解直角三角形

1、 解直角三角形【問題探索】問題：已知平頂屋面的寬度 l 和坡頂?shù)脑O(shè)計(jì)高度 h（如圖）。你能求出斜面鋼條的長度和傾角 嗎？變：已知平頂屋面的寬度 l 和坡頂?shù)脑O(shè)計(jì)傾角 （如圖）。你能求出斜面鋼條的長度和設(shè)計(jì)高度 h 嗎？【新課引入】在直角三角形中，由已知的一些邊、角，求出另一些邊、角的過程，叫解直角三角形.在三角形中共有幾個(gè)元素？直角三角形 abc 中，c=90，a、b、c、a、b 這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？（1）三邊之間關(guān)系：a2 +b2 =c2 （勾股定理）.（2）銳角之間關(guān)系a+b=90（3）邊角之間關(guān)系：a 的對(duì)邊正弦函數(shù)：sin余弦函數(shù)：cos正切函數(shù)： tana =a =a =斜

2、邊a 的鄰邊斜邊a 的對(duì)邊a 的鄰邊【精選例題】（一）求直角三角形中的邊和角解直角三角形，只有下面兩種情況：（1）已知兩條邊；（2）已知一條邊和一個(gè)銳角（兩個(gè)已知元素中至少有一條邊）例 1 在 rtabc 中，c=90，a、b、c 分別是a、b、c 的對(duì)邊。解下列直角三角形：（1）已知 a=3，b=3，（2）已知 c=8，b=4，（3）已知 c=8，a=45。解析：2（1）已知兩直角邊的長，根據(jù)勾股定理可求斜邊c=3 2 ，由三角函數(shù)公式可求 sina=，2推出 a=45，根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”可求 b=45；（2）已知斜邊和一直角邊，由勾股定理求得另一直角邊a=4 3 ，通過三角函數(shù)公

3、式求角度3sina=，可知 a=60，根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”得 b=30； 2（3）已知斜邊和一銳角，根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”得 b=45，由三角函數(shù)公式可知a=csin45=42 ， = cos45=4 2 。b c前思后想：第 1 頁 共 10 頁 已知一銳角求另一銳角“直角三角形兩銳角互余”；已知直角三角形的兩邊求第三邊勾股定理；已知一邊和一銳角三角函數(shù)公式三角函數(shù)公式可變形為：a=csina，b=ccosa，a=btana，abac=，c=，b=sin acos atan a例 2 在 rtdabc 中， = 90 ，d= 6 ， 是上一accac1點(diǎn)，若 tan，=10，試

4、求。addbc =ab2解析：先由勾股定理求得 bc=出 ad=acdc=2.前思后想：=8，再根據(jù)三角函數(shù)可求 dc=bctandbc=4，即可求2ab2- ac本題用方程求解也可，解題過程如下：在 rt abc 中，由勾股定理得：bc=8，ab - acd221 6 -dcbcx設(shè) ad=x，則在 rt dbc 中，由三角函數(shù)可知：tan=，=。ddbc28解得：x=2，即：ad=2。由方程求解時(shí)，列方程的依據(jù)是等量關(guān)系三角函數(shù)公式。牛刀小試：1已知直角三角形a msin 40中，斜邊的長為 ，m，則直角邊的長是（） = 40babcabbcmcos 40m tan 40bcd mtan

5、40rtabc = 90中， cac= 15 ，則a =（2在，= 5 ，）bca90b60c45d303在abc 中，c 為直角，a、b、c 所對(duì)的邊分別為 a、b、c，且 a= 3 ，b=3 ，解這個(gè)三角形4如圖，正方形abcd中， 是邊上一點(diǎn)，以 為圓心、e ecebc為半徑的半圓與以 為圓心， 為半徑的圓弧外切，則sinabaeab的值為。（寫明理由）答案：1b；2d；第 2 頁 共 10 頁 3在 rtabc 中，由勾股定理得：c=a 1=23a + b22sina= = ， a=30。 b=60。c 24設(shè)兩圓半徑分別為 r 和 r，在 rtabe 中，由勾股定理可知：r - r

6、3r 3(r - r) + r = ( r + r)， r = 4r。 sin eab = = = 。222r + r 5r 5（二）構(gòu)造直角三角形求邊角例 3 如圖，廠房屋頂人字架（等腰三角形）的跨度為10 米，a=26，求中柱 bc（c 為底邊中點(diǎn)）和上弦 ab 的長。（精確到 0.01 米，tan26=0.4877,cos26=0.8988）解析：先由等腰三角形的性質(zhì)可知中柱 bc 垂直平分橫梁（跨度），即可把等腰三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形；再運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形abc，即可。解答： 人字架是等腰三角形，bc 是中柱，bc 垂直平分橫梁即： dabc是直角三角形，ac=5 ma

7、= 26bcacacabtana=，cosa=即：bc=actana=5 0.4877 2.44ac5ab=5.56cos a 0.8988答：中柱 bc 的長約為 2.44 米，上弦 ab 的長約為 5.56 米。前思后想：此題先要理解“中柱”的含義底邊上的中線，其次能立即想到等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)找出直角三角形，最后才能運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形。例 4 已知abc 中，c=90，ad 是角平分線，且 bd：cd=4：3，求 sinb 的值。解析：山窮水盡疑無路：首先想到“b 是 rtabc 的一個(gè)銳角，acsinb=”，再苦思冥想 ac、ab、bc 三邊之間的數(shù)量關(guān)系，ab總是不得其

8、解?；仡^是岸：前面思路是由于審題時(shí)急功近利，過多的關(guān)注問題，沒有仔細(xì)分析題目的條件，把自己帶入了死胡同。解題不能“狹路相逢勇者勝”，應(yīng)該及早醒悟，回頭是岸！柳暗花明又一村：ad 是角平分線，哪個(gè)角的平分線？由它能想到哪些結(jié)論？（角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”），d 點(diǎn)到 ac 邊得距離是什么？與它相等的 d點(diǎn)到 ab 的距離呢？圖中又出現(xiàn)哪些直角三角形？b 是哪些直角三角形的銳角？我們能推出該直角三角形哪些邊的數(shù)量關(guān)系？第 3 頁 共 10 頁 正確解答：過 d 點(diǎn)作 de ab，垂足為 e，ad 是bac 的角平分線，且c=90de=dcbd：cd=4：3de dc 3在

9、 rtbde 中，sinb=bd bd 4前思后想：本題是根據(jù)角平分線的性質(zhì)來構(gòu)造新的直角三角形，求某個(gè)銳角的三角函數(shù)的。雖然題目給了我們一個(gè)直角三角形，但是它不能解決問題，此時(shí)就要及時(shí)回到已知條件，逐個(gè)條件進(jìn)行推導(dǎo)，尋找新思路。例 5 如圖，ab 是半圓的直徑，弦 ad，bc 相交于 p，已知dpb60，d 是bc的中點(diǎn)，則 tanadc 等于（）13（a）2（b）2（c） 3（d）3解析：錯(cuò)誤思路：按照部分學(xué)生的解題思路，首先想到的就是在圖形中找adc 所在的直角三角形，繼而想到過 c 點(diǎn)作 ad 得垂線，但是又不符合垂徑定理，結(jié)果發(fā)現(xiàn)無法進(jìn)行下去。正確思路：從已知條件出發(fā)，每個(gè)條件逐一推

10、導(dǎo)，就能找到解決問題的方法。解答：連接 bd，ab 是半圓的直徑adb=90dpb60pbd=30d 是bc的中點(diǎn)bd=cda=c=pbd=30abd=60adc=abc=abdpbd=303tanadc=tan30=3前思后想：求一個(gè)角的三角函數(shù)值，尋找直角三角形是關(guān)鍵，但是也不是千篇一律，方法如下：沒有直角三角形時(shí)，就要根據(jù)題目條件構(gòu)造直角三角形；根據(jù)條件進(jìn)行等角轉(zhuǎn)移，求相等角的三角函數(shù)值；根據(jù)條件求出該角的度數(shù)，再由特殊角的三角函數(shù)值求解。第 4 頁 共 10 頁 例 6 小剛有一塊含有 30角的直角三角板，他想測(cè)量其短直角邊的長度，而手中另外只有一個(gè)量角器，于是他采用了如下的辦法，并獲

11、得了相關(guān)數(shù)據(jù)：第一步，他先用三角板標(biāo)有刻度的一邊測(cè)出量角器的直徑ab的長度為 9cm；第二步，將三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，并量得boc 為 80（o 為 ab 的中點(diǎn)）請(qǐng)你根據(jù)小剛測(cè)得的數(shù)據(jù)，求出三角板的短直角邊 ac 的長（參考數(shù)據(jù)：sin800.98，cos800.17，tan805.67；sin400.64，cos400.77，tan400.84，結(jié)果精確到 0.1cm）解析：審題回答問題：d abc 是什么三角形？bac 多少度？在 abc 中我們知道哪幾個(gè)d因素？要咱們求什么因素？解答： acb 是直角三角板的直角, d abc 為直角三角形.1由題意可知：在 rt abc

12、 中，ab=9，bac= boc=40.d2accosbac=, ac=ab cosbac=9 0.77 6.9 ab答：直角三角板的短直角邊長為 6.9cm。前思后想：本題考察了“同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”、運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形兩個(gè)方面的知識(shí)，它是把問題放在具體的測(cè)量操作中進(jìn)行考察的。解決此題的關(guān)鍵是讀題，找到所求線段所在的直角三角形，從操作步驟中找出已知邊的長度和已知角的度數(shù)。牛刀小試：1等腰三角形的周長為2 + 3，腰長為 1，則底角等于_；2如圖，1 的正切值等于_；3如圖，兩條寬度都是 1 的紙條交叉疊在一起，且它們的夾角為a ，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面

13、積是（）11a、b、sinacosac、sin ad、1a - ab - b = 0，4在 rtabc 中，c90，a、b 的對(duì)邊分別是a 、b ，且滿足22則 tana 等于（a、1 b、）1+ 51- 51 5c、d、2225如圖，abc 中，ab=ac，a=45，ac 的垂直平分線分別交 ab，第 5 頁 共 10 頁 ac 于 d，e 兩點(diǎn)，連接 cd。如果 ad=1，那么 tanbcd=_。6在正方形abcd 中，n 是 dc 的中點(diǎn)，m 是 ad 上異于 d 的點(diǎn)，且nmbmbc，則 tanabm_。答案：113130； 2. ； 3. a； 4. b； 5. 2 1； 6.-3【

14、課后作業(yè)】1在下列直角三角形中不能求解的是（ ）a、已知一直角邊一銳角c、已知兩邊b、已知一斜邊一銳角d、已知兩角2. 已知：在 rtabc 中，c=90，b=2 3 ，c=4。求：a、b、a3解直角三角形在 rtabc 中，c=90a= 3 ，b=3b=5，c=5 2a=6，a=30b=30,c=5 34如圖，兩建筑物的水平距離 bc 為 24 米，從點(diǎn) a 測(cè)得點(diǎn) d 的俯角a30測(cè)得點(diǎn) c 的俯角 b 60，求 ab 和 cd 兩座建筑物的高（結(jié)果保留根號(hào)）5abc 內(nèi)接于圓 o，若圓的半徑是 2，ab=3，求 sinc4 26已知abc 中 ，ab7平行四邊形 abcd 兩鄰邊長分別為

15、 4cm 和 6cm，它們夾角 60，則較短的對(duì)角線的cm。，b45，c60，ahbc 于 h，則 ch長8等腰三角形底邊長 10cm，周長為 36cm，則一底角的正切值為.9如圖，在abc 中，c=90，ac=8cm，ab 的垂直平分線 mn 交bc3nac 于 d，連結(jié) bd，若 cosbdc = ，則 bc 的長是（）5aa、4cmb、6cmc、8cmd、10cmdm10如圖，abc 是等腰三角形，acb=90，過 bc 的中點(diǎn) d作 deab，垂足為 e，連結(jié) ce，求 sinace 的值。11在正方形 abcd，點(diǎn) e 在 cd 邊上，且 ce : de=1 : 3，求aeb 的正弦

16、值。第 6 頁 共 10 頁 12在一堂學(xué)習(xí)解直角三角形課時(shí)，劉老師準(zhǔn)備了道具：兩根定在一起的木條， 一根 ab長 20 厘米，另一根 ac 長 30 厘米。（如圖所示）劉老師進(jìn)行了如下提問：（1）、（2）、（3）直接填空，（4）寫過程）（1）當(dāng)兩根木條垂直時(shí)， abc 的面積是（2）當(dāng)兩根木條成 30夾角時(shí)， abc 的面積是（3）當(dāng)兩根木條成夾角為 時(shí)（ 是銳角）， abc 的面積是（4）同學(xué)們認(rèn)真思考兩根木條成 150夾角時(shí)， abc 的面積是多少？13ad是abc的高，ad在abc的外部，ad=bd=1，dc= ，則bac=（a15 d.15或105b.60 c.10514在abc中，

17、c=90，點(diǎn)d在ac上，且ad=bd，bc=3，dc=4，bdc=，則tan =（）1ab.c.3d.15abc中，c=90，bac=30，ad是中線，則tandac=（）3ab.c.3d.616如圖，abc中，cd是中線，且cdca，cd=3，tanbcd= ，求abc各邊的長。17.如圖所示，等腰梯形 abcd，adbc，dbc=45，翻折梯形abcd，使點(diǎn) b 重合于點(diǎn) d，折痕分別交邊 ab、bc 于點(diǎn) f、e，若 ad=2，bc=8求：（1）be 的長；（2）coe 的正切值18已知：如圖，在梯形 abcd 中，adbc，abc=90，c=45，becd 于點(diǎn) e，ad=1，cd=2

18、 2 求：be 的長第 7 頁 共 10 頁 19如圖，已知bec 是等邊三角形，aeb=dec=90ae=de，ac、bd 的交點(diǎn)為 o（1）求證：aecdeb；（2）若abc=dcb=90，ab=2cm，求圖中陰影部分的面積答案：1d；2在 rtabc 中，c=90，b=2 3 ，c=4， 由勾股定理可知：c-b2 =2 。=a23bcsinb=，b = 60 ，a = 30 。23在 rtabc 中，c=90，（1） b=3，a= 3 ， c= 2 3 ，2+ba21asina= = ， a=30，b=60。2c（2） b=5，c=5 2 ， a=5。-b2c2a2sina= =c， a

19、=45，b=45。2（3） a=6，a=30， b=60。13aabsina= = ，tana=， c=12，b=6 3 。=23c（4） c=5 3 ，b=30， a=60。13515bacsinb= = ，cosb=， b=c sinb= 3 。a=ccosb= 。=2222c4延長 cd，交水平線于 e 點(diǎn)。由題意可知：deaeceaet a na =， tan b =，de ae=tan30 = 8 3 ，ce aetan 60 = 24 3 。= a b = c e=2 4 3，cd = ce - de =16 3 。答：ab、cd 兩座建筑物的高度分別為24 3 、16 35連接過 a、b 兩點(diǎn)的半徑，過 o 點(diǎn)作 ab 得垂線段 od，3根據(jù)垂徑定理可知：ad=2由“同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”，可知：34adoasinc=sin aod=41256； 7. 2 7 ； 8.； 9. a；33第 8 頁 共 10 頁 10過 e 點(diǎn)作 ef bcacb=90ef/acace=cefabc 是等腰三角形，且 d 是 bc 中點(diǎn)，設(shè) cd=bd=x，則 ac=2x，3212cf=，ef=xx3