2020年同步優(yōu)化探究理數(shù)(北師大版)練習：第七章第四節(jié)垂直關系Word版含解析.doc

1、課時作業(yè) A組一一基礎對點練 1. 如圖，在RtAABC中，/ ABC= 90 P為厶ABC所在平面外 一點，PA丄平面ABC，貝U四面體P ABC中共有直角三角形個 數(shù)為（） B. 3 C. 2 解析：由FA丄平面ABC可得 PAC， FAB是直角三角形，且FAX BC.又/ABC =90即ABXBC,所以 ABC是直角三角形，且 BCX平面PAB,又PB 平 面PAB，所以BCXPB，即厶PBC為直角三角形，故四面體P ABC中共有4個 直角三角形. 答案：A 2. （2017蘭州診斷考試）設a B, 丫為不同的平面，m, n為不同的直線，貝U m丄 B的一個充分條件是（） A. a丄 B

2、, aG n，m 丄 n B. aG 尸 m, aX y B丄 丫 C. aX B, B丄 Y m X a D. nX a , nX B, mX a 解析：A不對，m可能在平面B內，也可能與B平行；B, C不對，滿足條件的 m和B可能相交，也可能平行；D對，由nX a, nX B可知all B,結合mX a知 mX B,故選D. 答案：D 3. （2018長沙市模擬）平面a過正方體ABCD-AiBiCiDi的面對角線ABi，且平面 aX平面CiBD,平面aG平面ADDiAi= AS,貝U/ AiAS的正切值為（） B. A. C. 解析：連接 AC, AiC，正方體 ABCD -AiBiCiD

3、i 中，BDXAC, BDXAAi, v ACG AAi= A,A BD丄平面 AAiC,A AiCXBD, 同理，得AiCXBCi, / BDn BCi = B,.AiC丄平面 CiBD , 如圖，以AAi為側棱補作一個正方體 AEFG-AiPQR,使得側面 AGRAi與平面 ADDiAi 共面， DC 連接AQ,貝U AQ/ CAi，連接QBi，交AiR于S,則平面AQBi就是平面a v AQ / CAi，A AQ 丄平面 CiBD， T AQ 平面a二平面 a丄平面CiBD， AiS i 丄.、小 tan/ AiAS=2故選 D. 答案：D 4. 如圖，O是正方體ABCD AiBiCiD

4、i的底面ABCD的中心， 則下列直線中與BiO垂直的是（） A. Ai DB. AAi C. AiDiD . AiCi BBi 丄 AiCi，故 解析：連接BiDi（圖略），則AiCi丄BiDi，根據(jù)正方體特征可得 AiCi 丄平面 BBiDiD，BiO 平面 BBiDiD，所以 BiO丄AiCi. 答案：D 5. 如圖，在三棱錐 D ABC中，若 AB= CB，AD = CD，E是 AC的中點，貝U下列命題中正確的有（寫出全部正確命 題的序號）. 平面ABC丄平面ABD; 平面ABD丄平面BCD; 平面ABC丄平面BDE，且平面 ACD丄平面BDE; 平面ABC丄平面 ACD，且平面 ACD

5、丄平面BDE. 解析：由AB= CB，AD= CD知AC丄DE，AC丄BE,從而AC丄平面BDE，所以 平面ABC丄平面BDE，且平面ACD丄平面BDE,故正確. 答案： 6. 如圖，PA1O O所在平面，AB是O O的直徑，C是O O 上一點，AE丄PC, AF丄PB,給出下列結論：AE丄BC; EF丄PB;AF丄BC;AE丄平面 PBC，其中正確的結 論有. 解析：AE 平面FAC，BC丄AC，BC丄PA? AE丄BC,故正確；AE丄PC， AE丄BC，PB 平面 PBC? AE丄PB，EF 平面 AEF? EF丄PB,故正確； AF丄PB,若AF丄BC? AF丄平面PBC，貝U AF /

6、 AE與已知矛盾，故錯誤；由 可知正確. 答案： 7. 如圖所示，在四棱錐P ABCD中，PA丄底面ABCD,且底面 各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足時， 平面MBD丄平面PCD.（只要填寫一個你認為是正確的條件即 可） 解析：女口圖，連接AC, BD，貝U AC丄BD , v PA丄底面ABCD, PA 丄 BD. 又 PAG AC= A, BD丄平面PAC, BD丄 PC, 當DM丄PC（或BM丄PC）時，即有PC丄平面MBD.而PC 平面PCD，二平面 MBD丄平面PCD. 答案：DM丄PC（或BM丄PC等） D 8. 如圖，四棱錐P ABCD中，AP丄平面PCD, AD /

7、BC, AB= BC 1 二2AD, E, F分別為線段AD, PC的中點.求證： （1）AP/平面 BEF; (2) BE丄平面PAC. 證明：（1）設ACA BE = O,連接OF, EC,如圖所示. 1 由于 E 為 AD 的中點，AB= BC = 2AD, AD / BC, 所以 AE/ BC, AE = AB= BC, 因此四邊形ABCE為菱形， 所以0為AC的中點. 又F為PC的中點， 因此在 PAC中，可得AP/ OF. 又OF 平面BEF，AP 平面BEF. 所以AP /平面BEF. (2)由題意知 ED / BC，ED = BC. 所以四邊形BCDE為平行四邊形， 因此 BE

8、/ CD. 又API平面PCD， 所以 API CD，因此匕 API BE. 因為四邊形ABCE為菱形，所以BE丄AC. 又 APn AC = A，AP，AC 平面 PAC， 所以BE丄平面PAC. 9. (2018唐山統(tǒng)考)已知四棱錐P ABCD的底面ABCD是矩形，PD丄底面ABCD， E為棱PD的中點. (1)證明：PB/平面AEC; 若PD = AD= 2，PB丄AC,求點P到平面AEC的距離. 解析：證明：如圖，連接BD，交AC于點F，連接EF， 底面ABCD為矩形，二F為BD中點， 又E為PD中點，二EF / PB， 又PB 平面AEC，EF 平面AEC， B PB/平面 AEC.

9、 (2)v PD 丄平面 ABCD, AC 平面 ABCD，二 PD丄AC, 又 PB丄AC, PBA PD= P,A AC丄平面 PBD, BD 平面 PBD,a AC丄 BD, 四邊形ABCD為正方形. 又E為PD的中點，二P到平面AEC的距離等于D到平面AEC的距離，設D到 平面AEC的距離為h, 一 1 由題意可知 AE= EC= 5, AC = 2 2, SX 2 2X 3= 6,由 Vd AEC = Ve adc得AP= .AAi+ AiP2- 2AAiX AiPcos/ AAiP= x2- 2x+ i, cos/APDi = Ap2+ PD2-AD? = 2x2-. 2x3x-

10、i i2APX PDi2APX PDi 2APX PDi ， Ssec h = *Ssdc ED，解得 h_36,A點 p 到平面 AEC 的距離為-. B組一一能力提升練 1. 如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，P為線段 AiB上的動點，則下列結論正確的是（） A. DBi 丄DiP B. 平面ADiP丄平面AiDBi C. Z APDi的最大值為90 D. AP+ PDi的最小值為 解析：當點P在Ai點時,DBi與DiAi顯然不垂直，A錯誤；t AiB平面ADDiAi, AiBi丄ADi，又在正方形 ADDiAi 中，AiD丄 ADi,二 ADi 丄平面 AiDBi.又

11、 ADi 平面ADiP,:平面ADiP丄平面AiDBi, B正確.t正方體 ABCD-AiBiCiDi的 棱長為 i, ADi = AiB= _2,BDi= ,3,令 AiP = x,則 OWx 2, DiP= x2 + i, 當 _22x0,0 / APDi90 顯然, cos/ APDi = 0, / APDi = 90 當0 xv于時, cos/ APDi0,90 /APDii80 / APDi的最大值大于90 且當x cos/ APDi 最大，此時 AP=#, DiP二呼，顯然嚴+呼v寧，C， D均錯誤，故選B. B 解析：如圖，作PQ丄BC于Q,作QR丄BD于R,連接PR， 貝U由鱉

12、臑的定義知PQ/ AB，QR/ CD.設AB= BD= CD= 1, J則 CPPQ 即 PQ 又 QR BQ-AP-V3? ac- 3- i，即 PQ 3，又 i bc - 一 AC_ 3，所以 QR ，所以f（x） = ，所以 PR PQ2 + QR2 x 2 3 + x+ 3二普再）2+弓，故選 答案：B 2. （2018石家莊質檢）在九章算術中，將四個面都是直角三 角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑 A-BCD中，AB丄平面BCD，且 BD丄CD，AB= BD = CD，點P在棱AC上運動，設 CP的長度 為乂，若厶PBD的面積為f（x），則f（x）的圖像大致是（） 答案：A 3. 如圖，直

13、三棱柱 ABC A1B1C1中，側棱長為2，AC BC 1, / ACB 90, D是AiBi的中點，F(xiàn)是BBi上的動點，ABi，DF 交于點E.要使ABi丄平面CiDF，則線段BiF的長為（） B. i 解析：設BiF = x,因為ABi丄平面CiDF, DF 平面CiDF，所以ABi丄DF.由已 1 知可得AiBi = 2,設RtAAA1B1斜邊ABi上的高為h,貝U DE =又2X 2= h.22+2 2,所以 h= 233，DE =扌在 RtA DBiE 中，BiE= ：J 卜22-if 2 =晉.由面積相等得羋X寸x2+宇2=x,得x= 2 答案：A 4. 如圖，三棱柱 ABC A1

14、B1C1中，側面BBiCiC為菱形，BiC的中點為0,且 A0丄平面BBiCiC. (1) 證明：Bid AB; (2) 若 AC 丄 ABi,/ CBBi = 60 BC= i,求三棱柱 ABC AiBiCi 的高. 解析：(i)證明：如圖，連接BCi,則0為BiC與BCi的交點.因 為側面BBiCiC為菱形，所以BiC丄BCi. 又AO丄平面BBiCiC,所以BiC丄A0,故BiC丄平面ABO. 由于AB 平面ABO, 故 BiC丄AB. 如圖，作0D丄BC,垂足為D，連接AD.作0H丄AD，垂足為H. 由于BC丄A0, BC丄0D, 故 BC丄平面A0D, 所以0H丄BC. 又0H丄AD

15、，所以0H丄平面ABC. 因為/ CBBi = 60所以 CBBi為等邊三角形， 又 BC= i,所以 0D = ；43. ii 由于 AC丄ABi，所以 0A= ?BiC=?. 由 0H AD = 0D 0A, 且 AD= 0D2 + 0A2= 7 又O為B1C的中點，所以點B1到平面ABC的距離為亠尹. 故三棱柱ABC A1B1C1的高為亠尹. 5. （2017北京東城區(qū)模擬）如圖，在四棱錐 E ABCD中，AE丄DE, CD丄平面 ADE, AB丄平面 ADE, CD = 3AB. 求證：平面 ACE丄平面CDE; （2）在線段DE上是否存在一點F,使AF /平面BCE?若存在，求出 蠱

16、的值；若 不存在，說明理由. 解析：（1）證明：因為CD丄平面ADE, AE 平面ADE, 所以CD丄AE. 又 AE 丄 DE, CD A DE = D, 所以AE丄平面CDE , 因為AE平面ACE, 所以平面ACE丄平面CDE. EF 1 在線段DE上存在一點F，且ED二3,使AF/平面BCE. 設F為線段DE上一點, 過點F作FM / CD交CE于點M, 1 連接 BM , AF，貝U FM = 3CD. 因為CD丄平面ADE, AB丄平面 ADE, 所以 CD / AB. 又 FM / CD，所以 FM / AB. 因為 CD = 3AB,所以 FM = AB. 所以四邊形ABMF是平行四邊形， 所以 AF / BM. 又AF 平面BCE, BM 平面BCE, 所以AF /平面BCE. 6. 如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是菱形，F(xiàn)A= PD,Z BAD = 60 E 是AD的中點，點Q在側棱PC 上. (1)求證：AD丄平面PBE; 若Q是PC的中點，求證：PA/平面BDQ; CP 若Vp bcde = 2Vq ABCD，試求CQ的值. 解析：(1)證明：由E是AD的中點，F(xiàn)A= PD可得AD丄PE. 又底面ABCD是菱形，/ BAD= 60 所以AB= BD，又E是A