第10講空間中的平行關(guān)系

1、第 10 講 空間中的平行關(guān)系 一【課標(biāo)要求】 1平面的基本性質(zhì)與推論 借助長方體模型，在直觀認(rèn)識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間 線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理： 公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)， 那么這條直線在此平面內(nèi)； 公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面； 公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點， 那么它們有且只有一條過該點的公共直線； 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行； 定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補 2空間中的平行關(guān)系 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，

2、通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證， 認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以 下判定定理： 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行， 則該直線與此平面平行； 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行， 則這兩個平面平行； 通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明： 一條直線與一個平面平行， 則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行； 兩個平面平行， 則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行； 垂直于同一個平面的兩條直線平行 能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題 二【命題走向】 立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，通過

3、近幾年的高考情況分析，考察的重點及難點穩(wěn) 定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考察重點。在 難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點在對圖形 及幾何體的認(rèn)識上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識 點上命題，將是重中之重。 預(yù)測 2019 年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關(guān)系： （1）考題將會出現(xiàn)一個選擇題、一個填空題和一個解答題； （2）在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質(zhì)，考察線線、線面和面面關(guān)系的論 證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主 三【要點精講】 1平面概述 （1）平面的兩個

4、特征： 無限延展 平的（沒有厚度） （2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面 （3 ）平面的表示：用一個小寫的希臘字母、 、 等表示，如平面 、平面 ；用表 示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面 AC。 2三公理三推論 : 公理 1：若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi)： A l ,B l ,A ,B l 公理 2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集 合是一條過這個公共點的直線。 公理 3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。 推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面。 推論二：經(jīng)過兩條相交直

5、線 ,有且只有一個平面。 推論三：經(jīng)過兩條平行直線 ,有且只有一個平面 3空間直線 : （1）空間兩條直線的位置關(guān)系： 相交直線有且僅有一個公共點； 平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點； 異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直 線。 異面直線的畫法常用的有下列三種： b （2）平行直線： 在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的。 即公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 （ 3）異面直線定理： 連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線， 和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線 是異面直線。推理模式： A , B ,a ,B a AB 與

6、 a 是異面直線。 4直線和平面的位置關(guān)系 （1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點） ； （2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）； （3）直線和平面平行（沒有公共點）用兩分法進(jìn)行兩次分類。 它們的圖形分別可表示為如下， 符號分別可表示為 a，aA，a / 。 線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么 這條直線和這個平面平行。推理模式： a ,b ,a/ b a / a a 線面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線和一個平面平行， 那么這條直線和交線平行 推理模式： a/ ,a , b a/ b 5兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有 公共直線）、兩平面平行（沒有

7、公共點） 經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交， 1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那 么這兩個平面平行。 a 定理的模式： b a b P / a/ b/ 推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么 這兩個平面互相平行。 推論模式： a b P,a ,b ,a b P ,a ,b,a/ a ,b/ b/ （ 2）兩個平面平行的性質(zhì)（ 1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于 另一個平面； （ 2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 四【典例解析】 題型 1：共線、共點和共面問題 例 1（

8、1）如圖所示，平面 ABD 平面 BCD 直線 BD ，M 、 N 、P 、Q 分別為線段 AB 、BC 、CD 、DA 上的點，四邊形 MNPQ 是以 PN 、 QM 為腰的梯形。 試證明三直線 BD 、 MQ 、 NP 共點。 證明： 四邊形 MNPQ 是梯形，且 MQ 、 NP 是腰， 直線 MQ 、 NP 必相交于某一點 O 。 O 直線 MQ ；直線 MQ 平面 ABD ， O 平面 ABD。 同理， O 平面 BCD ，又兩平面 ABD 、BCD 的交線為 BD ， 故由公理二知， O 直線 BD ，從而三直線 BD 、MQ 、NP 共點。 點評：由已知條件，直線 MQ 、NP 必

9、相交于一點 O ，因此，問題轉(zhuǎn)化為求證點 O 在直 線 BD 上，由公理二，就是要尋找兩個平面，使直線 BD 是這兩個平面的交線，同時點 O 是 這兩個平面的公共點即可 “三點共線”及“三線共點”的問題都可以轉(zhuǎn)化為證明“點在直線 上”的問題。 2）如圖所示，在四邊形 ABCD中，已知 ABCD，直線 AB，BC，AD，DC 分別與平面 共線 相交于點 E， G，H，F(xiàn)求證： E， F，G， H 四點必定 證明： AB CD， AB，CD 確定一個平面 又AB E， AB ， E，E， 即 E 為平面 與的一個公共點。 同理可證 F，G，H 均為平面 與的公共點 兩個平面有公共點，它們有且只有一

10、條通過公共點的公共直線， E，F(xiàn)，G，H 四點必定共線。 2，即先證明這些點都是某 點評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，常運用公理 二平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論。 例 2已知： a，b，c，d 是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a， b，c，d 共面。 證明：1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點， 不妨設(shè) a，b，c 相交于一點 A， 但 A d，如圖 1 所示： 直線 d 和 A 確定一個平面 。 又設(shè)直線 d 與 a，b， c 分別相交于 E，F(xiàn)，G， 則 A，E，F(xiàn)， G。 A ， E ， A ， E a， a 。 同理可證 b ， c 。 a E F

11、b G c 圖1 H Kd a bc 圖2 a，b，c，d 在同一平面 內(nèi)。 2o 當(dāng)四條直線中任何三條都不共點時， 這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線 a， b 確定一個平面 。 如圖 2 所示： 設(shè)直線 c 與 a，b 分別交于點 H，K，則 H，K。 又 H， K c ， c,則 c 。 同理可證 d 。 a，b，c，d 四條直線在同一平面 內(nèi) 點評：證明若干條線 （或若干個點 ）共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理3 或推論，由題給條 件中的部分線 （或點）確定一個平面，然后再根據(jù)公理1 證明其余的線 （或點 ）均在這個平面內(nèi)。 本題最容易忽視“三線共點”這一種情況。因此，在分析題意時，應(yīng)仔細(xì)

12、推敲問題中每一句 話的含義。 題型 2：異面直線的判定與應(yīng)用 例 3已知：如圖所示，a ，b，a b A ， c，c a 。求證直 線 b 、 c 為異面直線 證法一： 假設(shè) b 、c 共面于 由 A a ，a c 知，A c ，而 a b A， a， A， A。 又 c ， 、 都經(jīng)過直線 c 及其外的一點 A ， 與 重合，于是 a ，又 b 。 又 、 都經(jīng)過兩相交直線 a 、 b ，從而 、 重合。 、 、 為同一平面，這與 a 矛盾 b 、 c 為異面直線 證法二：假設(shè) b 、 c 共面，則 b ，c 相交或平行。 （1）若 b c ，又 a c ，則由公理 4 知 a b ，這與

13、a b A 矛盾。 （2）若 b c P ，已知 b，c，則 P 是 、 的公共點， 由公理 2，P a ， 又b cP，即P c，故a cP，這與 ac矛盾 綜合（ 1）、（2）可知， b 、 c 為異面直線。 證法三：a ， a b A ， A a 。 a c ， A c ， 在直線 b 上任取一點 P（ P 異于 A），則 P （否則 b ，又 a ，則 、 都 經(jīng)過兩相交直線 a 、 b ，則 、 重合，與 a 矛盾）。 又 c ，于是根據(jù)“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異 面直線”知， b 、 c 為異面直線。 點評：證明兩直線為異面直線的思路主要有兩條：

14、一是利用反證法；二是利用結(jié)論“過 平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線 。異面直線又有兩 條途徑：其一是直接假設(shè) b 、 c 共面而產(chǎn)生矛盾；其二是假設(shè) b 、 c 平行與相交；分別產(chǎn)生 矛盾。判定直線異面，若為解答題，則用得最多的是證法一、二的思路；若為選擇或填空題， 則往往都是用證法三的思路。用反證法證題，一般可歸納為四個步驟：（1）否定結(jié)論； （2） 進(jìn)行推理；（ 3）導(dǎo)出矛盾； （ 4）肯定結(jié)論 宜用反證法證明的命題往往是（ 1）基本定理或某一知識系統(tǒng)的初始階段的命題（如立體 幾何中的線面、 面面平行的判定定量的證明等） ；（2）肯定或否定型的命題 （如結(jié)論

15、中出現(xiàn) “必 有”、“必不存在”等一類命題） ；（3）唯一型的命題（如“圖形唯一” 、“方程解唯一”等一類 命題）；（4）正面情況較為繁多，而結(jié)論的反面卻只有一兩種情況的一類命題； 5）結(jié)論中出 現(xiàn)“至多”、“不多于”等一類命題。 例 4（ 1）已知異面直線 a,b 所成的角為 700 ，則過空間一定點 O，與兩條異面直線 a,b 都成 60 0角的直線有 （ ）條 A 1B2C 3 D4 （2）異面直線 a,b 所成的角為 是 60 0 ，則 的取值可能是（ ） , 空間中有一定點 O，過點 O 有 3 條直線與 a,b 所成角都 00 A 30B 50 0 60 0 D 90 解析：（1）

16、過空間一點 O分別作 a a,b b。 將兩對對頂角的平分線繞 O 點分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，總能得到與 a ,b 都成 60 0 角的 直線。故過點 O與 a,b都成 60 0角的直線有 4 條，從而選 D。 （2）過點 O分別作 a a、b b，則過點 O有三條直線與 a,b 所成角都為 60 0 ，等價于 過點 O有三條直線與 a ,b 所成角都為 60 0 ，其中一條正是 角的平分線。 從而可得選項為 C。 點評：該題以學(xué)生對異面直線所成的角會適當(dāng)轉(zhuǎn)化，較好的考察了空間想象能力 題型 3：線線平行的判定與性質(zhì) 例 5（ 2009 江蘇卷）設(shè) 和 為不重合的兩個平面， 給出下列命題： （

17、1）若 內(nèi)的兩條相交直線分別平行于 內(nèi)的兩條直線，則 平行于 ； （ 2）若 外一條直線 l 與 內(nèi)的一條直線平行，則 l 和 平行； （ 3）設(shè) 和 相交于直線 l ，若 內(nèi)有一條直線垂直于 l ，則 和 垂直； （ 4）直線 l 與 垂直的充分必要條件是 l 與 內(nèi)的兩條直線垂直。 上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號） . 【解析】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。 真命題的序號是 （1）（2） 例 6兩個全等的正方形 ABCD和 ABEF所在平面相交于 AB，M AC，NFB，且 AM=FN，求 證： MN 平面 BCE。 證法一：作 MPBC，NQB

18、E，P、Q為垂足，則 MPAB，NQAB。 MP NQ，又 AM=NF，AC=BF， C P B MC =NB， MCP = NBQ=45 RtMCP RtNBQ MP=NQ，故四邊形 MPQN 為平行四邊形 MNPQ PQ 平面 BCE， MN 在平面 BCE 外， MN 平面 BCE。 證法二：如圖過 M 作 MHAB于 H，則 MHBC， AM AH 連結(jié) NH，由 BF=AC，F(xiàn)N=AM ，得 FN BF AH AB B AC AB NH/AF/BE 由 MH/BC, NH/BE 得 :平面 MNH/ 平面 BCE MN 平面 BCE。 題型 4：線面平行的判定與性質(zhì) 例 7 （200

19、9 山東卷理 ）（本小題滿分 12 分） 如圖，在直四棱柱 ABCD-A1B1 C1 D 1中，底面 ABCD為等 腰梯形， AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1 、F分別是 棱 AD、AA1 、AB的中點。 （1）證明：直線 EE1/ 平面 FCC1 ； （2）求二面角 B-FC1-C 的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，取 A1B1 的中點 連接 A1D，C1F1，CF1，因為 AB=4, CD=2且, AB/CD， 所以 CD/=/ A1F1， A1F1CD為平行四邊形，所以 CF1/A 1D， 又因為 E、E1分別是棱 AD、

20、 AA1的中點，所以 EE1/A 1D， 所以 CF1/EE1，又因為 EE1 平面 FCC1， CF1 平面 FCC1， 所以直線 EE1/ 平面 FCC1. （2）因為 AB=4, BC=CD=2, 、F是棱 AB的中點,所以 BF=BC=CF, BCF為正三角形 ,取CF的中點 O,則OBCF又, 因為直四棱柱 ABCD-A1 B1 C1 D1中,CC1平面 ABCD,所以 CC1 BO,所以 OB平面 CC1F,過 O在平面 CC1F內(nèi)作 OPC1F,垂足為 P,連接 BP,則 OPB為二面角 B-FC1-C的一個平面角 OP 在BCF為正三角形中,OB 3,在 Rt CC1F 中,

21、OPF CC1F, OF CC1 C1F OP 1 2 2 22 222 在 RtOPF 中,BPOP2 OB2 1 3 14 ,cos OPB OP 2 2 BP 2 2 14 2 77 ,所以二 面角 B-FC1-C的余弦值為 7. y ,E1 解法二:(1)因為 AB=4, BC=CD=2, F是棱 AB的中點 , 所以 BF=BC=CF, BCF為正三角形 , 因為 ABCD 為 等腰梯形 ,所以 BAC=ABC=60,取 AF 的中點 M, 連接 DM,則 DMAB,所以 DM CD, 以DM為x軸,DC為 y軸,DD1為 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 ,則 D(0,0,0),A( 3 ,

22、-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0), C1 ( 0,2,2 ) ,E 1 ,0 ) 2 EE1 ( 23 1 12,1),CF ( 3, 1,0) ,CC1 (0,0,2) FC1 ( 3,1,2) 設(shè)平面 CC1F 的法向量 n (x,y,z) 則 n CF 0 所 n CC1 0 3x y 0 取 n (1, 3,0) z0 EE1 311 22 3 1 0 0,所以 n EE1 ,所以直線 EE1/ 平面 FCC1. 2) FB (0, 2,0) ,設(shè)平面 BFC1 的法向量為 n1 (x1,y1,z1),則 n1 FB 0 所以 n1 FC1 0 y1 0 3x1 y1

23、 2 z1 ,取 n1 (2,0, 3),則 n n1 2 1 3 0 0 3 2, 0 |n| 1 ( 3)2 2 ,|n1| 22 0 ( 3)27 , 所以 cos n,n1n n1 27 ,由圖可知二面角 B-FC1 -C為銳角 ,所以二面角 B-FC1-C |n|n1 | 2 7 7 1 1 的余弦值為 7 7 【命題立意】 :本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計算 象能力和推理運算能力 ,以及應(yīng)用向量知識解答問題的能力 . .考查空間想 例 8( 2008 四川 19，理 21) (本小題滿分 12 分) 如圖，平面ABEF 平面ABCD，四邊形 ABEF與 A

24、BCD都是直角梯形， BAD FAB 90， BC1AD，BE1AF 22 ()證明： C、D、F 、E四點共面； ()設(shè) AB BC BE ，求二面角 A 不是會不會的問題，而是熟不熟的問題，答題時間是最大問題 面 ABEF 面 ABCD， AF AB 90 AF 面 ABCD 以 A為原點，以 AB ， AD， AF 所在直線為 x軸， y軸， z 軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A xyz 不妨設(shè) AB a， AD 2b ， AF 2c，則 A(0,0,0) ， B(a,0,0) ， C (a , b,0) ， D (0,2 b,0) ， E(a,0,c)， F (0,0, 2c)

25、DF (0, 2b,2c) ， CE (0, b,c) ， DF 2CE ， DF /CE ， E DF ， DF /CE ， C、 D、E、F四點共面 ()設(shè) AB 1，則 BC BE 1 ， B(1,0,0) ， D (0,2,0) ， E (1,0,1) 設(shè)平面 AED 的法向量為 解析： () D n1 (x1,y1,z1)， 由 n1 AE 0，得 x1 z1 0， n1 (1,0, 1) n1 AD 02y1 0 設(shè)平面 BED 的法向量為 n2 (x2,y2,z2) ， n2 (2,1,0) 0 21 2 5 5 由 n2 BE 0 ，得 z2 0 n1 BD 0 x2 2 y2

26、 cos n1, n2 由圖知，二面角 A ED B 為銳角， 其大小為 arccos 10 5 點評： 證共面就是證平行，求二面角轉(zhuǎn)為求法向量夾角，時間問題是本題的困惑處心浮氣 燥會在計算、書寫、時間上丟分因建系容易，提倡用向量法本時耗時要超過 17 題與 18 題用時之和 題型 5：面面平行的判定與性質(zhì) 例 9如圖， 正方體 ABCDA1B1C1D1 的棱長為 a。證明： 平面 ACD1 平面 A1C1B 。 證明：如圖， A1BCD1 是矩形， A1B D1C 。 又 D1C 平面 D1CA ， A1B 平面 D1CA ， A1B 平面 D1CA。 同理 A1C1 平面 D1CA ，又 A1C1 A1B A1 ， 平面 D1CA 平面 BA1C1 點評：證明面面平行，關(guān)鍵在于證明 A1C1 與 A1B 兩相交直線分別與平面 ACD1 平行。 例 10P 是ABC 所在平面外一點， A、 （1）求證：平面 ABC平面 ABC ； （2） S A BCSABC 的值。 解析： （1）取 AB 、BC 的中點 M、 PC PA 2 則 PM PN 3 AC平面 ABC 。 同理 AB面 ABC ， ABC面 ABC. B、 PCA、 PAB 的重心。 N， C分別是 PBC、 1 A C PA (2)