《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習題及答案第八章

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案 第八章 1. 設(shè)x.,x2,%是從總體X中抽岀的樣本，假設(shè)X服從參數(shù)為兄 的指數(shù)分布，幾未知，給泄入0和顯著性水平a(Ovavl),試求假設(shè) Ho的力$檢驗統(tǒng)計量及否建域. 解 選統(tǒng)汁量*=2人工乙=2如慶 則Z2 -Z2(2n) 對于給宦的顯著性水平a,査z分布表求出臨界值 加，使 加2)=Q 因 z2 z2 所以(F： (2/1) = (/2 /； (2n),從而 a = PX2 加“ n Pr Za(2/0) 可見仏:2的否定域為Z2Z；(2). 2. 某種零件的尺寸方差為o-2=1.21,對一批這類零件檢查6件得尺寸 數(shù)據(jù)(毫米)：，。設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布

2、，問這批零件的平均尺寸 能否認為是毫米(a = O.O5). 解 問題是在/已知的條件下檢驗假設(shè)： “ = 32.50 Ho的否定域為1“ l uaf2 u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 1.96,所以否泄弘，即不能認為平均尺寸是亳米。 3. 設(shè)某產(chǎn)品的指標服從正態(tài)分布，它的標準差為b = 100,今抽了一 個容量為26的樣本，計算平均值1580,問在顯著性水平a = 0.05下，能否認為 這批產(chǎn)品的指標的期望值“不低于1600。 解 問題是在b?已知的條件下檢驗假設(shè):/1600 的否定域為u -1.64 = -m005 ,所以接受H(,即可以認為這批產(chǎn)品 的指標的期望值“不低

3、于1600. 4. 一種元件，要求其使用壽命不低于1000小時，現(xiàn)在從這批元件中任 取25件，測得其壽命平均值為950小時，已知該元件壽命服從標準差為o-=100 小時的正態(tài)分布，問這批元件是否合格(1000.仏的否定域為w -h0 05 ,貝中 X-1000 / 950-1000 u =(25 =x5 = -2.5 cr100 wo.o5 = 1 64 因為 u = -2.5 也 _ 1 5 _ X =3.252, s=_(工X” -5xX2) = O.OOO17, 5=0.013 4 r-l /().oo5 =4.6041 X-3.25 ,7 3.252-3.25 t =/5 =x 2.2

4、4 = 0.345 S0.013 因為 1/1= 0.345 S2=-（22（X,. -x）2） = 1.47, S = 1.21 , 8 z-i 問題是檢驗假設(shè)Ho:/ = 1OO 的否定域為iMrtf/2（8）. 其中 _ z=X-100=99.98-100 x3 = _005 S1.21 仏 = 2.306 因為 ”1=0.05 21. （1）Ho :/21. （2）単擇統(tǒng)計呈7并計算其值： X21 廠 20 21C t =y/n =JY7 = -0.20 S20.485 （3 ）對于給定的tz = 0.025查/分布表求出臨界值 fa（）= /oo25（16） = 2.2 （4）因為-

5、r0025（16） = -2.20-0.20 = /o所以接受即認為維生 素含量合格. 8. 某種合金弦的抗拉強度X N（“，b?）,由過去的經(jīng)驗知/ 10560 （公斤/厘米二），今用新工藝生產(chǎn)了一批弦線，隨機取10根作抗拉試驗，測得數(shù) 據(jù)如下： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 1058b 10666, 10670. 問這批弦筆的抗拉強度是否提髙了（/10560. （2）選統(tǒng)計量并計算其值. X 10560 S 10631.4 10560 80.99 =2.772 （3）對于a = 0.05,查/分布表，得臨界值=也5（9）

6、= 1.833. （4）因/（）“ （9） = 1.833 2.772 = f,故否泄弘即認為抗拉強度提髙了。 服從正態(tài)分布)。 解 S = 0.025, 52 =0.00065, n = 15 ,問題是檢驗假設(shè) Hq : a2 =0.0004. (1) (2) (3) 9. 從一批軸料中取15件測量其橢圓度，計算得S =0.025,問該批軸 料橢圓度的總體方差與規(guī)左的erH : cr2 =冼=0.0004 選統(tǒng)i-IMz2并計算英值 2 _ (n-l)S2 _ 14x0.00065 枕0.0004 對于給定的a = 0.05,査z分布表得臨界值 加2(14)=琉25(14) = 26.119

7、, Z1la/2(14) = ZJ.975(14) = 5.629. (4)因為加975 =5.629 22.75 =才V加025 =26.119所以接受,即總 體方差與規(guī)定的o-2 = 0.0004無顯著差異。 10. 從一批保險絲中抽取10根試驗其熔化時間，結(jié)果為 42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55. 問是否可以認為這批保險絲熔化時間的方差不大于80 （a =0.05,熔化時 間服從正態(tài)分布）二 解 X=62.4 , S2 =121.82, = 10,問題是檢驗假設(shè) Ho :a280. （1）Ho : cr2 5 80 = bj : = 0.000

8、4有無顯著差別（a = 005，橢圓度 （2）選統(tǒng)計量力2并計算其值 （ = 9xl2L82=i3705 Zb：80 （3）對于給左的a = 0.05,査z?分布表得臨界值 Z（-D = ZJ.o5 （9） = 16.919. （4）因2 = 13.705 16.919 = Zj05,故接受H（）,即可以認為方差不 大于80。 11. 對兩種羊毛織品進行強度試驗，所得結(jié)果如下 第一種 138, 127, 134, 125： 第二種 134, 137, 135, 140, 130, 134. 問是否一種羊毛較另一種好設(shè)兩種羊毛織品的強度都服從方差相同的正態(tài) 分布。（a = 005） 解 設(shè)第一、

9、二種織品的強度分別為X和丫，則XN（“，b2）, YNgb冷 X = 131, S： =36.667, nx =4 F = 135, S = 35.2, n2 =6 問題是檢驗假設(shè)乩）：“ =2 （2）選統(tǒng)計量T并計算其值. （叫-1）S+（介2 -1）S y n +_ 2 I WS _ Vli +n2 131 135 pT36.66775：35.2 V 4+6-2 = -1.295 （3）對于給定的a = O.O5,査/分布表得臨界值匕2（厲+$2） =o.o25 = 2.3069. （4）因為1/1= 1.295 -2.5524 = -仏心8）故接受即新品種髙于舊品 13. 兩臺機床加工同

10、一種零件，分別取6個和9個零件，量其長度得 0.345, S；= 0.357,假定零件長度服從正態(tài)分布，問可否認為兩臺機床加 工的零件長度的方差無顯著差異（a = 0.05） 解 S； = 0.345, q = 6, S； = 0.357, n2 = 9 問題是檢驗假設(shè) H。: erf = b； 選統(tǒng)i F并計算其值 S： _ 0.345 一可一 0.357 =0.9664 對給泄的a = 0.05査 F 分布表得臨界值 心耳（5,8）=耳。25（5,8） = 4.65 ,花鄧（5,8） = - = 0.1479. O./O 因佗975（5,8） = 0.14790.9664 = F 4.65

11、 =佗025（5,8）故接受 丹0,即無顯箸差異. 13甲.乙兩臺機床加工同樣產(chǎn)品，從它們加工的產(chǎn)品中各抽取若卩 測得直徑（單位：mm）為 甲：，； 問甲、乙兩臺機床加工的精度有無顯箸差異（a = 0.05,產(chǎn)品直徑服從正 態(tài)分布。） 解 設(shè)甲加工的直徑為X,乙為Y . Y X= 19.925, S； =0.2164,=8 F = 20, S； = 0.3967 , n2 = 7 問題是檢驗假設(shè) H（）：于=或 選統(tǒng)計量F并計算其值 尸亠竺里“5455. S2 0.3967 對于給定的6? = 0.05 , 査F分布表得臨界值 你/2（7,6） = ）025（7,6） = 5.70 , .97

12、5（7,6） = - = 0.1953 因 佗.975 6） = 0.1953 v0.5455 = F 丘025 6） = 5.70 ,故接受 比,即精度無顯著差異. 14. 一顆骰子擲了 120次，得下列結(jié)果： 點 數(shù) 1 2 3 4 5 6 出現(xiàn) 2 2 2 2 1 1 次數(shù) 3 6 1 0 5 5 問骰子是否勻稱（0 = 0.05） 解 用X表示擲一次骰子岀現(xiàn)的點數(shù)，其可能值為1, 2, 3, 4, 5, 6。 問題是檢驗假設(shè) Hq : /?, = PX =/） = -, j = l,2,.,6. 這 里 k=6, Pio = ii = 20, npe = 20 9 4 = ，故 6 尹

13、仆叫）二尹耳一20）2=蘭=48 幺 Wo tT 2020 査才分布表，得臨界值加伙一 D = Zo.o5（5） = H.071因為 /= 4.8 -4 =15.25, y5 =15.55, j6= 15.85.它們 把實數(shù)軸分成七個不相交的區(qū)間，樣本值分成了七組： 1 X-1 X ni 1 -co 14.35 3 2 14.35 14.65 5 3 14.65 14.95 1 0 4 14.95 15.25 1 6 5 15.25 15.55 8 6 15.5515.85 6 15.85 設(shè)鋼珠的直徑為X,其分布函數(shù)為FM ,我們的問題是檢驗假設(shè): 仇：=其中從/未知. b 在比成立之下，“

14、和r2的極大似然估計為“=無=15.1 , a =-y（X -X）2 =0.1849, cr = 0.43. 在上而的表中第1組和第7組的頻數(shù)過小，把它們并入相鄰的組內(nèi)，即 分成 5 組，分點為厶=14.65 , t2 = 14.95 , t3 = 15.25 t4 = 15.55 P = F(fJ =(!丄心一4)= 1 一(1.04)= 0.1492 14 95-15 1 P2 = F(r2) - F(r,)=(-)-01492 =1 一 0(0.35) 一 0492 = 0.214 卩3 =尸億)-FQJ =(4；一03632 0.43 =0(0.35)-0.3632 = 0.2736

15、、 L, x 從5.55 15.1、 幾=4)一 F(G = (存一)- = 0(1.04)-0.6368 = 0.218 15.55-15.1 p5 = l-F(r4) = l- 4)() = 0.1452 統(tǒng)計量 宀 I w 的值嚴算如下表: E pinpj q -np (q -np )2 (nf npj 丨忙 0 6 因為 才=11.687.815 =總(3) 所以不接受丹0,即不能相信XU0,2 習題九 1. 一批由同樣原料織成的布，用五種不同的染整工藝處理，然后進行 縮水試驗，設(shè)每種工藝處理4塊布樣，測得縮水率的結(jié)果如下表 布樣 號 縮水率 A a2 4 1 2 3 4 問不同的工藝

16、對布的縮水率是否有顯箸的影響(a = 0.01) 解 m = 5, nA = n2 = n3 = nA = n5 =4, n = 20 , 查附表 5 得 o.oi(m 一 1，n m) = FQQl (4, 15) = 4.89. 方差 來源 平方 和 自由 度 均 方 F 值 匚 藝 誤 差 4 15 * 總 19 因為9.60954.89所以工藝對縮水率有顯著影響. 序 號 A a2 4 A ffl z 1-1 1 2 3 4 問 1 工X 冋 1 1 J 問 方差分析表 P =-Lx (147.9)2 20 = 1093.72 (2 = 1149.25 /? = 1170.92 S/R

17、-Q = 21.67 S、=Q-P = 55.53 S = R-P = 77.2 2. 燈泡廠用4種不同配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，今從中分 別抽樣進行使用壽命的試驗，得到下表的結(jié)果（單位：小時），問這幾種配料方 案對使用壽命有無顯著影響（a = 001） 試驗 壽 命 A a2 A 1 1600 1850 1460 1510 2 1610 1640 1550 1520 3 1650 1640 1600 1530 4 1680 1700 1620 1570 5 1700 1750 1640 1600 6 1720 1660 1680 7 1800 1740 S 1820 解 m = 4,

18、= 7, n2 = 5, n3 =4 =6, n = 26 ,查附表 5 得 佗】（加-1,料-加）=厲0（3, 22） = 4.82 為簡化汁算從上表的試驗結(jié)果中都減去1600再除以10得下表 A A. 島 4 Z 1=1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 5 8 10 12 20 25 4 4 10 15 -14 _ 5 0 2 4 6 14 22 -9 -8 -7 -3 0 8 叫 丿u 56 58 29 -19 124 （也丫 / 3136 3364 841 361 1 叫 占 2 448 / 7-1 734 982 957 264 2937 卩=丄（124）2 =591.385

19、,（2 = 1286.092, R = 2937 26 S； =/?-。= 1650.908, S=丄S； =16.509 100 s； =Q-P = 694.707 , S” =禽S； = 6.947 方差分析表 方差來 平 自 均 F值 源 方和 由度 方 配 料 誤 差 3 22 總 和 25 因為 F=3.184.82 = .0I（3, 22）,故不顯著. 3. 在單因素試驗方差分析模型式（）中，“是未知參數(shù)（i = l,2,加）， 求“的點估計和區(qū)間估計. 解 因為X, N（h，a2）,所以m的點估計為 ZA = Xf , = 1,2,？ 由定理知Sp /L 才（打_加），再由泄理知

20、&與 1 叫_ S；= 工（X廠&）2相互獨立，又由X”獨立，知&與s訂、S：獨 ni - 1 J-1 VI 立，從而 =l）s；與&獨立，又 /-I N(0, 1) 由/分布的泄義知 其中 Se =Se心一 m ) 對于給立的a，査/分布表求出臨界值ta/2（n-m）,使 1T 趴 心2（戸一加）=1一& 在上式括號內(nèi)將M眾壺出來得M在置信度1a下的垃信區(qū)間 &_匚/2（_7 ，& +心2（ 一加） 4在單因素試驗方差分析模型式（）中，b，是未知參數(shù).試證 丄一是CT2的無偏估計，且，的1一&下的置信區(qū)間為 n 一 m ,S , Se 、 、/爲一用）ZL/2 證：因為se/J- - /2（

21、n-/n）,所以 E（Se/a2） = n-m,即 ESe ESf 于是 fl _ Hl) 故一是b，的無偏估計： n 一 ni 因為 Sb? /2（n-m） 所以對于給泄的&，查才分布表求出臨界值龍；2（-和 /莒2 S-加）使得 P（力二刃2（ _?）V 京 V 力；2（拜 _?）= 1 _ a 式中將b?暴露出來得 = l-a 證畢 十0,而A0, C0所以(,仍是Q(a,b)的極小 點，而Q(a,b)存在最小值，故, &能使Q(a,b)達到最小值. 6. 利用泄理證明，在假設(shè)H0 -.b = 0成立的條件下，統(tǒng)訃量 Av =彳7心-2) 并利用它檢驗中例1所得的回歸方程的顯著性(a =

22、 0.01) 證：因為bN(b、)所以才JZ：N(0, 1) a 在H:b = 0成立的條件下JZJN(O, T) 空匹-2) b_ 由/分布的泄義知 證畢 憶= o、=心_2). S .3/(-2) 今利用/統(tǒng)計量檢驗回歸方程的顯著性. t = Jl = &二 J6.056 =6.133 S 7 Jl 18.734 對于給泄的a =0.01查/分布表得臨界值.01(10) = 2.7638. 因為f = 6.1332.738 = r(訕(10),所以回歸方程顯著. 7. 利用立理證明回歸系數(shù)方的置信區(qū)間為 / 八S八 b - taf2 (“ 2) =、 b + tar(n- 2) I K _

23、 并利用這個公式求中例1的回歸系數(shù)“的置信區(qū)間(置信度為). 解由定理知 心娠心-2) 對于給定的查f分布表求出臨界值ta/2(n-2),使 P- 2）7* 心2（刃 - 2） = l-a 在上式的大括號內(nèi)，將眾露出來得 7S .,S Pb f（xc（“ 2） I v b 9 1 15 22 5 2 18 32 3 19 4 4 21 36 5 1 6 44 7 26 1 67 6 T： 均 x= 0.543, y = 20.77 S =壬兀2 一 ?J2 = 2.595 - 2.064 = 0.531, L、. = f y； 7于=3104.2 3019.75 = 84.45, S =兀升一

24、7可=8561 78947=6663, 八 L /? = = 12.55, = y_fc = 13.95 所以回歸方程為y = 13.95 +12.55x （2）我們用方差分析表來檢驗回歸方程的顯著性 方差分析表 方差 來源 平方和 自 由度 均方 F值 回 歸 f/=83. 62 1 療=83. 62 66 = 503 Q 剩 余 2=0.8 315 16.62 = 所以回歸方程髙度顯著. （3）由第7題知，的置信度為1 Q下的置信區(qū)間為 b-tad-2) j=、b + ta/2(n-2). I, K KJ 此 處 2 = 12.55,幾=7, a = 0.05,心血(5) = 2.5706

25、, S2 = (Lyy-bLxy) /(n-2) = 066. 所以b的置信度為下的宜信區(qū)間為(，) (4 ) n = 7, x=0.53, Lu =0.531, 5 = 0.407, /0(5) = 2.5706 , x0 = 050. 哄兀)=02 S i)S jl + + + 0.531 =2.5706 x 0.407 x Jl 4- y +( ?()：)43 -=1.12 y0 = 13.95 +12.55 x 0.5 = 20.225 故y在x = 0.50處的置信度為的置信區(qū)間為 (兒一5(0.5),兒+5(0.5) = (19.105, 21.345) 9. 在硝酸鈉(NRVOJ

26、的溶解度試驗中，對不同的溫度/ C測得溶解于 100ml水中的硝酸鈉質(zhì)量丫的觀測值如下： C 41122356 0519618 Z 從理論知丫與f滿足線性回歸模型式() (1) 求丫對/的回歸方程： (2) 檢驗回歸方程的顯著性(a = 0.01)： (3) 求孑在/ = 25C時的預測區(qū)間(置信度為). 解計算表如下 序 號 / 1 0 0 0 2 4 16 284 3 10 10 763 4 15 0 1209 5 21 22 6 7 8 9 29 36 51 68 5 44 1 84 1 12 96 26 01 46 21 23 4 10 111 7 = 26, y =90.2 9 =工

27、彳_ 疔2 = 10144 - 6084 = 4060, j-i 9 L.=tiyi -9Fy =24646.6-21106.8 = 3539.8, 9 厶=工一 9于=76317.82 73224.36 = 3093.46 = = 0.87187,d = y 燈= 67.5313, S2 = （R -辺）/ 7 = 1.0307,5 = 1.0152 （1）丫對f的回歸方程為 y = 67.5313+0.87187/； （2）方差分析表如下 方差來 源 平方 和 自由 度 均 方 F值 回 歸 1 3086.25 1.03 剩 余 7 查F分布表求出臨界值珂詢（1, 7） = 12.25 因

28、 F = 2996.36 12.25 = 01（1, 7）,故方程高度顯著. （3）y0= 67.5313+0.87187x25 = 89.3281 訊 25） = S（n 2）xSxJ + + + =2.3646x1.0152x1.05 = 2.53 丫在f = 25 C時的置信度為下的預測區(qū)間為 （兒5（25）,兒+ 3（25） = （86.79, 91.85）. 10. 某種合金的抗拉強度丫與鋼中含碳量x滿足線性回歸模型式（）今 實測了 92組數(shù)據(jù)（兀,）（/= 1,2,.-,92）并算得 元=0255, y = 45.7989,=0.301 &2941.0339,厶=26.5097 （1）求丫對x的回歸