大一上學期高數(shù)期末考試題(同名2979)

1、大一上學期高數(shù)期末考試卷 、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分） 1. （A） 設 2. （A） 設 f ( X) f (0) (x) sin x ),則在x 0處有( f (0) 1 (C) f (0) 0 cos X（X 2（ B） -X，（x） 3 33 x，則當 x 1時（ 1 x （x）與（x）是同階無窮小，但不是等價無窮小; (C) (x) 是比 (x) 高階的無窮小； 無窮小. 3.若F (X) X 0( 2t x）f（t）dt其中胃 ，其中 f (x) 0 則（ ). (A) 函數(shù) F(x) 必在 X 0處取得極大值； (B) 函數(shù) F(x) 必在 x 0處取得極

2、小值； (C) 函數(shù) F(x) 在x 0處沒有極值，但點 是等價無窮?。?(D) (D) ）. f（X）不可導. (B)(x)與(x) （X）是比（X）高階的 （X）在區(qū)間上（1,1）二階可導且 （0, F（0）為曲線y F（x）的拐點； （D）函數(shù)F（x）在X 0處沒有極值，點（0,F（0）也不是曲線y F（x）的拐點。 4 設f （x）是連續(xù)函數(shù)，且 2 2 XX （A） 2（ B） 2 f (X) 1 2 0 f(t)dt ,則 f (x)( 5. 6. 7. 1 、填空題（本大題有4小題，每小題 2 lim （13x）k x 0 / 已知c空是f（x）的一個原函數(shù) X lim n 2

3、(cos n n 2 x arcsin x f Idx 丄 1 X2 2 二、解答題（本大題有 9.設函數(shù)y y（x）由方程 8. （D）x 2. 4分，共16分） I rcosx 則 f(x) d x x cos2-) n 5小題，每小題8分，共40 分） ex y sin（xy） 1 確定，求 y （x）以及 y （0）. 1 10. 11. 12. 求x(1 設 f (x) 7 dx. x7) x xe , 求 3 f(x)dx g(x) 設函數(shù)f(x)連續(xù)， f (xt)dt 0 mo n X 且 X /V 1 g(x)并討論g(x)在x 0處的連續(xù)性. y(1)- 13. 求微分方程

4、xy 2y xlnx滿足9的解. 四、解答題(本大題10分) 14. 已知上半平面內一曲線 y y(x) (x 0)，過點(01)，且曲線上任一點 M(x0，y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 x軸、y軸、直線x X。所圍成 面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程. 五、解答題(本大題10分) 15. 過坐標原點作曲線y ln x的切線，該切線與曲線y ln x及x軸圍 成平面圖形D. (1)求D的面積A ； (2)求D繞直線x = e旋轉一周所得旋轉體的體積 V. 六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分) 16. 設函數(shù)f(x)在上連續(xù)且單調遞減，證明對任意的q ,1】， q1 f

5、 (x) d x q f (x)dx 00 f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0 17. 設函數(shù)f(x)在0，上連續(xù)，且0 證明：在0，內至少存在兩個不同的點1，2，使f( 1) f ( 2)0. (提 x F(x) f(x)dx 示：設0 解答 一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1 COSX 2 6_() c 5. e. 6. 2 x.7.2 .8.3. 三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分) 9.解：方程兩邊求導 (1 y ) cos(xy)(xy y)

6、 0 ex y ycos(xy) ex y x cos(xy) 0y(0) y(x) 10.解： u 7 x 6 7x dx 原式 1 (1 u). du 7 u(1 u) 1 7仲 |u| 2ln |u 1 , |x7 ,2,- ln I ln |1 0,y x 1|) x7 du 1 7 1 0 3 11.解: 3 f(x)dx 0 3Xd( xe xdx 0 2x x2 dx 12.解: x xe 0 . 1 (x 1)2dx 0 0 3 一 cos2 d (令 x 2 1 sin ) -2e3 4 由 f() g(0) x xt (u)du g(x) f (xt )dt (x 0) g

7、(x) g(0) x xf (x) f (u)du 0 2 x x f(u)du 0 (x 0) lim x 0 f(x) 2x xf(x) 100 g(x) 00 lim x 0 x f (u)du 0 2 x A 2 , g(x)在 x 0處連續(xù)。 業(yè) 13.解:dx 2 y x -dx x In y e xln 3 1 y(1) 9，C -dx e x In xdx Cx 2 6ln 3 四、解答題（本大題10分） C) 9 14解：由已知且y 將此方程關于x求導得 特征方程：r2 r 2 x x 2 yd x y y 2y y 解出特征根: 1, 2. 其通解為y C1e C2e2x

8、代入初始條件y() 故所求曲線方程為： 五、解答題(本大題1分) ()1，得 2 x y 3e C1 2x 15解：(1)根據(jù)題意，先設切點為 (x,ln x) 由于切線過原點，解出x 1 (ey A 則平面圖形面積 e，從而切線方程為: 1 ey)dy -e 1 y ，切線方程： 1 y x e In x 1 (x x) x (2)三角形繞直線 曲線y 為V In x D繞直線 六、證明題 x=e一周所得圓錐體體積記為 與x軸及直線 1 V2 (e 16.證明： q (1 q) f(x)d x 1 , q 2 q,1 q(1 V1,則 x = e所圍成的圖形繞直線x= e一周所得旋轉體體積

9、ey)2dy V V1 V2 x = e旋轉一周所得旋轉體的體積 (本大題有 q f(x)dx 2小題，每小題4分，共12 分) 1 q f (x)dx 2 嚴 12e 3) q f (x) d x q( f (x) d x 1 f (x)dx) q 1 q f(x)dx q q) f( i) q(1 q) f( 2) 1) f ( 2) 故有： q f (x) d x f(x)dx 證畢。 F(x) , 證：構造輔助函數(shù): 上可導。F (x) 。其滿足在，上連續(xù)，在(，) f(x)，且 F() F() 17. x 0 f(x)cosxdx cosxdF (x) F(x)cosx|sinx F(x)dx 由題設，有 0000, F (x)