jì)算0.125（）8.821（）不確定度的合成由，0.049（）由，0.030m由，0.038（）實(shí)驗(yàn)結(jié)果（重力加速度）（復(fù)擺對(duì)g軸的回轉(zhuǎn)半徑）（通過(guò)質(zhì)心g平行o軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）對(duì)復(fù)擺下端797.096（） 65.526（）9428.694（）5764859.911（）233125.092（）用最小二乘法求a和b的估計(jì)值和24.725（）-823.034（）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算0.999928a和b的標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算0.089（）6.305（）由，0.287m由，9.751（）0.181（）不確定度的計(jì)算0.089（）6.305（

13、）不確定度的合成由，0.035（）由，0.030m由，0.038（）實(shí)驗(yàn)結(jié)果（重力加速度）（復(fù)擺對(duì)g軸的回轉(zhuǎn)半徑）（通過(guò)質(zhì)心g平行o軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）不同的數(shù)據(jù)處理方法：解法一：根據(jù)（1）式，對(duì)于任意的，有 只要測(cè)出和，就可以算出，的標(biāo)準(zhǔn)偏差可以根據(jù)不確定度傳遞公式求出 （6）其中分別為的標(biāo)準(zhǔn)差現(xiàn)在的問(wèn)題是，如何才能使測(cè)量的結(jié)果更準(zhǔn)確一些為此，首先，要盡量消除各種可能產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差例如，測(cè)量?jī)x器的系統(tǒng)誤差要 盡可能小，要仔細(xì)調(diào)整實(shí)驗(yàn)裝置，使桿狀復(fù)擺在一豎直平面內(nèi)擺動(dòng)， 而且擺動(dòng)的角度要很小另外還要盡量減小隨機(jī)性誤差這一項(xiàng)誤差 的大小，主要由測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表征由（6）式可知的大小，取決于兩種

14、因素：一種是各直接測(cè)量量的標(biāo)準(zhǔn)差另一種是它們各自的不確定度傳遞系數(shù) ，當(dāng)儀器用具給定后，而且復(fù)擺上懸點(diǎn)的位置也選定之后，各項(xiàng)不確定度傳遞系數(shù)的大小也就確定了：和可以根據(jù)實(shí)際的測(cè)量進(jìn)行估計(jì)（和一般不需要多次測(cè)量，只仔細(xì)地測(cè)一次就可以了）它們的大小也沒(méi)有多少選擇的余地現(xiàn)在來(lái)討論怎樣減小 當(dāng)用電子停表測(cè)量擺動(dòng)周期時(shí)，電子停表本身的誤差可以忽略不計(jì)計(jì)時(shí)的誤差主要由測(cè)量者兩次按表（啟動(dòng)和止動(dòng)）不準(zhǔn)確而產(chǎn)生這基本上是一種隨機(jī)性誤差，它的大小可以用測(cè)量者測(cè)量時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)定量地描述的數(shù)值可以用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定也可以根據(jù)測(cè)量者以往的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行估計(jì)測(cè)定的實(shí)驗(yàn)方法是：測(cè)量者對(duì)某一可重復(fù)的固定大小的時(shí)間間隔（例如單擺擺

15、動(dòng)的兩個(gè)周期）用停表進(jìn)行連續(xù)的多次測(cè)量，得到一系列數(shù)值，即 測(cè)量的次數(shù)要足夠大例如2030次然后利用貝塞爾公式計(jì)算 （7）其中 這個(gè)就近似是測(cè)量者用停表測(cè)量任意時(shí)間間隔的標(biāo)準(zhǔn)差，也就是他兩次按表的標(biāo)準(zhǔn)差只與測(cè)量者按表的準(zhǔn)確程度有關(guān)，而與測(cè)量時(shí)間的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)因?yàn)闊o(wú)論測(cè)量時(shí)間的長(zhǎng)短如何，都要按兩次表在（7）式中要注意分母是是測(cè)量者測(cè)量任意一次時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，而不是平均值的標(biāo)準(zhǔn)差這種測(cè)定的實(shí)驗(yàn)方法的特點(diǎn)在于：它根據(jù)與測(cè)時(shí)長(zhǎng)短無(wú)關(guān)的性質(zhì)，把一個(gè)短的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間間隔作為測(cè)量對(duì)象進(jìn)行多次測(cè)量，從而可以快捷地得到；測(cè)量次數(shù)越大，效果越好知道后，對(duì)復(fù)擺個(gè)周期測(cè)量一次，則 只要充分大就可以足夠小 減小的另一種常見(jiàn)的方法

16、是對(duì)復(fù)擺的多個(gè)周期進(jìn)行多次測(cè)量，例如對(duì)進(jìn)行次測(cè)量，得到 按照計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的常用公式，有 于是 只要和的數(shù)值都比較大，也可以達(dá)到減小的目的這種方法通常在不知道的情況下使用解法二：現(xiàn)在我們來(lái)討論，當(dāng)?shù)闹刀即_定之后，如何選取，才能使（6）式中的取較小的值這就要分析各個(gè)不確定度傳遞系數(shù) 先來(lái)看第一個(gè)傳遞系數(shù)它可以改寫(xiě)成的形式，由此可見(jiàn)，它與的選取無(wú)關(guān)，基本上是一個(gè)常數(shù) 再來(lái)看第二個(gè)傳遞系數(shù)當(dāng) 時(shí)，該系數(shù)為零表示某一特定的的值將代入（51）式，得到 （8）根據(jù)復(fù)擺理論，將復(fù)擺的懸點(diǎn)選定在位置，復(fù)擺的擺動(dòng)周期將有極小值這一點(diǎn)可由（1）式中令而容易得到證明根據(jù)以上討論，當(dāng)時(shí)的傳遞系數(shù)將為零，這意味著，此時(shí)的測(cè)

17、量誤差將不會(huì)對(duì)產(chǎn)生影響 最后看第三個(gè)傳遞系數(shù)其中變量是將（1）式兩邊同乘以，得到 （9） 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在從的過(guò)程中單調(diào)變化，不存在極值 綜合以上討論，可以認(rèn)為，欲使取較小值不能大于因?yàn)楫?dāng)時(shí)（52）式中的第二和第三項(xiàng)都呈上升趨勢(shì)；但另一方面，不能很接近0，因?yàn)榇藭r(shí)（6）式中的第三項(xiàng)數(shù)值雖然很小，但第二項(xiàng)的數(shù)值會(huì)急劇增加因此可以判定，在從之間，必有極小值存在至于的極小值的準(zhǔn)確位置，由于數(shù)學(xué)推導(dǎo)相當(dāng)復(fù)雜，這里不去贅述必要時(shí)，可由實(shí)驗(yàn)的方法去尋找即對(duì)不同的，分別測(cè)量周期，計(jì)算出，就能找到最小的對(duì)應(yīng)的值（圖（5）選取一個(gè)適當(dāng)?shù)暮螅垂剑?）和（6）就可以得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差較小的值 解法三：分別對(duì)個(gè)不同的測(cè)

18、量復(fù)擺擺動(dòng)的周期，并按（l）和（6）式算出相應(yīng)的及，如此得到 我們注意到，在個(gè)中各的大小是不相同的，稱(chēng)這些具有不同標(biāo)準(zhǔn)差的各個(gè)是不等精度的 現(xiàn)在的問(wèn)題是如何綜合這些不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果？ 根據(jù)測(cè)量誤差理論，比較標(biāo)準(zhǔn)的方法是加權(quán)平均，使較小的具有較大的權(quán)重計(jì)算公式是 （10） （11）加權(quán)平均值就是我們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，它的標(biāo)準(zhǔn)差是 如果在中，各個(gè)的差別不大，可以把各個(gè)粗略地看成是等精度的，則可以使用較簡(jiǎn)單的處理方法，即 （12） （13）不難看出，當(dāng)各相等時(shí)，（10）、（11）式就轉(zhuǎn)化為（12、（13）式討論 1實(shí)驗(yàn)中減小隨機(jī)誤差的途徑 對(duì)于某一間接測(cè)量量，要減小其隨機(jī)誤差的一個(gè)必要條件，就是要它具有較小

19、的隨機(jī)不確定度（通常以標(biāo)準(zhǔn)差表示）本實(shí)驗(yàn)本實(shí)驗(yàn)可以用三種方法求解，都具有典型性第一種方法只考慮減小各直接測(cè)量量的不確定度第二種方法在前者的基礎(chǔ)上分析各項(xiàng)不確定度傳遞系數(shù)的影響，并進(jìn)行綜合考慮，選取合適的懸點(diǎn)，由數(shù)據(jù)表可見(jiàn)，在h=1721cm處，復(fù)擺的周期最短這兩種方法適用于細(xì)致分析實(shí)驗(yàn)過(guò)程中每個(gè)細(xì)節(jié)對(duì)實(shí)驗(yàn)最終結(jié)果的 影響，是一種微觀分析的方法第三種解法根據(jù)隨機(jī)誤差的基本特性（即適當(dāng)改變實(shí)驗(yàn)條件，進(jìn)行多次測(cè)量可以減小隨機(jī)誤差），改變懸點(diǎn)位置，進(jìn)行多次測(cè)量、綜合評(píng)估，這是一種全面研究問(wèn)題的方法，或者稱(chēng)之為宏觀綜合的方法它的優(yōu)點(diǎn)是可以進(jìn)行多方面的比較，能夠有效地發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，為更深入的研究提供實(shí)驗(yàn)依

20、據(jù)在物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常會(huì)遇到這樣一種情況：對(duì)于間接測(cè)量結(jié)果，按照不確定度傳遞公式計(jì)算出來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值比較大如果能適當(dāng)改變實(shí)驗(yàn)條件，進(jìn)行多次測(cè)量，如同本實(shí)驗(yàn)中的第三種解法那樣，則可以減小該間接測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)不確定度，獲得滿(mǎn)意的結(jié)果特別是在間接測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)不確定度數(shù)值雖然比較大，但在多次測(cè)量中它們的變化卻很小的情況下，可以把各次測(cè)量結(jié)果粗略地看成是等精度的，這時(shí)就可以采用簡(jiǎn)化處理的方法，使用（12）、（13）那類(lèi)的公式，達(dá)到有效地減小隨機(jī)誤差的目的 2不同解題方法的選擇 上面列舉的三種解法中，復(fù)雜的程度逐個(gè)增加本設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)題目中只要求和它的標(biāo)準(zhǔn)差，并沒(méi)有對(duì)的大小提出要求，所以選擇第一種解法也是可以的如

21、果題目要求比較小的標(biāo)準(zhǔn)差，那就應(yīng)該用第二種或第三種解法如果在第三種解法中用（12）、（13）那種簡(jiǎn)單的處理方法例應(yīng)該有適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明；若是把這種簡(jiǎn)單的方法當(dāng)成是標(biāo)準(zhǔn)的、通用的方法，那就不妥當(dāng)了 3本題某些其他解法的評(píng)述 1）用公式求和，其中是復(fù)擺擺動(dòng)周期最小時(shí)相應(yīng)的值這種方法在理論上并沒(méi)有錯(cuò)，但是在實(shí)踐中由于測(cè)量時(shí)間有誤差存在，很難測(cè)準(zhǔn)的不確定度也很難給予恰當(dāng)?shù)墓烙?jì)在計(jì)算的時(shí)候，如果僅把用米尺測(cè)量某一長(zhǎng)度的不確定度當(dāng)成的不確定度的唯一因素，那就錯(cuò)了因?yàn)槟銣y(cè)出的是不是復(fù)擺周期最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的值，這一點(diǎn)才是最主要的所以，這種方法不是一種好方法 2）用求和，其中是復(fù)擺擺動(dòng)周期的最小值這一公式是的變形和前面講過(guò)的道理相類(lèi)似，很難測(cè)準(zhǔn)，它的不確定度也不能僅僅由兩次按表的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)決定，而且在計(jì)算的公式中，以四次方的形式出現(xiàn)，這決定了在計(jì)算的公式中，的不確定度有相當(dāng)大的傳遞系數(shù)所以，這種方法也不好 3）用求和，其中和是一對(duì)共軛點(diǎn)，即當(dāng)?shù)扔诤蜁r(shí)，復(fù)擺的擺動(dòng)周期相同由于“周期相同”這一實(shí)驗(yàn)條件很難比較準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)，在計(jì)算的公式中，也很難恰當(dāng)?shù)氐玫椒从?，所以和前兩種解法相類(lèi)似，這種方法也不是好方法上面三種方法，在原理上都沒(méi)有錯(cuò)如果對(duì)結(jié)果的準(zhǔn)確程度要求不高，這三種方法也是可行的但是有一點(diǎn)應(yīng)該注意，在評(píng)價(jià)