空間中直線與平面之間的位置關系

1、空間中直線與平面之間的位置關系 知識點一 直線與平面的位置關系 1、直線和平面平行的定義 如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么這條直線和這個平面平行。 2、直線與平面位置關系的分類 位愛黃系 直線4住甲面 直線H與平面口 直線與平面盤 a內(nèi) 相立 平行 公共點 -I 有無敕公共點 有且只有一個公 ！ ； 沒存公其點1 符號表示 oU” aCaA a/a /7 Q J 國形表示 ZZZ7 克線和甲面桶交 直蟻和平翫平行 (1 )直線與平面位置關系可歸納為 直線和平面平行 抿公井點個數(shù)分類叫 (s:sr 務是否在平面內(nèi)分類 直熾在平面內(nèi) 解：如圖5,另一條直線與平面a的位置關系是在平面或與平面相

2、交 (2)在直線和平面的位置關系中，直線和平面平行，直線和平面相交統(tǒng)稱直線在平面外, 我們用記號a 來表示a /和aA這兩種情形. (3)直線與平面位置關系的圖形畫法： 畫直線a在平面 時，表示直線的直線段只能在表示平面的平行四邊形，而不 能有部分在這個平行四邊形之外，這是因為這個用來表示平面的平行四邊形的四周應是無限 延伸而沒有邊界的，因而這條直線不可能有某部分在某外； 在畫直線a與平面 相交時，表示直線 a的線段必須有部分在表示平面a的平行四 邊形之外，這樣既能與表示直線在平面區(qū)分開來，又具有較強的立體感； 畫直線與平面平行時，最直觀的畫法是用來表示直線的線在用來表示平面的平行四邊形之 外

3、，且與某一邊平行。 例1、下列命題中正確的命題的個數(shù)為 。 如果一條直線與一平面平行，那么這條直線與平面的任意一條直線平行；如果一條 過平面外一點有且只有一條 則這條直線平行于這個平面。 直線與一平面相交，那么這條直線與平面的無數(shù)條直線垂直； 直線與平畫平行；一條直線上有兩點到一個平面的距離相等, 變式1、下列說法中正確的是 。 直線I平行于平面 無數(shù)條直線，則1； 若直線a在平面夕卜，則all ; 若直線allb，直線b ，則all ; 若直線allb，直線b ，那么直線a就平行于平面的無數(shù)條直線。 變式2、下列命題中正確的個數(shù)是 () 若直線I上有無數(shù)個點不在平面a,則I /a 若直線I與

4、平面a平行，則I與平面a的任意一條直線都平行 如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行 若直線I與平面a平行，則I與平面 a的任意一條直線都沒有公共點 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如圖2, 圖2 我們借助長方體模型，棱 與平面ABCD相交，所以命題 Ai Bi所在直線平行于平面 AA i所在直線有無數(shù)點在平面 不正確； ABCD , AiBi顯然不平行于 ABCD夕卜，但棱AAi所在直線 BD，所以命題不正確; Ai Bi / AB,A iBi所在直線平行于平面 ABCD，但直線AB 平面ABCD,所以命題不正 確; I與平面a平行，則I與a無公共點，1與平

5、面a所有直線都沒有公共點，所以命題正確. 答案：B 變式3、若直線I上有兩個點到平面 a的距離相等，討論直線I與平面a的位置關系 解：直線I與平面a的位置關系有兩種情況（如圖3）,直線與平面平行或直線與平面相交 例2、若兩條相交直線中的一條在平面a,討論另一條直線與平面a的位置關系. 用符號語言表示為：若 a Qb=A,ba,則a a或a A aA. 變式1、若兩條異面直線中的一條在平面a,討論另一條直線與平面a的位置關系 分析：如圖6,另 用符號語言表示為：若a與b異面,a 例3、若直線a不平行于平面 久且a A. a的所有直線與a異面 C. a存在唯一的直線與 a平行 a,則 b / a

6、或 b Ao=A. a,則下列結論成立的是（） B.a的直線與a都相交 D. a不存在與a平行的直線 分析：如圖7,若直線a不平行于平面 久且aa,則a與平面a相交. 圖7 例如直線 AB與平面 ABCD相交，直線 AB、CD在平面 ABCD，直線 AB與直線 AB 相交，直線CD與直線AB異面，所以A、B都不正確；平面 ABCD不存在與a平行的直 線，所以應選D. 變式1、不在同一條直線上的三點 A、B、C到平面a的距離相等，且 A a,以下三個命題： 厶ABC中至少有一條邊平行于 算厶ABC中至多有兩邊平行于 a；厶ABC中只可能有 一條邊與a相交. 其中真命題是 分析：如圖8,三點 A、

7、 其中真命題是. 變式2、若直線a a則下列結論中成立的個數(shù)是 () (1) a的所有直線與 a異面(2) a的直線與 a都相交 (3) a存在唯一的直線與 a平行 a 不存在與a平行的直線 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：直線 aa/, a /a或 a Aa=A. 如圖9,顯然 (2)(3)(4) 那么這 a/ 答案：A. 知識點二直線與平面平行 1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面的一條直線平行, 條直線和這個平面平行。 定理可簡述為“線線平行，則線面平行”，可以用符號表示為 a/b,a ,b 該定理判斷直線 a與平面 平行時，必須具備三個條件: 直線a在平面

8、夕卜，即a ；直線b在平面 ，即b 直線a, b平行，即a /b，這三個條件缺一不可。 定理的作用：將直線和平面平行的判定轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行關系的判定。 2、直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這 個平面相交，那么這條直線就和交線平行。 用符號表示為：若 a/，,b,則a/b，即“線面平行，則線線平行”。 (1) 定理的作用 線面平行的性質(zhì)定理的作用在于： 把線線平行的判定轉(zhuǎn)化為線面平行的判定，因此，我 們要證明(或判定)兩條直線平行時，若直線證明難以成功，此時，不妨考慮轉(zhuǎn)化為證明(或 判定)線面平行的問題. (2) 直線和平面平行時，注意把直線和平面

9、的位置關系轉(zhuǎn)化為直線和直線的位置關系.直 線和平面平行的性質(zhì)在應用時，要特別注意“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面 的一切直線”的錯誤結論. (3) 線面平行的其他性質(zhì)： 平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，則另一條也平行于這個平面； 若過平面一點的直線平行于與此平面平行的一條直線，則此直線在這個平面。 例4、如圖，正方體 ABCD AiBiCiDi中，點N在BD上，點M在BiC上，且CM = DN , 求證：MN/平面AAiBiBo 變式1、已知 AB、BC、CD是不在同一平面的三條線段，E、F、G分別是 AB、BC、CD 的中點，求證：平面 EFG和AC平行，也和 BD平行。 例5、過正方體 ACi的棱BBi作一平面交平面 CDD iCi于EEi，求證：BB1/EE1 。 變式i、ABCD是平行四邊形，點 P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在 DM上取 一點G,過G和AP作平面交平面 BDM 于GH，求證：AP/GH。 知識點三直線與平面垂直 i、直線與平面垂直的概念 如果一條直線a與一個平面的