點(diǎn)差法與焦點(diǎn)三角形

1、7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 北辰教育學(xué)科老師輔導(dǎo)講義 學(xué)員姓名：年級(jí)：高二年級(jí)輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師： 授課日期 2016 年 1 月 25 日 授課時(shí)段 5 ：30-7 ：30 授課主題 圓錐曲線綜合復(fù)習(xí)（ 1 ）基本概念回顧及焦點(diǎn)三角形與點(diǎn)差法 教學(xué)內(nèi)容 一課前回顧 二知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn)一：求軌跡方程的方法 求曲線的方程（點(diǎn)的軌跡方程）的步驟： 建、設(shè)、限、代、化 建立 適當(dāng)?shù)?直角坐標(biāo)系； 設(shè)動(dòng)點(diǎn) M x,y 及其他的點(diǎn)； 找出滿足限制條件的等式； 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入等式； 化簡(jiǎn)方程，并驗(yàn)證（查漏除雜） 。 知識(shí)點(diǎn)二：圓錐曲線基本知識(shí)點(diǎn) 橢圓： 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在 x 軸上 焦點(diǎn)在 y 軸上 圖形

2、標(biāo)準(zhǔn)方程 x2 y2 x2 y2 1 a b 0 22 y2 x2 y2 x2 1 a b 0 ab a2 b2 第一定義 到兩定點(diǎn) F1 、F2的距離之和等于常數(shù) 2 a ，即|MF1| |MF2| 2a(2a |F1F2 |) 第二定義 與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù) e ，即 MF e （0 e 1） 范圍 a x a 且 b y b d b x b 且 a y a 頂點(diǎn) 1 a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1 0, b 、 2 0,b 1 b,0 、 2 b,0 軸長(zhǎng) 長(zhǎng)軸的長(zhǎng) 2a 短軸的長(zhǎng) 2b 對(duì)稱

3、性 關(guān)于 x 軸、 y 軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 焦點(diǎn) F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c 焦距 F1F2 2c (c2 a2 b2) 離心率 22 2 2 c c2a2 b2b2 e 2 2 1 2 (0 e 1) 準(zhǔn)線方程 2 a x 2 a y 焦半徑 M (x0,y0) 左焦半徑： MF1 a ex0 右焦半徑： MF2 a ex0 下焦半徑： 上焦半徑： MF1 a ey0 MF2 a ey0 焦點(diǎn)三角形面積 2 S MF1F2 b tan (F1MF2) 通徑 2b2 過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑： HH b (焦點(diǎn))弦長(zhǎng)公式 A( x1, y1),

4、B(x2, y2 ) ， AB 1 k2 x1 x2 1 k2 (x1 x2)2 4x1x2 雙曲線： 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在 x 軸上 焦點(diǎn)在 y 軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 22 x2 y2 1 a 0,b 0 22 yx 2 2 1 a 0,b 0 第一定義 a b a b 到兩定點(diǎn) F1 、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù) 2a，即 |MF1 | |MF2 | 2a ( 0 2a | F1F2 | ) 第二定義 與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù) e，即 MF e (e 1) d y a或 y a，x R 范圍 x a或x a， y R 頂點(diǎn) 1 a,0 、 2 a,0 1 0, a 、

5、2 0,a 軸長(zhǎng) 實(shí)軸的長(zhǎng) 2a 虛軸的長(zhǎng) 2b 對(duì)稱性 關(guān)于 x軸、 y 軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 2 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 焦點(diǎn) F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c 焦距 F1F2 2c (c2 a2 b2) 離心率 e c c22a2 2b21 b22 (e 1) 準(zhǔn)線方程 2 a x c a2 y c 漸近線方程 b yx a a yx b 焦半徑 M(x0, y0) 左焦：MF1 ex0 a M 在右支 右焦：MF2 ex0 a 左焦：MF12e0 x0 a M 在左支 右焦： M 在上支 左焦：MF1 ey0 a 左右焦焦：MMF

6、F12 eey0y0 aa M 在下支 右左焦焦：MF1ey0 a 焦點(diǎn)三角形面 積 2 0 2 0 S MF1F2 b2 cot 2 (F1MF2) 通徑 過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑： HH b a 拋物線： y2 2px 2 y2 2px x2 2py x22py (p 0) (p 0) (p 0) (p 0) y y y 拋 物 l yO F x l x F y l O F x F O F O x x O x O x 線 l F 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線， 點(diǎn) F 叫 定義 做拋物線的焦點(diǎn)，直線 l 叫做拋物線的準(zhǔn)線。 M MF = 點(diǎn) M

7、 到直線 l 的距離 范圍 x 0,y R x 0,y R x R,y 0 x R,y 0 對(duì)稱性 關(guān)于 x 軸對(duì)稱 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 ( p ,0) ( p ,0) (0, p ) (0, p ) 焦點(diǎn) 2 2 2 2 焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 3 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 頂點(diǎn) O(0,0) 離心率 e=1 準(zhǔn)線 方程 xp xp y 2p yp 準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。 頂點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離 p 2 焦點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離 p 焦半徑 A(x1, y1) AF x1 p 2 AFx1 p 2 AF y1 p 2 AFy1 p 2 焦點(diǎn)弦長(zhǎng) AB (x1 x2) p (

8、x1 x2) p (y1 y2) p (y1 y2) p 焦點(diǎn)弦 AB 的幾 條性質(zhì) A(x1, y1) B(x2, y2 ) o y A x1,y1 Fx x B x2, y2 以 AB 為直徑的圓必與準(zhǔn)線 l 相切 若 AB 的傾斜角為 2p 若 AB 的傾斜角為 2p ，則 AB sin2 ，則 AB cos2 x xp2 y y p2 x1x2y1y2p 4 1 1 AF BF AB2 AF BF AF BF AF BF p 切線 y0y p(x x0) y0 y p(x x0) x0 x p(y y0) x0 x p(y y0) 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 4 方程 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔

9、知識(shí)點(diǎn)三：焦點(diǎn)三角形 22 xy2 1(a b 0)上的一點(diǎn)， F1,F2 是焦點(diǎn)， a2 b2 1.已知 P 為橢圓 F1PF2 ，求證： F1PF2 面積 是 b2 tan . 2 解： 如圖，設(shè) P x，y ，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè) P x，y ， 由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè) P 在第一象限由余弦定理知： 2 2 2 F1F22 PF12 PF22 2PF1 PF2 cos 4c2 由橢圓定義知： 則 2 得 PF1 PF2 1 21 PF1 PF2 sin 故S F1PF2 PF1 PF2 2a 2b2 1 cos 2 1 2b2 sin sin 21 cos 2 b2 tan 2 2.已

10、知雙曲線 2 x 2 a 知識(shí)點(diǎn)四：點(diǎn)差法 2 y b2 2 1上有一點(diǎn)P ，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2且 F1PF2，求證： PF1F2的面積為b2 cot 2 . 22 已知 AB是橢圓 x2 y2 1 a b 0 不垂直于 x軸的任意一條弦， P是 AB的中點(diǎn)， O為橢圓的 a2 b2 中心.求證：直線 AB和直線 OP 的斜率之積是定值 . 證明 2 則 x12 a2 b 1 2 得： y1 y2 x1 x2 又 kOP xy1 xy2 x1 x2 設(shè) A x1,y1 ,B x2, y2 且 x1 x2， 2 2 2 y12 1，（1） x22 y22 1，（2 ） 2 2 2 a2 2b2 2

11、 x1 x2y1 y2 2 2a b2 x1 x2 ， a2 y1 y2 b2 kABb2 a b2 kAB 1， kOP 2 y1 y2b x1 x2 . 2 x1 x2a 2y1 y2 kAB kOPb2 （定值） a 雙曲線呢？ 三例題講解 、 以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 22 例 1、過(guò)橢圓 x y 1內(nèi)一點(diǎn) M ( 2,1)引一條弦，使弦被 M 點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程 . 16 4 2 例2、已知雙曲線 x2 y 1，經(jīng)過(guò)點(diǎn) M (1,1)能否作一條直線 l ，使l與雙曲線交于 A、B，且點(diǎn)M 是 2 線段 AB的中點(diǎn)。若存在這

12、樣的直線 l ，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由 . 二、 過(guò)定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡 y2 x21 例3、已知橢圓 y x 1的一條弦的斜率為 3，它與直線 x 1的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn) M ，求點(diǎn) 75 252 M 的坐標(biāo) . 22 例 4 、 已知橢圓 y x 1,求它的斜率為 3 的弦中點(diǎn)的軌跡方程 . 75 25 1， 2， 求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程 例5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為 F(0, 50)的橢圓被直線 l :y 3x 2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 求橢圓的方程 . 四、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問(wèn)題 22 例 6、已知橢圓 x y 1 ，試確定的 m 取值

13、范圍，使得對(duì)于直線 y 4x m ，橢圓上總有不同的兩 43 點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱 . 四總結(jié)與反思 五課后作業(yè) 1、 2、 3、 拋物線 x2 8y 的準(zhǔn)線方程是 22 方程 x y 1表示焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù) m 的范圍是 1 m m 2 與橢圓 4G2+9y 2=36 有相同的焦點(diǎn) ,且過(guò)點(diǎn) (3，)的橢圓方程為 _ 4、 設(shè) z C ，則方程 z 3 z 3 10 表示的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 5、 6、 7、 拋物線 y2 8x上點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離是 5，則點(diǎn) M 的坐標(biāo) 已知雙曲線 x2 y 1的一條漸近線與直線 x 2y 3 0 垂直，則實(shí)數(shù) a a 拋物線 y2 4x內(nèi)有一

14、點(diǎn) A(2,1)，在拋物線上找一點(diǎn) P，使得 PF PA 取得最小值，則 P 的坐標(biāo) 22 8、如果 F1, F2分別是雙曲線 x y 1的左、右焦點(diǎn)，AB 是雙曲線左支上過(guò)點(diǎn) F1的弦，且| AB | 6， 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 則 ABF2 的周長(zhǎng)是 22 9、若橢圓 xy1上的一點(diǎn) P到焦點(diǎn) F1的距離 PF1 8，M 是 PF1的中點(diǎn)， O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則 81 36 OM 10、若直線 y kx 1(k R) 與雙曲線 x2 y2 1 有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值集合 11、已知直線 y kx 2與雙曲線 x2 y2 6的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則 k 的取值范圍是 1 12、過(guò)拋物線 y 14 x2的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 A(x1, y1), B( x2 , y2 )兩點(diǎn)，若 y1 y2 2 2，則弦長(zhǎng) AB 的值為 22 13、橢圓 x2 y2 1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1,F2，點(diǎn) P在橢圓上， POF2的面積為 3的正三角 ab 形， 則b2 14、若雙曲線 x2 y2 1右支上一點(diǎn) A(a,b)到直線 y x的距離為 2，則 a b= 2 15、已知橢圓 x + y2 =1. 2 (1 )求斜率為 2 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程； (2)過(guò) A(2，1)的直線 l