【2019年整理】第二章極限習(xí)題及答案：數(shù)列極限

1、函數(shù)、數(shù)列以及極限的綜合題 例 已知函數(shù)y = f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線(xiàn).當(dāng)n 1( n= 0,1,2，) 時(shí)，該圖象是斜率為bn的線(xiàn)段(其中正常數(shù)b 1)，設(shè)數(shù)列xn由f (xj = n(n二1,2,)定 義.求： (1) 求為、x2和xn的表達(dá)式； (2) 求f (x)的表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域； (3) 證明：y二f (x)的圖像與y =x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于 1的交點(diǎn). 分析：本題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識(shí)，考查歸納、推 理和綜合的能力. (1)由斜率分式求出XX2，同樣由斜率公式求出關(guān)于 召的遞推式，然后求出xn ,( 2) 由點(diǎn)斜式求出心人段的f

2、 (x)的表達(dá)式，用極限的方法求出定義域.(3) y = f (x)與 y =x沒(méi)有交點(diǎn)，只要b 1時(shí)f (x) x，或0 ： b ：1時(shí)f (x) ： x恒成立，當(dāng)b 1，由于 f(X)- Xf (Xn) - Xn，只要證 f(Xn)-X. 0. 解：(1)依題意 f(0) =0，又由f(xj =1，當(dāng)0乞y乞1時(shí)，函數(shù)y二f(x)的圖象是 斜率為b0 =1的線(xiàn)段, 故由 f(X1)-f(0)=1 得 X1. 又由 f(X2)=2 , 當(dāng)1遼y乞2時(shí)，函數(shù)目二f(x)的圖象是斜率為b的線(xiàn)段，故由 f (x2) - f(X, )1 +,1 21 b，即 X2 - X1 得 x 1 - x2 -

3、 論bb 記x。=0.由函數(shù)y = f(x)的圖象中第n段線(xiàn)段的斜率為bnd，故得 5訃 Xn Xn/ 又 f (Xn) -n, f(Xn4)= n -1; 八皿 由此知數(shù)列Xn -乩為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公比為b n 因 b /，得 Xn = (Xk -Xn) Xn - b -1 1 n_1 7廠(chǎng) b -1 (2)當(dāng)0乞y乞1時(shí)，從(1)可知y =x，即當(dāng)0乞x乞1時(shí)，f (x)二x, 當(dāng)n y n 1時(shí)，即當(dāng)xxn 1時(shí)，由(1)可知 f(x) = n bn(x Xn)(Xn 沁 EXn 1,n =1,2,3,). 為求函數(shù)f(x)的定義域，須對(duì) Xn b) b1 (n二1,2,3，)進(jìn)

4、行討論. 當(dāng)b 1時(shí), lim xn = lim n .n ): 叫) n -1 b -1 b b1 k 4 0 : b ：1時(shí)，n-:，Xn也趨向于無(wú)窮大. 綜上，當(dāng)b .1時(shí)，y = f(x)的定義域?yàn)?占 當(dāng) 0 :：: b ：1 時(shí),y 二 f (X)的定義域?yàn)?,：). K (3)證法1首先證明當(dāng)b ： 1,1 ： x 時(shí)，恒有f(x)x成立. b1 K 對(duì)任意的X (1,)，存在Xn使Xn ： X乞Xn 1，此時(shí)有 b-1 f(X)- f(Xn) =bn(X -Xn)X-Xn( n_ 1), f (x) -X f (Xn) - Xn. 1 1 又 f (Xn)二 n 1 亠亠 亠

5、n 4 =Xn， b b f(Xn)-Xn 0, f(X)-X f (Xn) - Xn 0, 即有f (x) X成立. 其次，當(dāng)b ：1，仿上述證明，可知當(dāng)x 1時(shí)，恒有f(x) ：x成立. 故函數(shù)f (x)的圖象與y二x的圖象沒(méi)有橫會(huì)標(biāo)大于 1的交點(diǎn). K 證法2首先證明當(dāng)b 1,1 ： x 時(shí)，恒有f(x) .x成立. b-1 用數(shù)學(xué)歸納法證明： (i )由(1 )知當(dāng) n =1 時(shí)，在(1,x2上，y 二 f (x) = 1 b(x - 1),所以 f(x) -x =(x -1)(b -1)0 成立. (ii)假設(shè)n=k時(shí)在(xXk上恒有f (x) x成立. 可得 f (xkk 1 Xk

6、 1， 在(Xk 1，xk 2上，f (x) - k 1 bk 1(X =Xk 1), 所以 f (x) _x = k 十1+bk41(x_xk也)_x -(b -1)(x -兀.J (k 1 -兀.J 0也成立. K 由(i)與(i)知，對(duì)所有自然數(shù)n在(Xn,Xn上都即1 ： X -時(shí)，恒有f (X) X. b-1 其次，當(dāng)b : 1，仿上述證明，可知當(dāng) x : 1時(shí)，恒有f (x) ： x成立. 說(shuō)明：本題不僅考查直線(xiàn)方程、數(shù)列、函數(shù)、不等式知識(shí)，還著重考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué) 知識(shí)、思想方法解決問(wèn)題的能力.解答本題首先必須具備較強(qiáng)的閱讀理解能力，圖象想像能 力，本題的(2)用求極限的方法求定義

7、域，反映了高考命題“不拘泥于大綱”的原則，不 過(guò)從實(shí)踐上看，與現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際有些超前，本題的難度系數(shù)為0.02，三人平均不足1 分，創(chuàng)了近年高考得分低的記錄. 命題人設(shè)計(jì)試卷時(shí)為使考生不放棄難題，將本題放在倒數(shù)第二題的位置.本題得分低一 方面是試題“超前”，另一方面反映考生能力差，現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)備考主要是“大運(yùn)用量”的 模仿訓(xùn)練，創(chuàng)新精神提倡不夠，一遇情境新穎的問(wèn)題學(xué)生就毫無(wú)辦法.以后堅(jiān)持考不等式證 明題的方向不會(huì)改變，試題難度會(huì)適度降低. 判斷數(shù)列極限命題的真假 例判斷下列命題的真假: (1) 數(shù)列 0,1,0,1，J (T),的極限是0和1. 2 (2) 數(shù)列 (3) 數(shù)列 11 1 1

8、1,一 ，2，一 3,，(一1)廠(chǎng)* n：廠(chǎng)的極限是0. 2 2 2 2 111 sin 1,sin , sin , ,sin ， 的極限不存在. 23n 1 1 1 （4）數(shù)列1, 2，10000的極限是0. 3 33 分析：判斷一個(gè)數(shù)列否存在極限，極限是多少，主要依據(jù)極限的定義，即數(shù)列的變化 趨勢(shì). 解：（1） 一個(gè)數(shù)列的極限如果存在，它的極限是唯一的，不能是兩個(gè)或更多個(gè)，是假命 題. （2）隨著n無(wú)限增大，數(shù)列 2nJ 的項(xiàng)無(wú)限趨近于 0,因此它的極限是 給出4與Sn的關(guān)系式，可以利用Sh4an( n-2)，設(shè)法求出a.的表達(dá)式. 是真命題. （3） 隨著n無(wú)限增大，數(shù)列彳丄的項(xiàng)無(wú)限趨近

9、于0,因此數(shù)列$sin？無(wú)限趨近于0, 是假命題. （4）有窮數(shù)列無(wú)極限，是假命題. 說(shuō)明：（3）中容易認(rèn)為極限不存在. （4）容易錯(cuò)誤認(rèn)為是真命題，盡管數(shù)列 隨著n的增大而逐漸趨近于 0,但由于 數(shù)列只有10001項(xiàng)，是有窮數(shù)列，不存在極限. 根據(jù)數(shù)列的極限確定參數(shù)的范圍 例 八1_aY 右 lim ! 2a 丿 =0，則a的取值范圍是（） A. a =1 b. a 1 C. -Uac1 D. 1 a 一或 a1 3 3 3 分析 :由 lim an = 0 （a為常數(shù)） ，知la v1，所以由已知可得 1-a 1，解這個(gè)不等 njpC 2a 式就可求得a的取值范圍. ：1 , 所以1a 2

10、a 兩邊平方，得：（1 -a）2 : 4a2, 3a2 2a-1 0,(3a -1)(a 1) 0, 1 所以a ： -1或a 1. 3 答案 B 1 _a 說(shuō)明：解題過(guò)程容易誤認(rèn)為只有0，得a = 1，錯(cuò)選A 解決含有涉及到求字母 2a 取值范圍的問(wèn)題時(shí)，常常要利用集合的包含關(guān)系，充要條件來(lái)考慮問(wèn)題. 分析數(shù)列求極限 已知數(shù)列1.9, 1.99, 1.999，1.9999， (1) 寫(xiě)出它的通項(xiàng)an ； (2) 計(jì)算 I an - 2 I ； (3) (4) (5) 第幾項(xiàng)以后所有的項(xiàng)與 第幾項(xiàng)以后所有的項(xiàng)與 指出這個(gè)數(shù)列的極限. 2的差的絕對(duì)值小于 0.01? 2的差的絕對(duì)值小于 0.00

11、1 ? 分析：觀察數(shù)列的特點(diǎn)，可以通過(guò)特殊數(shù)歸納總結(jié)規(guī)律，簡(jiǎn)化數(shù)列通項(xiàng)的一般形式，再 求極限. 解：(1)可將數(shù)列改寫(xiě)為 n個(gè) . (2-0.1), (2-0.01) , (2-0.001),，(20.00,01 ), 1 于是此數(shù)列的通項(xiàng)an =2 - n . 10 11 (2) 丨an -2 冃(2 n) -21 n . 1010 1 (3) 令 |an 一2卜：0.01 即-:：:0.01，解得 n 2 10 故這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)以后的所有項(xiàng)與 2的差的絕對(duì)值均小于0.01. 1 (4) 令 |an -2卜：0.001 即 n 0.001，解得 n 3 10 故這個(gè)數(shù)列的第3項(xiàng)以后的所有項(xiàng)

12、與 2的差的絕對(duì)值均小于0.001. 1 nim：(210n)=2 可以通過(guò)特殊數(shù)幫助理解無(wú)限接近的意義，從而幫助求解極限. (5) 說(shuō)明: 求數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和的極限 數(shù)列：aj的前n項(xiàng)和記為Sn ,已知an =5Sn -3( nN )，求 l i m1a?n J 的值. n 分析：為求a1 a - a2n當(dāng)n； 的極限，應(yīng)先求出an的表達(dá)式.從已知條件中 ”,3 解：由 ai = S 及 ai = 5Sj - 3 = 5a - 3，可得 ai - 4 又 n _ 2 時(shí)，an = Sn Sn j，貝V an = 5Sn 3 =; an 丄一5Sn一3 、/i 兩式相減，得 an = anj =5

13、an,anand 4 曰 是， QA 數(shù)列：a是以一為首項(xiàng)，公比為-一的無(wú)窮等比數(shù)列. 4 進(jìn)而可得，數(shù)列a!，a3,a5, ,a2n“,是以a-為首項(xiàng)，公比為 4 無(wú)窮等比數(shù)列，于是可求出極限. 3 L i2 i lim (ai a3a?n J 二 n-；i 丄 i5 i6 說(shuō)明：這同i999年全國(guó)高考文史類(lèi)試題. 對(duì)于這類(lèi)求極限的題目，必須先用數(shù)列的性 質(zhì)求出an的通項(xiàng)公式，或確定數(shù)列的特征再求極限由于所求數(shù)列是一個(gè)公式 窮等比數(shù)列，所以在解題時(shí)，可以不必再求極限，而直接代入無(wú)窮等比數(shù)列求和的公式 ai 等比數(shù)列和的極限 q 0 ),且ana是公比為q ( q 0 ) i 的等比數(shù)列.設(shè)bn=a2n4 a2n( n =i,2，)，求bn與lim，其中Sn二bib2_bn FSn 解：因?yàn)?an ian 2_ an 2 anan ian =q， 所以乩 bn a2n ia2n a2n -4a2n a2nqa2nq a2n 4a2n i =0 ； d =i= 0,所以bn是首項(xiàng)為i + r，公比為q的等比數(shù)列，從而bn =(i * r)qn_l 當(dāng)q =i時(shí)，Sn = n(i r) , lim = lim nTcsn1( i+r) 當(dāng) 0 : q 1 時(shí), Sn，r)(_qn)，lim 丄=limn i -qn: Snnr (i r)(i -q ) i -q i