立體幾何起始課教學(xué)設(shè)計

1、立體幾何起始課”教學(xué)設(shè)計 江蘇省蘇州第十中學(xué) 姚圣海 【教材分析】 立體幾何是研究三維空間中物體的形狀、 大小和位置關(guān)系的一門數(shù)學(xué)學(xué)科， 而三維空間 是人們生存發(fā)展的現(xiàn)實空間 . 所以，學(xué)習(xí)立體幾何對我們更好地認(rèn)識、理解現(xiàn)實世界，更好 地生存與發(fā)展具有重要的意義 . 本章內(nèi)容是義務(wù)教育階段 “空間與圖形” 課程的延續(xù)與提高， 重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成 空間想象能力 . 為了符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的興趣，增進(jìn)學(xué)生對幾 何本質(zhì)的理解，本章在內(nèi)容的編排及內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，與以往的處理相比有較大的變化 . 本章內(nèi)容的設(shè)計遵循從整體到局部、 從具體到抽象的原則， 強(qiáng)調(diào)借助實物模型， 通

2、過整體觀 察、直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次地揭示空間圖形 的本質(zhì)；重視合情推理與邏輯推理的能力，注意適度形式化； 倡導(dǎo)學(xué)生積極主動、 勇于探索 的學(xué)習(xí)方式，幫助學(xué)生完善思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間想像能力 . （ 1）立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力我們提供了豐富的實 物模型和利用計算機(jī)軟件呈現(xiàn)的空間幾何體， 幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征， 并能運(yùn) 用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)，掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能 （ 2）立體幾何初步的教學(xué)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生通過對實際模型的認(rèn)識，學(xué)會將自然語言轉(zhuǎn)化 為圖形語言和符號語言 我們盡力幫助學(xué)生在

3、直觀感知的基礎(chǔ)上， 認(rèn)識空間中一般的點(diǎn)、 線、 面之間的位置關(guān)系； 通過對圖形的觀察、 實驗和說理， 使學(xué)生初步了解空間平行、 垂直關(guān)系， 從而為學(xué)生展現(xiàn)立體幾何的全貌 （ 3）因為學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何之前學(xué)習(xí)過平面幾何，平面幾何與立體幾何研究的對象又 都來自于日?？臻g的抽象， 并且研究的對象有部分重疊， 因此學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何過程中一 定會受平面幾何知識的影響 又因為平面幾何中的結(jié)論不能原封不動地搬到立體幾何中， 有 的在立體幾何中還成立， 而有的卻不成立， 但在立體圖形的一個平面上， 平面幾何的所有結(jié) 論又全都可用 因此，在立體幾何起始課上， 有必要向?qū)W生講清這一點(diǎn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)掃清障 礙 （

4、 4）我們在教學(xué)過程中恰當(dāng)?shù)厥褂矛F(xiàn)代信息技術(shù)展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何 性質(zhì) （包括證明 ）的教學(xué)提供形象的支持，提高學(xué)生的幾何直觀能力 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 知識與技能目標(biāo) 使學(xué)生明確學(xué)習(xí)立體幾何的目的， 初步了解立體幾何研究的內(nèi)容； 使學(xué)生初步建立空間 觀念， 會看空間圖形的直觀圖； 使學(xué)生了解平面幾何與立體幾何的聯(lián)系與區(qū)別， 初步了解立 體幾何研究問題的一般思想方法 . 2. 過程與方法目標(biāo) 通過動手試驗、 互相討論等環(huán)節(jié)，使學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)、 語言表達(dá)等能力， 以及相互協(xié) 作的團(tuán)隊精神； 通過對具體情形的分析， 歸納得出一般規(guī)律， 讓學(xué)生具備初步歸納能力；借 助實物模型，通過整體

5、觀察、直觀感知，使學(xué)生形成積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，完善 思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間想像能力 . 3. 情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo) 通過設(shè)立多種情景引入方式， 讓學(xué)生激發(fā)學(xué)習(xí)立體幾何的興趣， 能夠自主學(xué)習(xí)、 自我探 索，形成注重實踐、熱愛科學(xué)、勇于創(chuàng)新的情感、態(tài)度與價值觀 . 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 重點(diǎn)： 初步了解立體幾何研究的內(nèi)容， 培養(yǎng)空間想象能力， 了解立體幾何研究問題的一 般思想方法 . 難點(diǎn)： 克服平面幾何的干擾， 了解平面幾何與立體幾何的聯(lián)系和區(qū)別， 初步了解立體幾 何研究問題的一般思想方法 . 【學(xué)情分析】 在學(xué)習(xí)這門課之前， 學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平面幾何的知識， 對平面中幾何圖形的位置和數(shù)量 關(guān)系研

6、究較多， 在小學(xué)和初中階段只是比較直觀地認(rèn)識了一些簡單的幾何體， 并沒有更深入 地對空間中幾何圖形的位置和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行推理和計算 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中將會遇到一些問題： 如對學(xué)習(xí)立體幾何的興趣不足、 不能很好地使用 直觀圖來表示立體圖形、將平面幾何的結(jié)論不加研究地類推到立體幾何中等等 【教法分析】 1. 由于是起始課，因此多采取直觀的演示幻燈片、使用書本、鉛筆、木棒、立方體等 模型，直觀感知、操作確認(rèn)，避免過度抽象 . 思辯論證、度量計算等手段在后續(xù)課程中再采 用； 2. 鼓勵學(xué)生通過動手實驗、獨(dú)立思考、相互討論等手段得出結(jié)論，鼓勵學(xué)生表達(dá)自己 的見解，教師只做必要的引導(dǎo)和總結(jié)； 3. 從多種具體

7、情形出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力； 4. 采用模型或軟件，使學(xué)生的想法能夠即時得到實現(xiàn)，所想即所見，快速形成正確認(rèn) 知，提高教學(xué)實效性 . 【教學(xué)過程】 （一）課堂引入（為什么要學(xué)習(xí)立體幾何？） 問題 1 是否存在三條直線兩兩互相垂直？若存在，請舉出實際中的例子 . 到一個定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是 . 用 5 根長度相等的木棒 （或火柴） 搭正三角形， 最多搭成幾個正三角形？用 6 根呢？ （學(xué)生討論，動手操作，教師巡視，并參與其中，然后請學(xué)生回答.） 生 存在 . 教室墻角處的三條直線兩兩互相垂直 . 在平面上是圓，在空間中是球 . 5根長度相等的木棒 （或火柴）

8、可最多搭成 2個正三角形 . 6根長度相等的木棒 （或火 柴）搭成三棱錐，可最多搭成 4 個正三角形 . 師 大家回答得都很好！ 這表明在現(xiàn)實世界中只研究平面問題是不夠的，我們必須 “沖 出平面，走向空間，迎接挑戰(zhàn)，有信心嗎？” 生 有！ （用生動有趣的問題創(chuàng)設(shè)情境，以達(dá)到引入新課的目的.） （二）研究探討（立體幾何主要研究哪些問題？） 問題 2 平面幾何的研究對象、內(nèi)容是什么？ （學(xué)生回答，教師補(bǔ)充 . 對象：平面圖形 . 內(nèi)容：點(diǎn)、線的位置關(guān)系、圖形的畫法、相 關(guān)計算及應(yīng)用 .） 立體幾何的研究對象、內(nèi)容是什么？ 生 立體幾何的研究對象：空間圖形 . （引導(dǎo)學(xué)生看蘇州博物館的實景圖（如圖1

9、），簡單敘述 建館的步驟之一畫 設(shè)計圖 .） 師 人們在建造房屋、 修建水壩、 研究晶體的結(jié)構(gòu)、 在計 算機(jī)上設(shè)計三維動畫、 研究高清晰度電視以及虛擬現(xiàn)實技術(shù)都 需要立體幾何 . 我們需要進(jìn)一步了解我們生活的空間，這就是我們學(xué)習(xí)立體幾何的目的 提出以下幾個問題，然后小結(jié) .） 1）比較圖 2、圖 3，哪個更像正方體？ 生 圖 3. 因圖 2 都是實線，像是平面圖形 . 2）在圖 3中，指出 A1D1C1、 A1 AD的大小 . 生 它們都是直角 師 從圖中看 A1D1C1是鈍角， A1 AD是銳角 . 3）點(diǎn) B1在直線 AD 上嗎？直線 BB1與直線 CD 相交嗎？ 生 點(diǎn) B1不在直線 A

10、D 上，直線 BB1與直線 CD 不相交 . 這表明空間圖形與平面圖形在畫法上的差異，在直觀圖中判斷 圖形的形狀不能沿用平面的眼光，要看得“深遠(yuǎn)” ，要有立體感 （4）在圖 3中，設(shè) AB 1，求四邊形 ABCD 的面積以及正方體的體積 . 生 四邊形 ABCD 的面積是 1，正方體的體積也是 1. 師 由此，我們知道 立體幾何的研究對象：空間圖形；內(nèi)容：空間圖形的畫法，點(diǎn)、 線、面的位置關(guān)系，計算角的大小，線段長短，面積、體積的大小 . （三）思想方法（如何學(xué)習(xí)立體幾何？） 1. 類比思想 例 1 判斷下列命題的真假 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 . 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

11、 . 對邊平行的四邊形是平行四邊形 . 對邊相等的四邊形是平行四邊形 . （學(xué)生討論，然后回答） 生 對 . 師 能給出證明嗎？ （學(xué)生討論，試圖給出證明，但一一自我否定.） 師 這個命題無論在平面上， 還是在空間中都是真命題 . 推廣到空間就是我們將要學(xué)習(xí) 的平行公理，我們以后再具體研究 . 棱柱的側(cè)面的三條公共棱就是這種關(guān)系 . 那么，問題 2 呢？ 生 不對 . 在平面上是真命題，但是在空間，垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行 （同時用三支筆比劃出兩條直線異面的情形，但無法說清楚兩條直線的位置關(guān)系 .） 師 還有可能出現(xiàn)其他位置關(guān)系嗎？ 生 可能 . 兩條直線也可能相交 . 師 我們再

12、一起來研究問題 3，這個結(jié)論正確嗎？ 生 對，這是平行四邊形的判定定理 . 師 有不同意見嗎？ （學(xué)生有意識地在空間中找反例，但找不到反例.） 生 在空間中也是正確的 . 師 問題 4 呢？ 生 不對，因為沒說在平面中 . 比如把一張長方形的紙沿著對角線折起來，這時四邊形 的長度沒變，對邊仍然相等，但不是平行四邊形 . 師 回答得非常好 . 平面中的有些結(jié)論放到空間中看有些成立，有些不成立 . 在立體幾 何的學(xué)習(xí)中，我們要善于與平面幾何做比較，認(rèn)識其共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其不同點(diǎn)，這種思想方 法即為類比思想 . 2. 轉(zhuǎn)化思想 例2 如圖 4，在長方體 ABCD A1B1C1D1 中， AB 3,AD

13、2,AA1 1. 求 BD1 的長； 求 sin DBD1. 生 BD1BD 2 D1D2AB2 AD2 D1D214 sin DBD1 D1D 1 D1B 14 14 師 對 . 把所要求的兩個量轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解，即把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題， 便于計算求值 例 3 在例 2 長方體的頂點(diǎn) A有一只小螞蟻，沿表面爬到頂點(diǎn) C1 ，最短路程是多少？ （學(xué)生思考、討論） 師 在平面幾何中，兩點(diǎn)之間線段最短，在空間呢？ 生 還是線段最短 . 但是如果小螞蟻沿著 AC1 爬行， 就是從長方體的內(nèi)部穿過去了，不行 . 師 對，那樣的話，小螞蟻就變成穿山甲了 . 那么， 到底小螞蟻該怎么爬行呢？ 生

14、 可以過棱 BB1的中點(diǎn)，也可以過棱 A1D1或A1B1 的中點(diǎn) . （學(xué)生議論紛紛，有些同意，但說不出理由，有些反對，但也找不出方法.） 師 先看第一種情況，小螞蟻穿過棱 BB1爬行至 C1 ，我們可以試著把長方體模型的側(cè) 面 BCC1B1 沿棱 BB1翻折到與側(cè)面 ABB1A1 在同一平面內(nèi) （學(xué)生立即明白） 生 在矩形 ACC1 A1 （見圖 7）中， AC1就是此時的最短距離， AC126. 同理， 可求在其他情形時， AC118, AC120 ，所以，最短距離應(yīng)為 18. 師 很好 . 這是一道難度較大的題，小螞蟻到底能不能想出辦法，關(guān)鍵在于是否能夠考 慮到把本來不在同一平面的問題轉(zhuǎn)

15、化為同一平面問題求解 . 在立體幾何中，需要計算空間 圖形里角的大小、線段的長度等，通常采取的方法就是把空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題，即轉(zhuǎn) 化思想 . 課堂練習(xí) （1）判斷下列命題的真假 過已知直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線和已知直線平行； 過已知直線上一點(diǎn)有且僅有一條直線和已知直線垂直 . （ 2）如圖 8，三棱錐 S ABC 中，底面 ABC 是等邊三角形， SA SB SC a ， ASB BSC CSB 30 ，一只螞蟻 從頂點(diǎn) A 出發(fā)繞側(cè)面一周再回到 A的最短距離是多少？ 課堂小結(jié) 研究的對象：空間圖形 畫法 立體幾何 研究的內(nèi)容：空間圖形的 性質(zhì)（形狀、位置） 大小的計算和應(yīng)用 主要數(shù)學(xué)思

16、想和方法 類比思想（與平面幾何類比） 轉(zhuǎn)化思想（空間向平面） 課外練習(xí) （1）幾何學(xué)是隨著人類文明的進(jìn)步而發(fā)展起來的. 自公元前 1800 年左右的古埃及，因 尼羅河的泛濫要求丈量土地的面積到如今從土木建筑到家居裝潢，從機(jī)械設(shè)計到商品包裝， 從航空測繪到零件視圖空間圖形與我們的生活息息相關(guān) . 請同 學(xué)們查閱資料，了解幾何學(xué)的發(fā)展進(jìn)程 . （2）舉出一些平面幾何中正確的結(jié)論，判斷其在空間中是否仍 然成立 . （ 3）如圖 9，一個圓柱形水杯的底面半徑為 1，高為 2，一只小 螞蟻從外側(cè)杯底 A處出發(fā)，爬行至內(nèi)側(cè)杯底 B 處，最短路程是多少？ 教后反思】 序言課的主要任務(wù)是揭示這門學(xué)科研究的對象

17、、 內(nèi)容、 解決問題的思想方法， 它具有承 前啟后的作用 . 上好序言課，對學(xué)生學(xué)好這門學(xué)科有著十分重要的作用 . 立體幾何起始課， 如何上呢？我們要從學(xué)生身邊的“存在”講起，引導(dǎo)學(xué)生觀察身在其中的教室、校園，從中 選取我們要學(xué)習(xí)的空間點(diǎn)、線、面、體 . 這樣引入立體幾何，學(xué)生感到自然、親切，從而使 學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣和信心 . （ 1） 通過本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生初步建立空間概念，使學(xué)生的視野由平面發(fā)展到空間. 不過于追求學(xué)生數(shù)學(xué)語言的科學(xué)和嚴(yán)謹(jǐn)， 而是力求使學(xué)生感受體會立體幾何的體系和研究思 想，不是一開始就讓抽象的符號語言把學(xué)生嚇住，而是使學(xué)生感受到立體幾何就在身邊 . 在 授課過程中，

18、充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力， 注重了從學(xué)生已有的知識出發(fā)設(shè)計問題 . 如在立體幾何研究的內(nèi)容中，通過學(xué)生熟知的正方體、長方體、圓柱、圓錐等的直觀圖，使 學(xué)生深刻認(rèn)識到了空間圖形與平面圖形在畫法上的差異； 通過對長方體、 正方體的簡單運(yùn)算， 向?qū)W生說明了在研究空間圖形時不能只依據(jù)直覺做出判斷， 要充分利用平面幾何的知識 . 這 部分教學(xué)設(shè)計，深入淺出，闡明了立體幾何研究的內(nèi)容；在數(shù)學(xué)思想方法中，用具體的、學(xué) 生熟悉和感興趣的例子揭示本質(zhì) . （ 2） 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo) 自助探究、動手實踐、合作交流等方式 . 所以新課程下的課堂應(yīng)當(dāng)是學(xué)生獨(dú)立思考、自主探 究和師生互動的學(xué)習(xí)過程 . 教學(xué)內(nèi)容的問題化、教學(xué)過程的探索化能激發(fā)學(xué)生興趣、調(diào)動課 堂氣氛，使課堂教學(xué)成為在教師指導(dǎo)下的探索學(xué)習(xí)過程 . 如在引入中通過小實驗，創(chuàng)設(shè)了學(xué) 習(xí)情境，激發(fā)了學(xué)生興趣；在數(shù)學(xué)思想方法中，在學(xué)生已有的平面幾何知識的基礎(chǔ)上， 從問 題入手，在解決問題中，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力 . 學(xué)生經(jīng)歷的是探索的過程，領(lǐng)悟的是數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)的方法，得到的是自主探究的結(jié)果，體驗的是實踐成功的喜悅 . 總之， 本節(jié)教學(xué)案例的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計中重視從學(xué)生已有