全等三角形經(jīng)典習(xí)題匯集學(xué)而思

1、 全等三角形經(jīng)典習(xí)題匯集 第一講全等三角形的性質(zhì)及判定 【例 1 】 如圖，AC / DE, BC / EF, AC DE .求證：AF BD . 【補(bǔ)充】如圖所 AB / CD , AB CD 求證：AD / BC 示： 2 /32 【例2】已知：如圖，B、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上, OAOD. AB DC, BECF, B 【補(bǔ)充】已知：如圖，AD BC, AC BD,求證：CD. C .求證: 【補(bǔ)充】如圖，在梯形ABCD中，AD / BC, 證：FC AD . E為CD中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.求 A D E / F B C 3?J如圖轡。相交于點(diǎn)OAOB, E

2、、F為CD上兩點(diǎn)，AE BF , CEDF.求證：AC / BD 【補(bǔ)充】已知，如圖，AB AC, CE AB, BF AC,求證：BF CE . 【例 4】如圖， DCE 90 , CD CE , AD AC, BE AC,垂足分別為A, B,試說明AD ABBE 6 /32 【例10】如圖所示，已知AB DC, AE DF, CEBF,證明： AF DE. 【例11】E、 F分別是正方形ABCD的BC、CD邊上的點(diǎn)，且BE CF 求證: 【補(bǔ)充】E、F、G分別是正方形ABCD的BC、CD、AB邊上的點(diǎn)，BG CF BC. GE EF, GEEF.求證: 【例12】在凸五邊形屮，BE, C

3、AD D, BC DE, M 為 CD 屮點(diǎn).求證： AM CD. 【補(bǔ)充】如圖所示：AFCD, BC EF, AB DE, D .求證：BC / EF. 【例13】如圖， ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG連結(jié)EG,試判 斷厶ABC 與厶AEG面積之間的關(guān)系，并說明理由 (2)園林小路，曲徑通幽，如圖所示, 小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成 .已知 中間的所有正方形的面積之和是 a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積Z和是b平方米，這 條小路一共占地多少平方米? 外 【例14】如圖，ABC屮，AB BC, ABC于E 點(diǎn).求證：AD DE EB. 90,

4、D 是 AC一點(diǎn)，且 CD CB AB , DE AC 交 AB 【例15】ABC屮， B90, M為AB 一點(diǎn)，使得AMBC , N為BC上一點(diǎn)，使得CN BM,連 AN、CM交于P點(diǎn).試求APM的度數(shù)，并寫出你的推理證明的過程. A B N C 圖3 【例16】如圖，I是厶ABC的內(nèi)心，且CA Al BC .若BAC 80,求ABC和AIB的大小. 【例17】已知：BD、CE是ABC的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ AB ,求證：(1) AP AQ : (2)AP AQ . 【例18】如左下圖，在矩形ABCD中, E為CB延長線上一點(diǎn)且AC BF FD. 如右下圖

5、，在 ABC 中，BE、 CF分別為邊AC、AB的高, CE, F為AE的中點(diǎn).求證： D為BC的中點(diǎn)，DM EF于 M .求證：FM EM. A 18.補(bǔ)充：如圖，已知ABD ACD 60,且 ADB 90 等腰三角形. 1 BDC.求證: 2 ABC是 A 【例19】如圖，ABC為邊長是1的等邊三角形，BDC為頂角（BDC）是120的 等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60角，角的兩邊分別交AB于M, AC于N 連接MN,形成一個AMN 求AMN的周長. 家庭作業(yè) 【習(xí)題 1】 已知：如圖，AB/DE, AC/ DF, BE CF 求證：AB DE AD 【習(xí)題 2已知：ZA DEFAA MNP

6、,且 EF二 NP, / F二Z P,Z D二 48 / E二 52 MN 二 12cm,求：/ P 的度數(shù) 及DE的長. 【習(xí)題3】如圖，矩形ABCD中，E是AD一點(diǎn),CE EF交AB于F點(diǎn)，若DE 2,矩形周長為16,且CE EF, 求AE的長. 【習(xí)題4】在四邊形ABCD屮，AD / BC,A的平分線AE交DC于E .求證：當(dāng)BE是B的角平分線 時，有 AD BC AB . 月測備選） 【備選1】如圖所示：AB AC, AD AE, CD、BE相交于點(diǎn)O.求證：OA平分DAE. 8/32 【備選2】 如圖所示，在4 ABC屮，AD BC于點(diǎn)D , B2C.求證：AB BD CD . 22

7、 /32 【備選3】如圖，4ABC屮，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于G點(diǎn), DE丄DF,交AB于點(diǎn)E,連結(jié)EG EF (1) 求證：BG二 CF. (2) 請你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由 第二講全等三角形與中點(diǎn)問題 版塊一倍長中線 【例1】在厶ABC中，AB 5, AC 9,則BC邊上的中線AD的長的取值范圍是什 么？ 1 【補(bǔ)充】已知：ABC屮，AD是中線.求證：AD (AB AC). 2 BE的延長線與AD的延長線相交 【例2】已知：如圖，梯形 ABCD中，AD / BC,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn), 于點(diǎn)F 求證：BCE也FDE . 【例3】如圖，

8、在ABC屮，D是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn), BDE 也 CDF. 【例4】 如圖，ABC 中，ABAC, AD是屮線.求證: 【例 如圖，已知在ABC中，長 5 BE 交 AC 于 F , AF E分別是AD及其延長線上的點(diǎn)，CF / BE.求證: DAC DAB . C AD是BC邊上的屮線, EF,求證：AC BE. E是AD一點(diǎn),延 A DC 【例6】如圖所 在 ABC和ABC AC AC AD AD , ABC 也ABC 中，AD、 求證 AD分別是BC、BC的中線，且AB AB, C 【例7】如圖，在ABC屮，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC屮點(diǎn)，EF /AD交CA的延長線于點(diǎn)F,交EF于點(diǎn) G

9、,若BGCF,求證：AD為ABC的角平分線. 【例8已知AD為ABC的中線，ADB , ADC的平分線分別交AB于E、交AC于F .求證: BE CF EF. 【例9】在Rt ABC中，A90,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB、AC 的點(diǎn)，且EDFD 以線段BE、 EF、FC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？ 【例10】已知 ABC,/ B=Z C, D, E分別是AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD二CE,連接DE交底BC于G,求證 GD=GE. 【例11】如圖所示，在ABC中, 證 AD2 丄 AB2 AC2 4 D是BC的中點(diǎn)，DM垂直于DN,女

10、nMBM2CN2DM2DN2,求 （勾股定理的內(nèi)容，選做） 【例10】在Rt ABC屮，F(xiàn)是斜邊AB的屮點(diǎn)，D、E分別在邊CA、CB上，滿足DFE 90 若AD 3, BE 4,則線 段DE的長度為 C EB 圖6 【習(xí)題1】如圖, 求證： 在等腰ABC屮，AB EDB FDC AC, D是BC的中點(diǎn)，過A作AEDE , AF DF,且 AE AF F 【習(xí)題2】如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD 一點(diǎn),且 BE AC,延長BE交AC于F, AF與EF相等嗎？為什么？ F 【習(xí)題3】如右下圖，在ABC中，若 B2C, AD BC, E為BC邊的中點(diǎn).求證：AB 2DE O是

11、BD中點(diǎn)，過0點(diǎn)的直線分別交DA、BC的延長線于E, F. BAC 90 , D 足 BC 屮點(diǎn), 【備選1】如圖，已知AB=DC, AD=BC, 求證：/ E=Z F 【備選2】如圖，ABC中，AB AC, 與AC交于F.求證：BE AF, AECF. 第三講全等三角形與角平分線問題 【例1】 在ABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，已知BAD CAD , BD CD,求證：AB AC. 【例2】 已知ABC屮，AB AC, BE、CD分別是ABC及ACB平分線求證：CD BE. A BC 【例3】如圖，在ABC中，B60, AD、CE分別平分BAC、BCA,且AD與CE的交點(diǎn)為F .求證：FE FD

12、 . A 【例4】 如圖，已知ABC的周長是21 , OB, OC分別平分ABC和ACB, OD BC于D,且0 D3,求ABC的面 積. A 【補(bǔ)充】如圖所示：AB AC, AD AE, CD、BE相交于點(diǎn)O 求證：OA平分DAE. 【例 已知 ABC中，A 60, BD、CE分別平分 5 CD 、 BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明. 【例 如圖， 已知E是AC 的一點(diǎn)，又1 6 2,求證：ED EB. ABC和 ACB BD、CE交于點(diǎn)0,試判斷 BE 【例7如圖所示，OP是AOC和BOD的平分線, OA 0C, OBOD 求證: 【例8】如圖所示，已知ABC中，AD平分 BAC, E、F 分別

13、在 BD、AD 上.DE CD , EFAC.求 證：EF / AB 【例10】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD,過C作CE AB于E,并且AEg(ABAD),貝ij ABC ADC等 于多少? 【補(bǔ)充】長方形ABCD中，AB=4, BC=7,Z BAD的角平分線交BC于點(diǎn)E, EF丄ED交AB于F,則 EF = 【補(bǔ)充】在ABC屮，AB AC, AD是BAC的平分線.P是AD 任意一點(diǎn).求證：AB AC PB PC . 【例11】如圖，在ABC中，B2C, BAC的平分線AD交BC與D .求證：AB BD AC . 【例12】如圖，ABC中，AB AC, A 108, BD 平分 A

14、BC 交 AC 于 D 點(diǎn)求證：BC AC CD . 【鞏固】已知等腰ABC, A 100, ABC的平分線交AC于D,則BD AD BC . 【例13】如圖所示, ABC中，AD平分 BAC , AD AB, CM A C AD 于 M,求證 AB AC 2AM . 【例14】如圖，ABC 于E .求證： 中，AB AC, BD、CE分別為兩底角的外角平分線，AD BD于D, AE CE AD AE. A 【例15】如圖，A 探討線段 探討線段 D 180 , BE平分 ABC, CE平分BCD,點(diǎn)E在AD上 AB、CD和BC之間的等量關(guān)系. BE與CE之間的位置關(guān)系. D 23/32 【習(xí)

15、題2】如圖，在ABC屮，AB BD AC BAC的平分線AD交BC與D .求證：B2C 【習(xí)題3】AD是ABC的角平分線，BE AD交AD的延長線于 E, EF / AC交AB于F .求證：AF FB 【習(xí)題4】如圖所示，AD平行于BC, DAE= EAB , ABE= EBC , AD=4, BC=2,那么 AB= 【習(xí)題5】ABC屮，D為BC中點(diǎn)，DE BC交BAC的平分線于點(diǎn)E , EF AB于F EG AC于G.求 證：BFCG . 月測備選 【備選1】在ABC中，AD平分 BAC, ABBD AC.求 B: C 的值. A E 【備選2】如圖，已知在ABC屮, 2, BE AE 求證

16、：AC AB 2BE . 31 /32 【備選3】如圖所示，在四邊形ABCD中，AD/ BC,A的平分線AE交DC于E,求證：當(dāng)BE是B 的平分線時，有AD BC AB . D 第四講全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題 【例1】已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM、CBN是等邊三角形. (1)求證：AN BM N (2) 求證：CD=CE (3) 求證：CF平分/ MCN AcB (4) 求證：DE/ AB 【例2】如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接 AE、CG -求證：AE CG - C 【例3】如圖，等邊三角形 ABC與等邊DEC共頂點(diǎn)于C點(diǎn).求證：AEBD DBP DBC,問BPD的度

17、數(shù)是 【例4】如圖，D是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且BD AD, BP AB , 否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由. D B FC K 【例5】如圖，等腰直角三角形ABC中，/ B90, AB a, O為AC中點(diǎn)，EO OF .求證：BE B F為定值. A E 【補(bǔ)充】如圖，正方形OGHK繞正方形ABCD+點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為E、F,求證：AECFAB F是CB的延長線上一點(diǎn)，且 【例6】（2004河北）如圖，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD 一點(diǎn)，點(diǎn) EA AF .求證：DEBF. 【補(bǔ)充】如圖所示，在四邊形ABCD中，ADC ABC 90 , AD CD, DP AB于P,若四邊形

18、ABCD 的面積是16,求DP的長. 【例7】E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD 的點(diǎn)，且/ EAF 45 , AH證：AH AB-EF, H為垂足，求 【鞏固】如圖，正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動，AE平分BAF交BC邊 于點(diǎn)E 求證：AF DF BE F 設(shè)DFx(0 xw1), ADF與ABE的面積和S是否存在最大值？若存在，求出此 時 x的 值及S 若不存在，請說明理由. 【補(bǔ)充】如圖，在四邊形ABCD中，AB二AD, Z B二Z D二90 , E、F分別是邊BC CD 的點(diǎn)，且 1 Z EAF= Z BAD.求證：EF二 BE FD; 2 /D (2)如圖，在四

19、邊形ABCD中，AB= AD,ZB+ZD二180, E、F分別是邊BC、CD 的點(diǎn)，且Z EAF=1 Z BAD, ( 1)屮的結(jié)論是否仍然成立？不用證明. 2 【習(xí)題1】如圖，已知ABC和ADE都是等邊三角形，相 A C D在一條直線上, 試說明CE與AC CD 等的理由. 【習(xí)題2】(湖北省黃岡市2008年初中畢業(yè)生升學(xué)考試)已知：如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn), 過點(diǎn)D作DF DE交BC的延長線于點(diǎn)F 求證：DE DF . 【習(xí)題3】在梯形ABCD中，AB/ CD, A 90 , AB 2 , BC 3 , CD與EB的1, E是AD中點(diǎn)，試判斷EC 位置關(guān)系，并寫出推理過

20、程. D C 【習(xí)題4】已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB一點(diǎn)，ACM、CBN是等邊三角形.CG、CH分別是 ACN、 MCB的高.求證：CGCH . N A CB 沁沈疳月測備選 【備選1】在等腰直角ABC屮，ACB 90。，AC BC , M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)MQ MP交 P從B出發(fā)向C運(yùn)動, AC于點(diǎn)Q,試說明MPQ的形狀和面積將如何變化. 【備選2】如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)AD FAE -求證：BEDFAE. B E C F 【備選3】等邊ABD和等邊CBD的邊長均為1, E是BE AD 異于E、 點(diǎn)，滿足AECF 1,當(dāng)F移動時，試判斷BEF的形狀. F是CD上一 A、D的任意一 占, 八、

21、y D 第五講軸對稱和等腰三角形 【例1】在ABC中, AB AC, BC BD ED EA 求 A 24/32E 【補(bǔ)充】 在 ABC 中,ABAC, BCBD, AD ED EB 求 A 【例2】ABC的兩邊AB和AC的垂直平分線分別交BC于D、E,若BAC DAE150,求BAC . 【例3】如圖，點(diǎn)O是等邊AOAD內(nèi)一點(diǎn)， 向旋轉(zhuǎn) 19060。得AADC, AOD；是等腰三角形? AOB 110% BOC.將4 BOC繞點(diǎn)C按順時針方 連接OD,則 COD是等邊三角形；當(dāng) 為多少度時, 34/32A 【例4】如圖，在ABC中，BC , D在BC上，BAD 50。，在AC 取一點(diǎn)E,使得

22、ADE AED ,求EDC的度數(shù). 【例5】如圖，ABC為等邊三角形，延長BC到D,又延長BA到E,使AE BD ,連接CE,DE,求證：CDE為 等腰三角形. 【例6】如圖，在ABC中，B, C為銳角，M,N,D分別為邊AB、AC、BC 的點(diǎn)，滿足AM AN, BD DC,且 BDM CDN .求證：AB AC . 36/32 AB 板塊三、軸對稱在幾何最值問題中的應(yīng)用 【例7】已知點(diǎn)A在直線I外，點(diǎn)P為直線I上的一個動點(diǎn)，探究是否存在一個定點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動 時，點(diǎn)p與A、B兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請作出定點(diǎn) B；若不存在，請說明 理由. 【例8】如圖，在公路a的同旁有兩個倉庫

23、A、B,現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到A、 B兩倉庫的距離和最短，這個中轉(zhuǎn)站 M應(yīng)建在公路旁的哪個位置比較合理? 【例9】如圖, AOB 45 ,角內(nèi)有點(diǎn)P,在角的兩邊有兩點(diǎn)Q、R （均 不同于O點(diǎn)），求 Q、R,使得 PQR的周長的最小. 【補(bǔ)充】如圖， 一點(diǎn)P,使PMN的周長最短. M、N為ABC的邊AC、BC的兩個定點(diǎn)，在 AB求 【補(bǔ)充】已知：A、B兩點(diǎn)在直線I的同側(cè), 在I上求作一點(diǎn)M,使得 D 【例10】已知如圖，點(diǎn)M在銳角AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P,使點(diǎn) P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA的邊的距離和最小. 39/32 | AM BM | 最小. 【補(bǔ)充】已知：A、B兩點(diǎn)在直線I的

24、同側(cè)，在I上求作一點(diǎn)M, 使得|AM BM |最大. N是AC的一動點(diǎn)，求DNMN的最 【例11】如圖，正方形ABCD中，AB8, M是DC 的一點(diǎn)，且DM2, 小值與最大值. M 【補(bǔ)充】例題屮的條件不變，求|DNM叫的最小值與最大值. 【補(bǔ)充】如圖，已知正方形 ABCD的邊長為8, M在DC上，且DM2, N是AC 的一個動點(diǎn)，則 DN MN的最小值是 家庭作業(yè) 【習(xí)題1】（2007雙柏中考）等腰三角形的兩邊長分別為4和9,則第三邊長為. 【習(xí)題2】等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三角形的 底邊的長為（） A. 17cm B . 5cm C . 17cm 或 5cm D .無法確定 【習(xí)題3】已知等腰三角形的周長為 20,腰長為x,求x的取值范圍. 【習(xí)題4】（2004天津）在下列圖形屮，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是 ） A) (B) CD (&) 【習(xí)題5】判斷下列圖形（圖）是否為軸對稱圖形？如果是，說出它有幾條對稱軸. 磁診月測備選） 【備選1】ABC的一個內(nèi)角的大小是 A. 140 B. 80或10040。，且A B,那么C的外角的大小是 C. 100 或 14 d. 80 或 140 【備選2】已知等腰三角形一腰上的屮線將它們的周長分為12和15兩部分，求