初二奧數題及答案

1、初二數學奧數1 如圖，梯形 ABCD中, AD/ BC, DE EC, EF/ AB交 BC于點 F, EF= EC,連結 DF。(1) 試說明梯形ABCD是等腰梯形； 若AD= 1, BC= 3, DC=2，試判斷厶DCF的形狀；(3)在條件(2)下，射線BC上是否存在一點 P,使厶PCD是等腰三角形，若存在，請直接寫出PB的長；若不存在，請說明理由。2、在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿B宀C向終點C運動，連接DM交AC于點N.(1) 如圖251，當點M在AB邊上時，連接BN. 求證： ABNADN ; 若/ ABC = 60 AM = 4，求點 M至U AD的距離；(2)

2、如圖252,若/ ABC = 90記點M運動所經過的路程為 x ( 6x1-4J-1.J_.-(1) 如圖1,當Rt ABC向下平移到 Rt AB1C1的位置時，請你在網格中畫出Rt ABC關 于直線QN成軸對稱的圖形；(2) 如圖2,在Rt ABC向下平移的過程中，請你求出y與x的函數關系式，并說明當 x 分別取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？(3) 在Rt ABC向右平移的過程中，請你說明當x取何值時，y取得最大值和最小值？最 大值和最值分別是多少？為什么？5、如圖， ABC中，AB=AC , / B、/ C的平分線交于 0點，過0點作EF/ BC交AB、AC 于

3、E、F.(1) 圖中有幾個等腰三角形 ？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關系，并說明理由.如圖，若 ABM AC,其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們在第(1)問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？如圖，若 ABC中/ B的平分線B0與三角形外角平分線 CO交于O,過0點作 0E / BC交AB于E,交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎 ？EF與BE、CF關系又如何？說明你的理由。EFDDB6、已知，如圖， ABC 中，/ BAC=90, AB=AC,D 為 AC 上一點， 且/ BDC=124。，延長 BA到點E,使AE=AD,BD 的延長線交 CE 于點F，求/ E的

4、度數。7、如圖，正方形ABCD勺對角線AC,BD交于點0,將一三角尺的直角頂點放在點0處，讓其繞點0旋轉，三角尺的直角邊與正方形 ABCD勺兩邊交于點 E和F。通過觀察或測量 0E,0F的長度，你發(fā)現了什么？試說明理由。1 解：(1 證明：T EF=EC ,/ EFC= / ECF, / EF/ AB ,/-Z B= / EFC,/ B= Z ECF，梯形 ABCD是等腰梯形；1(2) DCF是等腰直角三角形，證明：T DE=EC , EF=EC，/ EF= CD ,2 CDF是直角三角形(如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形)，1 t梯形ABCD是等腰梯形，

5、 CF= ( BC-AD ) =1 ,/ DC= 2 , 由勾股定理得:2DF=1 , DCF是等腰直角三角形；(3) 共四種情況：PB=1 , PB=2, PB=3- 2 , PB=3+22、 證明：(1 ，四邊形 ABCD是菱形， AB=AD , Z仁Z 2. 又t AN=AN , ABN ADN .解：作 MH丄DA交DA的延長線于點 H . 由AD / BC ,得Z MAH= Z ABC=60 .在 Rt AMH 中，MH=AM?sin60 =4 x sin60 =2 , 3 . 點 M 至U AD 的距離為 23 . AH=2 . DH=6+2=8 .(2 )解：ABC=90 ,菱形

6、 ABCD 是正方形.CAD=45 .下面分三種情形：(I)若 ND=NA，則Z ADN= Z NAD=45 .此時，點M恰好與點B重合，得x=6 ;(H)若 DN=DA，則Z DNA= Z DAN=45 . 此時，點 M恰好與點 C重合，得x=12 ;(川)若 AN=AD=6，則Z 1 = Z 2./ AD / BC,1 = Z 4,又Z 2= Z 3, Z 3= Z 4. CM=CN . AC=6 2 . CM=CN=AC-AN=6 2-6.故 x=12-CM=12- ( 6 2-6) =18-6 2 .綜上所述：當x=6或12或18-6 2時， ADN是等腰三角形。3、解：(1)用直尺和

7、圓規(guī)作圖，作圖痕跡清晰；(2) ABP1 ADP，且 ABP1可看成是由 ADP繞點A順時針旋轉90而得.理由如下：在 ABP1和厶ADP中，由題意：AB=AD , AP=AP1,Z PAD= Z P1AB , ABP1 ADP ,又ABP1和厶ADP有公共頂點 A，且Z PAP1=90 , ABP1可看成是由 ADP繞點A順時針旋轉90而得；(3) 點P (1, 1)關于點A ( 0, 4)左轉彎運動到 P1 (-3, 3),點P1 (-3,3)關于點B(-4,4)左轉彎運動到點P2(-5,3),點P2 (-5 ,3)關于點C(-4 ,0)左轉彎運動到點P3(-1 ,1),點P3 ( -1

8、, 1 )關于點D ( 0 , 0)左轉彎運動到點 P4 ( 1 , 1 ),點P4 (1, 1)關于點A (0, 4)左轉彎運動到點P5 (-3, 3),點P5與點P1重合，點P6與點P2重合，點P2009的坐標為(-3 , 3) 點P2010的坐標為(-5, 3).4、解：(1)如圖， A2B2C2是厶A1B1C1關于直線 QN成軸對稱的圖形;N2 p圖1(2)當厶ABC以每秒1個單位長的速度向下平移 x秒時(如圖2)，則有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，y=S 梯形 QMBC-S AMQ-SSBC11_ 1= 4+20) (x+4) - X 20x-X 4 X 422 2=2x+4

9、0 (0 x 16).由一次函數的性質可知：當x=0時，y取得最小值，且 y最小=40,當x=16時，y取得最大值，且 y最大=2X 16+40=72 ;(3 )解法一：當厶ABC繼續(xù)以每秒1個單位長的速度向右平移時，此時 16W xw 32, PB=20- (x-16) =36-x , PC=PB-4=32-x ,111y=S 梯形 baqp-Scpq-Ssbc =(4+20) ( 36-x) - X 20 X( 32-x) - X 4 X 4222=-2x+104 (16 CFO ,如下圖所示： EF / BC,aZ 2= / 3,又/ 1 = / 2 ,/ 仁/3, BEO為等腰三角形，在 CFO中，同理可證. EF=BE+CF 存在.(3) 有等腰三角形： BEO、 CFO,此時EF=BE-CF ,如下圖所示： OE / BC， / 5= / 6,又/ 4= / 5，/ 4= / 6 , BEO是等腰三角形，在厶CFO中，同理可證 CFO是等腰三角形，此時 EF=BE-CF ，6、解：在 ABD和厶ACE中，/ AB=AC，/ DAB= / CAE=90 AD=AE , ABD ACE ( SAS),/ E= / ADB ./ADB=180 -Z BDC=180 -124 =56 ,/ E=56 .7、解： OE=OF.證明：正方形 ABCD 的對角線 AC, BD