巧用平面法向量求空間角和空間距離

1、巧用平面法向量求空間角和空間距離 平面法向量的定義為：如果 al ，,那么向量a叫做平面的法向量.除此之外再也沒 有涉及其他任何知識(shí)點(diǎn)，筆者發(fā)現(xiàn)巧用平面法向量處理空間角和空間距離等問題 ，可以化繁 為簡(jiǎn),迎刃而解現(xiàn)舉例說明： 一、巧用平面法向量求斜線與平面所成的角 方法指導(dǎo)：如圖1,PA為平面的斜線,PO為平面的垂 線，根據(jù)定義，斜線PA與平面所成的角，二PAO, 可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量pa與平面的法向量n的夾 角的余角或其補(bǔ)角的余角.即如果PA與n的夾角: 為銳角，則斜線PA與平面:-所成的角為;如 2 T - 果PA與n的夾角為鈍角，則斜線 PA與平面所成 i 的角為二-.故斜線PA與平

2、面所成角的二的正弦值sin等于斜線的方向向量 PA與平面口的法向量n夾角余弦的絕對(duì)值，即 sin。= cose 金題示例1:如圖，在直三棱柱ABC ACi中，底面是等腰 直角三角形，/ ACB = 90，側(cè)棱AAi = 2, D、E分別是CCi 與AiB的中點(diǎn)，點(diǎn) E在平面 ABD上的射影是 ABD的重心 G.求AiB與平面ABD所成角的大小. 命題意圖：主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查 知識(shí)依托：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面法向量的應(yīng)用及 空間想像能力和推理運(yùn)算能力. GE =(3，3，3)，BD =(0,2a ,i). GE BD = -2a2 2 3=0，解得 3 BA =(2

3、,2,2), BA= 2,-2,0 , BD = 0,-2,1 . 設(shè)平面ABD的法向量n二x,y,z，貝y n 竺-2x -2八0,于是取n二1,1,2 . n BD = _2y z = 0. 二 cos ： BA, n _4_ H6 一 3 因?yàn)锳1B與平面ABD所成角V的正弦值sin v - cos ： BA1, n2 , 3 、42 所以A1B與平面ABD所成角是arcsin 3 二、巧用平面法向量求二面角 方法指導(dǎo)：因?yàn)閮蓚€(gè)半平面的法向量 ni、n2的夾角等于二面角的平面角或者其補(bǔ)角 注意結(jié)合圖形觀察二面角的平面角 二的大小從而決定它與兩個(gè)法向量夾角的關(guān)系: 如果二是銳角，則 cos

4、 日=cosg n2)| = 如果二是鈍角，則 cos = - cos H|, n2 ni n. n rccos n2 在五面體 ABCDEF 中，F(xiàn)A_ 平面 ABCD, AD/BC/FE , AB _ AD , M 1 為 EC 的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE= AD . 2 求二面角 A CD E和M AC B的大小. 命題意圖：考二面角等基礎(chǔ)知識(shí)， 考查用空間向量解決立體 幾何問題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證 能力. 金題示例2:如圖, 知識(shí)依托： 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面法向量的應(yīng)用. 解法過程: 如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、 AF 為 x、 y、z

5、軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xy乙設(shè)AB =1,依題意得 B 1,0,0 , C 1,1,0 , D 0,2,0 , Eg ,1, F0 1, M! ,1, rDC 二 1,一1,0 , DE 二 0,-1,1 可取平面ABCD的一個(gè)法向量n =AF h0,0,i，設(shè)平面CDE的法向量up.x, y,z，則 UDC=0, u DE =0. x_y _0,令 x=1，可得 u =(1,1,1), -y z =0. 所以 cos ： u, n = 曰 疋 -，結(jié)合圖形可知二面角A CD E為銳二面角, 3 其大小與兩個(gè)法向量的夾角相等為arccos3 3 H T v AC 二 0, 設(shè)平面CMA的法向

6、量v=：x,y,z ,貝U jv AM 0. x y = 0, 1 1令 x = 2 , x y z = 0. 2 2 可得 v = 2, -2,2，所以 cos ： v,n 二 結(jié)合圖形可知二面角 M AC B為鈍二面角，其大小與兩個(gè)法向量的夾角互補(bǔ), 所以二面角M AC B的大小為arccos 庚 ,即 一 arccos二. 3 三、巧用平面法向量求點(diǎn)到平面的距離 方法指導(dǎo)：若點(diǎn)P為平面a外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面a內(nèi)任一點(diǎn), 平面的法向量為 n ,設(shè)點(diǎn)P在平面a內(nèi)的射影為點(diǎn)O, I T T T T 顯然，n AO = 0, PO 二 PA AO, n PO = n PA AO n PA n AO

7、 = n PA , 而 ,所以點(diǎn)P到平面a的距離為 M N A ,即點(diǎn)P到平面a的距離為經(jīng)過點(diǎn) P的平 面a的任意一個(gè)向量 PA在平面的法向量 n上的投影的絕對(duì)值 金題示例3 :在金題示例1中求點(diǎn)A1到平面AED的距離. 解法過程：由例 1 有 A(2, 0, 0), A1(2, 0, 2), E(1 , 1 , 1), D(0 , 0, 1). AE =(1 ,1, 1), ED =(1 , 1,0),設(shè)平面 AED 的法向 量 n 二 x,y,z ,則 n A=0, n ED =0. 曰x y z = 0, 疋 J x y = 0. 令 x =1，可得 n 二 1,-1,2，又 AA 二 0,0,2 , 所以點(diǎn)A1到平面AED的距離d = AAn|42后 63 注：求線面距，面面距，可先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，再用此法求解.利用向量方法求解空間距 離問題，可以回避此類問題