一元二次方程全章教案2

1、 一元二次方程第一課時 教學(xué)內(nèi)容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念 教學(xué)目標(biāo) 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目 1通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義 2一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念 3解決一些概念性的題目 4態(tài)度、情感、價值觀 5通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題 2難點(diǎn)關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷

2、移到一元二次方程的概念 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動：列方程 問題（1）九章算術(shù)“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？” 大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？ 如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個門的寬為_尺，根據(jù)題意，得_ 整理、化簡，得：_問題（2）如圖，如果，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn) 如果假設(shè)AB=1，AC=x，那么BC=_，根據(jù)題意，得：_整理得：_ 問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？ 如果假設(shè)剪后的正方

3、形邊長為x，那么原來長方形長是_，寬是_，根據(jù)題意，得：_ 整理，得：_ 老師點(diǎn)評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理 二、探索新知 學(xué)生活動：請口答下面問題 （1）上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)？ （2）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？ （3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？ 老師點(diǎn)評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=

4、0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項 例1將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號、移項等 解：去括號，得： 40-16x-10x+4x2=18 移項，得：4x2-26x+22=0 其中二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)為-26，常數(shù)項為22 例2（學(xué)生活動：

5、請二至三位同學(xué)上臺演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項 分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式 解：去括號，得： x2+2x+1+x2-4=1 移項，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次項2x2，二次項系數(shù)2；一次項2x，一次項系數(shù)2；常數(shù)項-4 三、鞏固練習(xí) 教材P32 練習(xí)1、2 四、應(yīng)用拓展 例3求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程 分析：要證明不論m

6、取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+170即可 證明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+10，即（m-4）2+10 不論m取何值，該方程都是一元二次方程 五、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評） 本節(jié)課要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0）和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運(yùn)用 六、布置作業(yè) 1教材習(xí)題221 1、2 直接開平方法 教學(xué)內(nèi)容 運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程 教學(xué)目標(biāo) 理解一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化的數(shù)

7、學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題 提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；領(lǐng)會降次轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n0）的方程 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題 問題1填空1）x2-8x+_=（x-_）2；2）9x2+12x+_=（3x+_）2；3）x2+px+_=（x+_）2問題2如圖，在ABC中，B=90，點(diǎn)P從點(diǎn)B

8、開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時出發(fā)，幾秒后PBQ的面積等于8cm2？ 老師點(diǎn)評： 問題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 問題2：設(shè)x秒后PBQ的面積等于8cm2 則PB=x，BQ=2x 依題意，得：x2x=8 x2=8 根據(jù)平方根的意義，得x=2 即x1=2，x2=-2 可以驗證，2和-2都是方程x2x=8的兩根，但是移動時間不能是負(fù)值 所以2秒后PBQ的面積等于8cm2 二、探索新知 上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方

9、得x=2，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ （學(xué)生分組討論） 老師點(diǎn)評：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的兩根為t1=-，t2=- 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為（x+2）2=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接開平方，得：x+2=1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3 例2市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率 分析：設(shè)每年人均住房面

10、積增長率為x一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x， 則：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接開平方，得1+x=1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因為每年人均住房面積的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去 所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20% （學(xué)生小結(jié)）老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？ 共同特點(diǎn)：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程我們把這

11、種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想” 三、鞏固練習(xí) 教材P36 練習(xí) 四、應(yīng)用拓展 例3某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？ 分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是（1+x）2 解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）當(dāng)成一個數(shù)，配方得： （1+x+）2=2.56，即（x+）2=256 x+=1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根為x1=10%，x2=-3.1 因為增長率為正數(shù)，

12、 所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10% 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p0），那么x=轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的 六、布置作業(yè) 1教材P45 復(fù)習(xí)鞏固1、2 2選用作業(yè)設(shè)計:作業(yè)設(shè)計：一、選擇題 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根為（ ） A3 B-3 C3 D無實數(shù)根 3用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是（ ） A（x-）2=，x=； B（x-）2=

13、-，原方程無解 C（x-）2=，x1=+，x2=； D（x-）2=1，x1=，x2=- 二、填空題 1若8x2-16=0，則x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，這個一元二次方程的兩根是_ 3如果a、b為實數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、綜合提高題 1解關(guān)于x的方程（x+m）2=n 2某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻（墻長25m），另三邊用木欄圍成，木欄長40m （1）雞場的面積能達(dá)到180m2嗎？能達(dá)到200m嗎？ （2）雞場的面積能達(dá)到210m2嗎？ 3在一次手工制作中，某同學(xué)準(zhǔn)備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個矩形方框，并且要使

14、面積盡可能大，你能幫助這名同學(xué)制成方框，并說明你制作的理由嗎？答案:一、1B 2D 3B二、1 29或-3 3-8三、1當(dāng)n0時，x+m=，x1=-m，x2=-m當(dāng)n0時，無解2（1）都能達(dá)到設(shè)寬為x，則長為40-2x，依題意，得：x（40-2x）=180整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+，x2=10-；同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，長為40-20=20 （2）不能達(dá)到同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-100 0 直接開平方，得：x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）

15、的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b-4ac0時，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根 （2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根 例1用公式法解下列方程 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-42（-1）=2

16、40 x= x1=，x2= （2）將方程化為一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-43（-2）=490 x= x1=2，x2=- （3）將方程化為一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-439=130 x= x1=，x2= （3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-441=-70 因為在實數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開平方，所以方程無實數(shù)根 三、鞏固練習(xí) 教材 練習(xí)1（1）、（3）、 四、應(yīng)用拓展 例2某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問題 （1）若使方程

17、為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程 （2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出 你能解決這個問題嗎？ 分析：能（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時還要滿足（m+1）0 （2）要使它為一元一次方程，必須滿足:或或 解：（1）存在根據(jù)題意，得：m2+1=2 m2=1 m=1 當(dāng)m=1時，m+1=1+1=20 當(dāng)m=-1時，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去） 當(dāng)m=1時，方程為2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9 x= x1=，x2=- 因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根x1=1

18、，x2=- （2）存在根據(jù)題意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因為當(dāng)m=0時，（m+1）+（m-2）=2m-1=-10 所以m=0滿足題意 當(dāng)m2+1=0，m不存在 當(dāng)m+1=0，即m=-1時，m-2=-30 所以m=-1也滿足題意 當(dāng)m=0時，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 當(dāng)m=-1時，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=- 因此，當(dāng)m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當(dāng)m=0時，其根為x=-1；當(dāng)m=-1時，其一元一次方程的根為x=- 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： （1）求根公式的概念及其推導(dǎo)過程； （2）公式法的概念； （3）應(yīng)用公式法解一元二次方程；

19、（4）初步了解一元二次方程根的情況 六、布置作業(yè) 1教材 復(fù)習(xí)鞏固4 2選用作業(yè)設(shè)計: 一、選擇題 1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2= Bx1=6，x2=Cx1=2，x2= Dx1=x2=- 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、填空題 1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，條件是_ 2當(dāng)x=_時，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4 3若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則

20、m的值是_ 三、綜合提高題 1用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，（1）試推導(dǎo)x1+x2=-，x1x2=；（2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 3某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時，那么這戶居民這個月只交10元電費(fèi)，如果超過A千瓦時，那么這個月除了交10元用電費(fèi)外超過部分還要按每千瓦時元收費(fèi) （1）若某戶2月份用電90千瓦時，超過規(guī)定A千瓦時，則超過部分電費(fèi)為多少元？（用A表示）（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況月份用電量（千瓦時）

21、交電費(fèi)總金額（元） 3 80 25 4 45 10 根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A值為多少？答案:一、1D 2D 3C二、1x=，b2-4ac0 24 3-3三、1x=ab2（1）x1、x2是ax2+bx+c=0（a0）的兩根， x1=，x2= x1+x2=-， x1x2= （2）x1，x2是ax2+bx+c=0的兩根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2 =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c） =03（1）超過部分電費(fèi)=（90-A）=-A2+A （2）依題意，得：（80-A）=15，A1=30（

22、舍去），A2=50用因式分解法解一元二次方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1會用因式分解法解某些一元二次方程2能夠根據(jù)方程的特征，靈活運(yùn)用一元二次方程的各種解法求方程的根【主體知識歸納】1因式分解法 若一元二次方程的一邊是0，而另一邊易于分解成兩個一次因式時，例如，x290，這個方程可變形為(x3)(x3)0，要(x3)(x3)等于0，必須并且只需(x3)等于0或(x3)等于0，因此，解方程(x3)(x3)0就相當(dāng)于解方程x30或x30了，通過解這兩個一次方程就可得到原方程的解這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法2因式分解法其解法的關(guān)鍵是將一元二次方程分解降次為一元一次方程其理論根據(jù)是：若AB0A0或B0【基

23、礎(chǔ)知識講解】1只有當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個一次因式，而另一邊是0的時候，才能應(yīng)用因式分解法解一元二次方程分解因式時，要根據(jù)情況靈活運(yùn)用學(xué)過的因式分解的幾種方法2在一元二次方程的四種解法中，公式法是主要的，公式法可以說是通法，即能解任何一個一元二次方程但對某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接開平方法簡便，有的用因式分解法簡便因此，在遇到一道題時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ馀浞椒ń庖辉畏匠淌潜容^麻煩的，在實際解一元二次方程時，一般不用配方法而在以后的學(xué)習(xí)中，會常常用到因式分解法，所以要掌握這個重要的數(shù)學(xué)方法【例題精講】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t

24、1)； (3)(2x1)(x1)1解：(1)方程可變形為(y1)(y6)0，y10或y60，y11，y26(2)方程可變形為t(2t1)3(2t1)0，(2t1)(t3)0，2t10或t30，t1，t23(3)方程可變形為2x23x0x(2x3)0，x0或2x30x10，x2說明：(1)在用因式分解法解一元二次方程時，一般地要把方程整理為一般式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式為零，得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解了(2)應(yīng)用因式分解法解形如(xa)(xb)c的方程，其左邊是兩個一次因式之積，但右邊不是零，所以應(yīng)

25、轉(zhuǎn)化為形如(xe)(xf)0的形式，這時才有x1e，x2f，否則會產(chǎn)生錯誤，如(3)可能產(chǎn)生如下的錯解：原方程變形為：2x11或x11x11，x22(3)在方程(2)中，為什么方程兩邊不能同除以(2t1)，請同學(xué)們思考？例2：用適當(dāng)方法解下列方程：(1)(1x)2；(2)x26x190；(3)3x24x1；(4)y2152y；(5)5x(x3)(x3)(x1)0；(6)4(3x1)225(x2)2剖析：方程(1)用直接開平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了解：(1)(1x)2，(x1)

26、23，x1，x11，x21(2)移項，得x26x19，配方，得x26x(3)219(3)2，(x3)228，x32，x132，x232(3)移項，得3x24x10，a3，b4，c1，x，x1，x2(4)移項，得y22y150，把方程左邊因式分解，得(y5)(y3)0；y50或y30，y15，y23(5)將方程左邊因式分解，得(x3)5x(x1)0，(x3)(4x1)0，x30或4x10，x13，x2(6)移項，得4(3x1)225(x2)20，2(3x1)25(x2)20，2(3x1)5(x2)2(3x1)5(x2)0，(11x8)(x12)0，11x80或x120，x1，x212說明：(1)

27、對于無理系數(shù)的一元二次方程解法同有理數(shù)一樣，只不過要注意二次根式的化簡(2)直接因式分解就能轉(zhuǎn)化成兩個一次因式乘積等于零的形式，對于這種形式的方程就不必要整理成一般式了例3:解關(guān)于x的方程：(a2b2)x24abxa2b2解：(1)當(dāng)a2b20，即ab時，方程為4abx0當(dāng)ab0時，x為任意實數(shù)當(dāng)ab0時，x0(2)當(dāng)a2b20，即ab0且ab0時，方程為一元二次方程分解因式，得(ab)x(ab)(ab)x(ab)0，ab0且ab0，x1，x2說明：解字母系數(shù)的方程，要注意二次項系數(shù)等于零和不等于零的不同情況分別求解本題實際上是分三種情況，即ab0；ab0；ab例4:已知x2xy2y20，且x

28、0，y0，求代數(shù)式的值剖析：要求代數(shù)式的值，只要求出x、y的值即可，但從已知條件中顯然不能求出，要求代數(shù)式的分子、分母是關(guān)于x、y的二次齊次式，所以知道x與y的比值也可由已知x2xy2y20因式分解即可得x與y的比值解：由x2xy2y20，得(x2y)(xy)0，x2y0或xy0，x2y或xy當(dāng)x2y時，當(dāng)xy時，說明：因式分解法體現(xiàn)了“降次”“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，它不僅可用來解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程組及有關(guān)代數(shù)式的計算、證明中也有著廣泛的 應(yīng)用實際問題與一元二次方程(1) 教學(xué)內(nèi)容 由“倍數(shù)關(guān)系”等問題建立數(shù)學(xué)模型，并通過配方法或公式法或分解因式法解決實際問題 教

29、學(xué)目標(biāo) 掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問題 通過復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實際問題，引入用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實際問題 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1重點(diǎn)：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動）問題1：列方程解應(yīng)用題下表是某一周甲、乙兩種股票每天每股的收盤價（收盤價：股票每天交易結(jié)果時的價格）：星期一二三四五 甲12元12.5元12.9元12.45元12.75元 乙13.5元13.3元13.9元13.4元13.75元 某人在這周內(nèi)持有若干甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天的收盤價計算

30、（不計手續(xù)費(fèi)、稅費(fèi)等），則在他帳戶上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，這人持有的甲、乙股票各多少股？ 老師點(diǎn)評分析：一般用直接設(shè)元，即問什么就設(shè)什么，即設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張，由于從表中知道每天每股的收盤價，因此，兩種股票當(dāng)天的帳戶總數(shù)就是x或y乘以相應(yīng)的每天每股的收盤價，再根據(jù)已知的等量關(guān)系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式 解：設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張 則 解得 答：（略） 二、探索新知 上面這道題大家都做得很好，這是一種利用二元一次方程組的數(shù)量關(guān)系建立的數(shù)學(xué)模型，那么還有沒有利用其它形式，也就是利用我們前面

31、所學(xué)過的一元二次方程建立數(shù)學(xué)模型解應(yīng)用題呢？請同學(xué)們完成下面問題 （學(xué)生活動）問題2：某工廠第一季度的一月份生產(chǎn)電視機(jī)是1萬臺，第一季度生產(chǎn)電視機(jī)的總臺數(shù)是3.31萬臺，求二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長的百分率是多少？ 老師點(diǎn)評分析：直接假設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長率為x因為一月份是1萬臺，那么二月份應(yīng)是（1+x）臺，三月份應(yīng)是在二月份的基礎(chǔ)上以二月份比一月份增長的同樣“倍數(shù)”增長，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易從第一季度總臺數(shù)列出等式 解：設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長的百分率為x，則1+（1+x）+（1+x）2=3.31 去括號：1+1+x+1+2x+

32、x2=3.31 整理，得：x2+3x-0.31=0 解得：x=10% 答：（略） 以上這一道題與我們以前所學(xué)的一元一次、二元一次方程（組）、分式方程等為背景建立數(shù)學(xué)模型是一樣的，而我們借助的是一元二次方程為背景建立數(shù)學(xué)模型來分析實際問題和解決問題的類型 例1某電腦公司2001年的各項經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個增長率 分析：設(shè)這個增長率為x，由一月份的營業(yè)額就可列出用x表示的二、三月份的營業(yè)額，又由三月份的總營業(yè)額列出等量關(guān)系 解：設(shè)平均增長率為x 則200+200（1+x）+200（1+x）2=950 整理，

33、得：x2+3x-1.75=0 解得：x=50% 答：所求的增長率為50% 三、鞏固練習(xí) （1）某林場現(xiàn)有木材a立方米，預(yù)計在今后兩年內(nèi)年平均增長p%，那么兩年后該林場有木材多少立方米? （2）某化工廠今年一月份生產(chǎn)化工原料15萬噸，通過優(yōu)化管理，產(chǎn)量逐年上升，第一季度共生產(chǎn)化工原料60萬噸，設(shè)二、三月份平均增長的百分率相同，均為x，可列出方程為_ 四、應(yīng)用拓展 例2某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率 分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x，第

34、一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+2000x80%，其它依此類推 解：設(shè)這種存款方式的年利率為x 則：1000+2000x80%+（1000+2000x8%）x80%=1320 整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2=0.125=12.5% 答：所求的年利率是125% 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 利用“倍數(shù)關(guān)系”建立關(guān)于一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并利用恰當(dāng)方法解它 六、布置作業(yè) 1教材 復(fù)習(xí)鞏固1 綜合運(yùn)用1 2選用作業(yè)設(shè)計作業(yè)設(shè)計一、選擇題12

35、005年一月份越南發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場100家，后來二、三月份新發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場共250家，設(shè)二、三月份平均每月禽流感的感染率為x，依題意列出的方程是（ ） A100（1+x）2=250 B100（1+x）+100（1+x）2=250 C100（1-x）2=250 D100（1+x）22一臺電視機(jī)成本價為a元，銷售價比成本價增加25%，因庫存積壓，所以就按銷售價的70%出售，那么每臺售價為（ ） A（1+25%）（1+70%）a元 B70%（1+25%）a元 C（1+25%）（1-70%）a元 D（1+25%+70%）a元3某商場的標(biāo)價比成本高p%，當(dāng)該商品降價出售時，為了不虧損成本，售價的折

36、扣（即降低的百分?jǐn)?shù)）不得超過d%，則d可用p表示為（ ） A Bp C D二、填空題1某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量，平均每年的增長率為x，第一年的產(chǎn)量為6萬kg，第二年的產(chǎn)量為_kg，第三年的產(chǎn)量為_，三年總產(chǎn)量為_2某糖廠2002年食糖產(chǎn)量為at，如果在以后兩年平均增長的百分率為x，那么預(yù)計2004年的產(chǎn)量將是_3我國政府為了解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品價格，某種藥品在1999年漲價30%后，2001年降價70%至a元，則這種藥品在1999年漲價前價格是_三、綜合提高題1為了響應(yīng)國家“退耕還林”，改變我省水土流失的嚴(yán)重現(xiàn)狀，2000年我省某地退耕還林1600畝，計劃到2002年一年退耕還林193

37、6畝，問這兩年平均每年退耕還林的平均增長率2洛陽東方紅拖拉機(jī)廠一月份生產(chǎn)甲、乙兩種新型拖拉機(jī)，其中乙型16臺，從二月份起，甲型每月增產(chǎn)10臺，乙型每月按相同的增長率逐年遞增，又知二月份甲、乙兩型的產(chǎn)量之比是3：2，三月份甲、乙兩型產(chǎn)量之和為65臺，求乙型拖拉機(jī)每月的增長率及甲型拖拉機(jī)一月份的產(chǎn)量3某商場于第一年初投入50萬元進(jìn)行商品經(jīng)營，以后每年年終將當(dāng)年獲得的利潤與當(dāng)年年初投入的資金相加所得的總資金，作為下一年年初投入的資金繼續(xù)進(jìn)行經(jīng)營 （1）如果第一年的年獲利率為p，那么第一年年終的總資金是多少萬元?（用代數(shù)式來表示）（注：年獲利率=100%） （2）如果第二年的年獲利率多10個百分點(diǎn)（即

38、第二年的年獲利率是第一年的年獲利率與10%的和），第二年年終的總資金為66萬元，求第一年的年獲利率答案:一、1B 2B 3D二、16（1+x） 6（1+x）2 6+6（1+x）+6（1+x）2 2a（1+x）2t 3三、1平均增長率為x，則1600（1+x）2=1936，x=10%2設(shè)乙型增長率為x，甲型一月份產(chǎn)量為y： 則 即16x2+56x-15=0，解得x=25%，y=20（臺）3（1）第一年年終總資金=50（1+P） （2）50（1+P）（1+P+10%）=66，整理得：P2+2.1P-0.22=0，解得P=10%實際問題與一元二次方程(2) 教學(xué)內(nèi)容 建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，解決

39、如何全面地比較幾個對象的變化狀況 教學(xué)目標(biāo) 掌握建立數(shù)學(xué)模型以解決如何全面地比較幾個對象的變化狀況的問題 復(fù)習(xí)一種對象變化狀況的解題過程，引入兩種或兩種以上對象的變化狀況的解題方法 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1重點(diǎn)：如何全面地比較幾個對象的變化狀況 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：某些量的變化狀況，不能衡量另外一些量的變化狀況 教具、學(xué)具準(zhǔn)備 小黑板 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動）請同學(xué)們獨(dú)立完成下面的題目 問題：某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元? 老師點(diǎn)評：總利潤=每件平均利潤總件數(shù)設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價x元，則每件平均利潤應(yīng)是（0.3-x）元，總件數(shù)應(yīng)是（500+100） 解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價x元 則（0.3-x）（500+）=120 解得