一元二次方程培優(yōu)專題講義

1、數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講義：一元二次 方程 一. 知識(shí)的拓廣延伸及相關(guān)史料 1. 一元二次方程幾種解法之間的關(guān)系 解一元二次方程有下列幾種常用方 法： (1) 配方法：如X2 6x 70，經(jīng)配 方得(x 3)22，再直接用幵 平方法； (2) 公式法； (3) 因式分解法。 這三種方法并不是孤立的，直接開平 方法，實(shí)際也是因式分解法，解方程 x2 6x 7 0，只要變形為 (x 3)2 (廚20即可，或原方程 x26 x 70經(jīng)配方化為(x 3)22，再 求解時(shí)，還是歸到用平方差公式的因 式分解法，所以配方法歸為用因式分 解法的手段。公式法在推導(dǎo)公式過程 中用的是配方法和直接開平方法，因 此，它還是歸到

2、因式分解法，所不同 的是，公式法用一元二次方程的系數(shù) 來表示根，因而可以作為公式。由此 可見，對(duì)因式分解法應(yīng)予以足夠的重 視。因式分解法還可推廣到高次方程。 2. 我國古代的一元二次方程 提起代數(shù)，人們自然就把它和方程聯(lián) 系起來。事實(shí)上，過去代數(shù)的中心問題就 是對(duì)方程的研究。我國古代對(duì)代數(shù)的研究， 特別是對(duì)方程解法的研究有著優(yōu)良的傳 統(tǒng)，并取得了重要成果。 下面是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在 1275 年提出的一個(gè)問題：”直田積(矩形面積) 八百六十四步(平方步),只云闊(寬)不 及長(zhǎng)一十二步(寬比長(zhǎng)少一十二步)，問 闊及長(zhǎng)各幾步？ ”答：”闊二十四步，長(zhǎng) 三十六步.” 這里,我們不談楊輝的解法，只用

3、已 學(xué)過的知識(shí)解決上面的問題 上面的問題選自楊輝所著的田畝比 類乘除算法。原題另一個(gè)提法是：“直田 積八百六十四步，只云闊與長(zhǎng)共六十步， 問闊及長(zhǎng)各幾步”這個(gè)問題同樣可以類 似求解 3. 掌握數(shù)學(xué)思想方法，以不變應(yīng)萬變。 本章內(nèi)容蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)方法，主 要有轉(zhuǎn)化思想、類比思想、降次法、配方 (1) 轉(zhuǎn)化思想 我們知道，解方程的過程就是不斷地 通過變形把原方程轉(zhuǎn)化為與它等價(jià)的最 簡(jiǎn)單方程的過程。因此，轉(zhuǎn)化思想就是解 方程過程中思維活動(dòng)的主導(dǎo)思想。 在本章， 轉(zhuǎn)化無所不在，無處不有，可以說這是本 章的精髓和特色之一，其表現(xiàn)主要有以下 方面： 未知轉(zhuǎn)化為已知，這是解方程 的基本思路： 一元二次方程

4、轉(zhuǎn)化為一元一 次方程，這是通過將原方程降 次達(dá)到的： 特殊轉(zhuǎn)化為一般，一般轉(zhuǎn)化為 特殊。 例如，通過用配方法解數(shù)字系數(shù)的一 元二次方程x2 6x 70歸納出用配方 法解一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0的方法，進(jìn)而得出一元二 次方程的求根公式，而用公式法又可以解 各種具體的一元二次方程，推導(dǎo)出一元二 次方程根與系數(shù)的關(guān)系。又如，通過設(shè)未 知數(shù)，找出等量關(guān)系，列方程，把實(shí)際問 題轉(zhuǎn)化為解方程問題，等等。 掌握轉(zhuǎn)化思想并舉一反三，還可以解 決很多其他方程問題，如高次方程轉(zhuǎn)化為 一元一次或一元二次方程，分式方程轉(zhuǎn)化 為整式方程，無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程， 二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，

5、 總之，本章學(xué)習(xí)的關(guān)鍵之一是學(xué)會(huì)如何” 轉(zhuǎn)化”. 練習(xí): 1.a是方程x2 5x 10的一根，求a2乙的值 a (2) 類比思想 本章多次運(yùn)用類比找出新舊知識(shí)的 聯(lián)系,在新舊知識(shí)間進(jìn)行對(duì)比，以利于更 快更好地掌握新知識(shí). 如用配方法解一元二次方程時(shí)，可類 比平方根的概念和意義，列一元二次方程 解應(yīng)用題,可類比列一元一次方程解應(yīng)用 題的思路和一般步驟. 小紅在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)， 因而得到方程的兩個(gè)根是一9和一1.你知 道原來的方程是什么嗎 6.二次三項(xiàng)式的因式分解 我們把形如ax2 bx c(a 0)的多 類比思想是聯(lián)系新舊知識(shí)的紐帶， 有利于幫助我們開闊思路，研究解題途徑 和方法，

6、有利于掌握新知識(shí)、鞏固舊知識(shí), 學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)特別重視。 掌握了類比和轉(zhuǎn)化這兩大數(shù)學(xué)思想， 項(xiàng)式叫做x的二次三項(xiàng)式。在了解了形 如x2 ( p q)x pq的二次三項(xiàng)式分解 因式的方法的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在介紹利用 求出一元二次方程的根的方法，將一 般的二次三項(xiàng)式分解因式。 舉一反三，還可解決許多方程的相關(guān)問題。 我們來看下面兩個(gè)例子。 例1.解分式方程 22 b C 2 ax bx c a(x -x -) a x (x x,)x x冷 a(x x1)(x x,). a a 這就是說，在分解二次三項(xiàng)式 x 2 x2 4x 4 例2.解方程組 y 7 12 ax2 bx c(a 0)的因式時(shí)，可先求出 方程a

7、x2 bx c 0的兩個(gè)根冷雀，然后 再寫成 ax2 bx c a(x X1)(x X2). xy 例:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式: 4.配方法的妙用 所謂配方，就是把一個(gè)多項(xiàng)式經(jīng)過適 當(dāng)變形配成完全平方式。配方法除一元二 次方程求根公式推導(dǎo)這一典型應(yīng)用外，在 因式分解、化簡(jiǎn)二次根式、證明恒等式、 解方程、求代數(shù)式最值等問題中都有廣泛 應(yīng)用，是一種很重要、很基本的數(shù)學(xué)方法。 (1) x2 2x 1(2) 3x2 x 1 (3) 2x2 8x 3(4) 2 2 x 3xy 2 y 例1 . 分解因式x2 120 x 3456 例2.化簡(jiǎn),7 2.五 例3.解方程 42 x 15x10 x 240 例4

8、.求 4x2 y2 2y 4x 15 的最 小值 二、拓展性問題 1 .回答下列問題： (1) 若方程(m2 2)x2 1 0有一個(gè)根是 1,則m的的值是多少？ (2) 已知2和一1是方程 2x2 mx n 0的兩個(gè)根，求m和n的 值。 2 (3) 若方程3x 5x 2 0有一個(gè)根 2 是a,則6a 10a的值是多少 2 5.怎樣巧用韋達(dá)定理解“看錯(cuò)數(shù)” 問題 小紅和小明一起做作業(yè)，在解一道一 元二次方程時(shí)，小明在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了 常數(shù)項(xiàng)，因而得方程的兩個(gè)根是 8和2; (4) 已知方程ax bx c(a 0)的一 個(gè)根是1，那么a b c的值是多 少 2.解方程 2 2 2 (1) (3y

9、y) 3(3y y) 2 元、 元、 (2) (t2 t 1)(t2 t 2)4 3. 已知m n是二次方程 x2 1999x 70的兩個(gè)根，求 2 2 (m 1999m 6)(n2000n 8)的值。 4. 已知關(guān)于x方程 (a 2)x2 2(a 1) (a 1) 0 , a 為何 非負(fù)整數(shù)時(shí)，(1)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù) 根(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ (3) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 5. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式: (1) 2x2 4x 3( 2) 4x2 4x 1 6. 對(duì)于向上拋的物體，在沒有空氣 阻力的條件下，有這樣的關(guān)系: h vt 1 gt2 ,其中h是上升咼度，v是 初速，g是重力

10、加速度(為方便起見， 本題目g取10m/s2), t拋出后所經(jīng)歷的 時(shí)間,如果將一物體以v 25m/s的初 速度向上拋，物體何時(shí)處在離拋出點(diǎn) 20m高的地方 7. 某零售商購進(jìn)一批單價(jià)為16元的玩具, 銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤(rùn)， 商店決定提高銷售價(jià)格.經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)， 若按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣 360件;若按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每 月能賣210件,假定每月銷售件數(shù)為(y件) 是價(jià)格y (元/件)的一次函數(shù). (1) 試求y與x之間的關(guān)系式； (2) 在商品不積壓且不考慮其他因素 的條件下，問銷售價(jià)定為多少時(shí)，才能使 每月獲得最大利潤(rùn)每月的最大利潤(rùn)是多 少 8. 根與系數(shù)

11、的關(guān)系： ( 2012內(nèi)江市)若方程x2 px q 0的 兩根分另I是x* ,那么 x! x PM1X2 q ,請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論, 解決下列問題： 已知關(guān)于x的方程x2 mx n 6(n0), 求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分 別是已知方程兩根的倒數(shù) 已知a, b 滿 足 2 2 a 15a 50,b15b 5 0,求- -的 b a 值； 已知a,b,c滿足a b c 0,abc 16,求 正數(shù)c的最小值. (2012孝感)已知關(guān)于x的方程 2 x (m 3)x m 10 求證:無論m為何值時(shí)，原方程總有 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 若X1,X2是原方程的兩根，且 x x222 ,求m的值和此時(shí)方程的 兩根. 三、數(shù)學(xué)思考 小明有5張人民幣，面值合計(jì)20元 (1) 小明