1第1講平面向量的概念及線性運算

1、和網(wǎng)回翟*列酣自疇4知識棕理1.向量的有關(guān)概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模._零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.單位向量：長度等于1個單位的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線.(5) 相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6) 相反向量：長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a+ b = b + a; 結(jié)合律：(a+ b) + c=空+ (b+ c)0 f 平和ira血他朋則減法求a與b的相反向量一b的和的運算yva b = a + ( b)a

2、數(shù)乘求實數(shù)入與向量a的積的運算| Xa|= |2|a|,當(dāng) 20 時，2 a 與 a 的方向相同；當(dāng) 20時，2 a與a的方向相反；當(dāng)2= 0時，2 a=02 (劉=(2矗;(2 Qa = 2+ 仏 _a;2 (a+ b) = 2a +23兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)入使得b= 2a.1. 注意幾個特殊向量要注意0與0的區(qū)別，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且01= 0.單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同.(3) 任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫作共線向量.aa與向量a平行的單位向量有兩個，即向量 冋和2. 識記五個常用結(jié)論

3、(1) 一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即 A1A2 + A2A3+ A3A4+ An - 1 An= A 1 An .特別地，一個圭寸閉圖形首尾連接而 成的向量和為零向量.1 一(2) 若P為線段AB的中點，0為平面內(nèi)任意一點，貝U OP= 2(0A+ OB).若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點，則PA+ PB + PC= 0? PABC的重心.(4) 在厶ABC中，AD , BE, CF分別為三角形三邊上的中線，它們交 于點G(如圖所示)，易知G ABC的重心，則有如下結(jié)論： GA + GB + GC = 0; AG = (AB + AC

4、)； GD = 2(GB + GC), GD = 6(AB + AC).(5) 若0A = X0B + QC(入為常數(shù))，則A , B, C三點共線的充要條件是入 +尸1.0判斷正誤(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.()(2) 零向量與任意向量平行.()(3) 若 a / b, b/ c,貝U a/ c.()若向量AB與向量Cd是共線向量，則 A, B, C, D四點在一條直線上.()(5) 當(dāng)兩個非零向量a, b共線時，一定有b =七，反之成立.()-一 1 -一 一一(6) 在厶 ABC 中，D 是 BC 的中點，貝U AD =

5、 ?(AB+ AC).()答案：(1)X (2) V (3) X (4) X (5) V (6) V (教材習(xí)題改編)如圖，?ABCD的對角線交于 M，若Ab = a, Ad = b, 用a, b表示MD 為()1 1A.qa+ 2b1 1C. 2a - 2b1 1B.qa 2b1 1D. 2a + 2bf 1 f 111解析：選 D.MD = 2BD = 2（b a）= qa + qb,故選 D.宙設(shè)D為厶ABC所在平面內(nèi)一點,A.AD = 3AB + 4acC.AD = |Ab + |AcBC=3CD，貝U（）1 f 4 fB.AD =-AB; AC3 34 f 1 fD.AD = 3AB

6、 3AC解析：選 a.由題意得 Ad = Ac+ Cd = Ac + bc = Ac + acab = 1Ab+ 3AC.33333Q （教材習(xí)題改編）化簡：（2）NQ+ QP+ Mn MP =.解析：（1）（Ab+ mb）+ BO+om = （Ab + BO）+（om + Mb）= Ao+ ob = Ab. （2）NQ+ QP+ MN MP = NP+ PN= 0.答案：(1)AB(2)0已知a與b是兩個不共線向量，且向量a + %與(b 3a)共線，貝U L解析：由題意知存在k R，使得a + % = k (b 3a)，所以% = k，解得1 = 3k,考鍾平面向量的有關(guān)概念(自主練透)1

7、. 判斷下列四個命題： 若 a / b，則 a= b;若 |a|= |b|,則 a = b;若 |a|= |b|,則 a/ b;若 a = b,則 |a|=|b| .其中正確的個數(shù)是()C. 3解析：選A.只有正確.2. 設(shè)ao為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，貝Ua = |a|ao;若a與ao平行，則a= |a|ao;若a與ao平行且|a|= 1,貝U a= ao.上述命題中，假命題的個數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2解析：選D.向量是既有大小又有方向的量，a與|a|ao的模相同，但方向不一定相同，故反向時是假命題；若a與ao平行，則a與ao的方向有兩種情況：一是同向，二是反向,a= |a

8、|ao,故也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3.3.設(shè)a, b都是非零向量，下列四個條件中，使話訥立的充分條件是（A. a= bB. a/ bC. a = 2bD. a / b 且 |a|= |b|解析：選C.因為向量|即勺方向與向量a相同,向量著的方向與向量b相同,|a| |b|所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項 A,B, D.當(dāng)a=2b時，；|=2h眷故a=2b是話魯成立的充分條件.4.給出下列命題:若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同; 若 |a|=|b|,則 a= b 或 a= b; 若A, B, C, D是不共線的四點，且 AB = DC，貝U ABCD為平行四邊形;

9、a= b的充要條件是|a|= |b|且a / b;已知人口為實數(shù)，若?a= pb，則a與b共線.其中真命題的序號是解析：是錯誤的，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等, 不一定有相同的起點和終點.是錯誤的，|a|= |b|,但a, b方向不確定，所以a, b的方向不一定相等或相反. 是正確的，因為 Ab= Dc，所以|Ab= |dc|且Ab / Dc ；又a, b, c, d是不共線的四 點，所以四邊形 ABCD為平行四邊形. 是錯誤的，當(dāng)a / b且方向相反時，即使|a|= |b|,也不能得到a = b，所以|a|= |b|且 a / b 不是a= b的充要條件，而是必

10、要不充分條件. 是錯誤的，當(dāng) 匕口 = o時，a與b可以為任意向量，滿足?a =p b，但a與b不一定共線.故填.答案：辨析向量有關(guān)概念的五個關(guān)鍵點向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.(4)單位向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度.零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，長度是 0,規(guī)定零向量與任何向量共線.考點2平面向量的線性運算(多維探究)角度一 向量的線性運算洌I (1)(2018高考全國卷I )在厶ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點,則 EB =()3 f 1 f1 f 3 fA. 4AB

11、ACB4AB 4ACC.AB + 扼d.ab + 3AC在四邊形ABCD 中, 長線與CD交于點F,則(BC = AD , AC與BD交于點O, E是線段OD的中點，AE的延a.Af = |Ac + |bdb.Af=2/c+ |BdC.AF = AC + |bDD.AF = |ac+ 寸品34【解析】(1)由題可得f f f 1 f f f 3 f 1 fEB = EA+ AB = ?AB+ AC) + AB = 4AB AC.在四邊形ABCD 中,如圖所示，因為BC = AD，所以四邊形ABCD為平行四邊形由已知得De = |eB,由題意知 DEF BEA，則 DF = |AB，所以2 f

12、f 2 BD Ac2(od - OC)=基厘，所以 AF = AC + CF = AC +3AC + bD，故選 B.【答案】(1)A(2)B角度二根據(jù)向量線性運算求參數(shù)肌2 (一題多解)如圖，在直角梯形ABCD中，DC = AB,BEB. 2C. 3【解析】 法一：根據(jù)圖形，由題意可得Ae=Ab + BE= Ab+bC = Ab+ |(ba+AD + DC)=3AB + |(AD + DC)= 3/B+ l(AD + 1AB)= |aB + lAD.1I因為 AE= rAB + sAD，所以 r = |, s= 3，貝U Ir + 3s= 1 + I = 3.I3- 1 - l - 1 -

13、l -法二：因為 BE= lEC，所以 AE AB = l(AC AE)，整理，得AE = 3AB + 3AC = 3AB + ?(AD+ DC) = 1Ab + 3AD，以下同法一.法三：如圖，延長AD , BC交于點p，則由DC =拆得DC/ AB , 且 AB = 4DC.又Be= lEC,所以E為PB的中點，且Ap = 3AD.曰疋,-1 -1 4 1 - I -AE = |(AB + AP)= | AB + AD = |AB+ 3AD.以下同法一.法四:如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy,依題意可設(shè)點 B(4m, 0),D(3m, 3h), E(4m,2h)，其中m 0, h 0.由 A

14、E = rAB + sAD，得(4 m,4m = 4mr + 3ms,lh) = r(4m, 0) + s(3m, 3h)，所以解得lh= 3hs,1r= |，所以 Ir + 3s= 1 + l = 3.I s= 3，【答案】C平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義：向量加法和減法均適合三角形法則.(I)求已知向量的和：一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則;求首尾相連向量的和用三角形法則.1 2B3a+ 3b2 1D3a3b解析：選A.法一：如圖，過點D分別作AC, AB的平行線交AB,1. （2019 肥市第二次質(zhì)量檢測）在厶ABC中，BD

15、=扌乙，若AB = a, AC= b,則AD =( )2 1A.a+ 3b1 2C.3a3bAC于點E,F，則四邊形AEDF為平行四邊形,2 f 1 f 213AB + 3AC = 3a + 3b，故選所以AD = AE + AF.因為BDf2 f 1 -AB) = 3AB+ 3AC =點，點P在線段BN上且AP= m +m的值為（）= 3bc，所以 AE= 3AB, Af = 1ac,所以 Ad =A.法二：AD = AB+ BD = AB+ 3BC = AB+ *AC AB) = 3AB + #AC = |a+ 3匕，故選 A.法三：由 BD = 1bc，得AD Ab = 3(AC Ab)

16、，所以 AD = Ab +2 1a+ 3b，故選 A.2. （2019鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測）如圖，在 ABC中，N為線段AC上靠近點A的三等分5DGf f 2 f 、卄一(AC AB) = mAB+ AC , 1 - -1 -AD 的中點，所以 BM = 2(BA+ BD)= 2( AB +1- 1 -tAC tAB) = 2(t + 1) AB + 2tAC.又 BM = 2AB+ MAC，所以 L *t+ 1), 口=和,1所以H尸-1故選B.3.（創(chuàng)新型）（2019陜西銅川質(zhì)檢）已知PABC所在平面內(nèi)一點，AB + PB+ PC = 0,|AB|= |PB|= |PC|= 2,則厶 ABC

17、 的面積等于()A. 3B. 2.3C. 3 .3D. 4.3解析：選 b.因為Ab+ Pb + Pc= 0,所以 Ab= (Pb+ PC).由平行四邊形法則可知，以 PB , PC為邊組成的平行四邊形的一條對角線與AB反向，且長度相等.因為|AB|= |PB|= |PC|= 2,所以以PB , PC為邊的平行四邊形為菱形，且除BC外的對角線長為2，所以BC= 23,/ ABC = 90所以Subc = AB BC =蘇2 X 3= 2肩,故選B.4.（應(yīng)用型）已知 0是三角形 ABC所在平面內(nèi)一定點，動點P 滿足 0P = Oa +AB , AC入二+ 二-|AB|sin B |AC|sin

18、 C（入0）,則動點P的軌跡一定過三角形 ABC的（）A .內(nèi)心B.外心C.垂心D .重心解析：選D.如圖,AD 丄 BC,由于 |AB| sin B = |AC |sin C= |AD |,所以 OP=oA + 入二+|AB|sin B |AC|sin CAC- = Oa+-37(ab + AC),所以 OP-OA= Ap=|AD|LdaL* c入 t t（AB+ AC），因此點P在三角形ABC的中線所在的直線上，故動點P的軌跡一定過三角|AD|形ABC的重心.5.（一題多解）（創(chuàng)新型）如圖，在 ABC中，點D在線段BC上，且滿足BD = |dC ,過點D的直線分別交直線 AB, AC于不同的兩點 M , N若AM =