畢業(yè)論文數(shù)學歸納法的應用20005

1、淺談數(shù)學歸納法的應用淺談數(shù)學歸納法的應用 摘摘 要要 數(shù)學歸納法是一種非常重要的數(shù)學方法，它不僅對我們中學數(shù)學的學習有著很 大的幫助,而且在高等數(shù)學的學習及研究中也是一種重要的方法，數(shù)學歸納法對公式 的正確性檢驗中也有著很大的應用。數(shù)學歸納法是將無限化為有限的橋梁,主要探討 關于自然數(shù)集的有關命題或者恒等式，數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的整除問題，恒等 式證明，公理證明,排列和組合,幾何領域等都有著廣泛的應用,這里我們主要結合初 中教材來詳細列舉數(shù)學歸納法在中學數(shù)學以及在高等數(shù)學中的應用。要準確的運用 數(shù)學歸納法，首先必須準確的理解其原理和意義以及熟練地掌握解題步驟，而在三 個步驟中運用歸納假設尤為

2、關鍵,運用歸納假設推出猜想最為重要。最后我們在通過 用數(shù)學歸納法證明一些數(shù)學問題的過程中，可以更加深刻理解和掌握“歸納猜 想證明”這一探索發(fā)現(xiàn)的思維方法。 關鍵詞：歸納法，數(shù)學歸納法，證明 the application of mathematical induction abstract mathematical induction is a very important mathematical method, it not only of the middle school mathematics learning has the very big help to us, but in

3、the higher mathematics study and research is also a kind of important method, mathematical induction test the correctness of the formulas is also has a lot of applications. mathematical induction is a bridge to infinite into a limited, mainly discusses about the relevant propositions or identities o

4、f natural number set mathematical induction method in middle school mathematics problem of divisible identities are proved, axiom proves that the permutation and combination, geometric field, has a wide range of applications, here we mainly combined with junior high school textbooks to detailed math

5、ematical induction method in middle school mathematics and application in advanced mathematics. to use mathematical induction accurate, it must first be accurately understand its principle and the significance as well as expertly grasp the problem solving steps, and in three steps, it is important t

6、o use inductive hypothesis, using the induction hypothesis launch a guess that the most important. finally we through use mathematical induction to prove some math problems in the process of, can be more profound understanding and mastering induction - guess - proof the discovery of thinking method.

7、 key words: induction method, mathematical induction, proof 目 錄 1 緒論.1 1.1 引言 .1 1.2 數(shù)學歸納法的來源 .1 2 數(shù)學歸納法的概述.3 2.1 常用數(shù)學證明方法 .3 2.1.1 演繹法.3 2.1.2 歸納法.3 2.2 數(shù)學歸納法基本原理及其其它形式 .3 2.2.1 數(shù)學歸納法概念.3 2.2.2 數(shù)學歸納法的基本原理.4 2.2.3 數(shù)學歸納法的其它形式.5 3 數(shù)學歸納法的步驟.6 3.1 數(shù)學歸納法的步驟 .6 3.2 三個步驟缺一不可 .7 4 數(shù)學歸納法的典型應用.9 4.1 證明恒等式.9 4

8、2 證明不等式 .10 43 證明整除問題 .13 4.4 證明幾何問題 .13 4.5 行列式與矩陣的證明 .14 5 運用數(shù)學歸納法時容易出現(xiàn)的錯誤分析 .17 5.1 忽略了歸納奠定基礎的必要性 .17 5.3 在第二步證明中沒有利用歸納假設 .18 6 應用數(shù)學歸納法時的一些技巧.19 6.1 靈活選取“起點” .19 6.2 恰當選取“跨度” .20 6.3 選取合適的假設方式 .20 6.3.1 以“假設時成立”代替“假設時成立” .20nknk= 6.3.2 以“假設，時成立”代替“假設時成立”.21nk=1nk=+nk= 7 數(shù)學歸納法的地位和作用.23 致 謝.24 參考文獻

9、.25 1 緒論 在高中數(shù)學教科書中，我們已經(jīng)學習過數(shù)學歸納法，在高中階段，學生主要是 通過了解數(shù)學歸納法的證明三步驟來模仿證明其他表達式的成立，學生也往往滿足 于“時命題成立，那么時命題也成立”的證明方法。數(shù)學歸納法是一種重要k1k 且獨特的證明方法,對與自然數(shù)有關的命題證明是可行有效的，它使學生了解一種n “化無限為有限”的辯證思維方法，而且它又不是那么直觀易懂的，學生在學習數(shù) 學歸納法的過程中，總會產(chǎn)生一個這樣的疑問，在用數(shù)學歸納法證明表達式中，證 明三步驟是不是真的完整呢，真僅是純粹的假設,一旦不真,用它去推真，豈不 )(k p 是“無稽之談” ，即使推出真能保證真嗎？如果讓學生帶著這

10、種疑問去學 )1( k p )(n p 習數(shù)學歸納法肯定會影響他們的學習情感的。當然老師會說這是非常完整的,那么他 們又是根據(jù)什么原理來說明自己是正確的呢。我想如果能夠?qū)W生們講清楚數(shù)學歸 納法的本質(zhì)和由來，可以使學生更好的理解數(shù)學歸納法和它的運用，在用數(shù)學歸納 法證明恒等式時，當然我們會知道這個恒等式肯定是正確的，那么它又是如何被前 人計算出來的呢，數(shù)學歸納法只是證明這個等式的正確性而不能求解，可見數(shù)學歸 納法也有著自己的限制和適用范圍，那么在這個等式的成立過程中數(shù)學歸納法到底 扮演一個什么樣的角色呢。要解決這些問題都要求我們對數(shù)學歸納法有著深刻的理 解。 1.1 引言 數(shù)學歸納法是用來證明

11、某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法，它是一 個遞推的數(shù)學論證方法。論證的第一步是證明命題在(或)時成立，這是遞推1n 0 n 的基礎；第二步是假設在時命題成立，再證明時命題也成立，這是無kn 1 kn 限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使 命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這 兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或且）結論都正確” 。由這兩步可 0 nn nn 以看出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。 數(shù)學歸納法在數(shù)學解題中有著廣泛的應用，在數(shù)學教學中常用在證明下列命題： 與自然數(shù)有關的恒等式、不等式、數(shù)列、

12、幾何、整除性、計數(shù)、矩陣等等。n 1.2 數(shù)學歸納法的來源 數(shù)學歸納法的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個較長的歷史時期，數(shù)學家畢達哥拉斯利用點子數(shù) 對級數(shù)求和問題進行探討他確信無疑地得出： 22 ) 12(531nn 畢達哥拉斯可能以為這就是一種證明，他的幾乎所有的有關點子數(shù)的命題，都 是由有限個特殊情況而作出一般的結論，但這種推理只是簡單的枚舉而沒有碰到矛 盾事實的歸納結果，因此是不完全的歸納推。 盡管如此，他仍為數(shù)學歸納法的確定 奠定了一定的基礎。 而對于數(shù)學歸納法的應用，李文林翻譯的美國數(shù)學史數(shù)學史通論 （第二版） 中，j.z.katz 教授表明，十四世紀法國數(shù)學家、物理學家和工程師師萊文.本.熱爾 森（

13、levi ben gerson,1288-1344）在其 1321 年出版的代表作計算技術中也已 經(jīng)“本質(zhì)上使用了數(shù)學歸納法” ，更有資料表明，在中世紀伊斯蘭數(shù)學中就已經(jīng)較清 楚、廣泛地使用了數(shù)學歸納法及其原理2。 但真正比較明確使用數(shù)學歸納法的是意大利數(shù)學家、物理天文學家和工程師莫 洛里科斯（f. maurolycus, 1494- 1575） ，真正明確數(shù)學歸納法證明兩步的應該還 是 17 世紀的數(shù)學家帕斯卡( b. pascal, 1623 1662)，他最早將數(shù)學歸納法的證明 用形式的兩步明確下來。 “數(shù)學歸納法”名稱則是由英國數(shù)學家創(chuàng)立, 并由英國教科 書作者普遍采用而推廣4。 2

14、數(shù)學歸納法的概述 2.1 常用數(shù)學證明方法 數(shù)學是一門非常注重學習方法的學科,而數(shù)學的證明更是將這些方法體現(xiàn)的淋漓 盡致，數(shù)學中研究問題的方法一般有以下分類： 2.1.1 演繹法 演繹法是從一般性原理得出特殊結論的推理方法，即從一般到特殊的推理方法。 演繹法的特點是它從真實的前提一定能推出真實的結論。因此，演繹法是一種必然 的推理，它是一種嚴格的邏輯證明方法。 2.1.2 歸納法 歸納法是由特殊事例得出一般結論的歸納推理方法，通常叫做歸納推理。根據(jù) 推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部，歸納法又可分為不完全歸納 法和完全歸納法2。 不完全歸納法是根據(jù)事物的部分（而不是全部）特例得出一

15、般結論的推理方法。 不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方 法但是，不完全歸納法是研究數(shù)學的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的一種重要手段。 在問題探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考察一些特例，通過對這些特例的不完 全歸納形成猜想，然后再試圖去證明或否定這種猜想。因而學會用不完全歸納法對 問題進行探索，對提高數(shù)學能力十分重要。不完全歸納法又可分為枚舉歸納法和因 果歸納法兩類。枚舉歸納法是以某個對象的多次重復作為判斷根據(jù)的歸納方法；因 果歸納法歸納法是把一類事物中部分對象的因果關系作為判斷的前提而做出一般性 猜想的方法2。 完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊

16、情況后得出一般結論的 推理方法，又叫做枚舉法。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠 的。通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法。 2 2.2 數(shù)學歸納法基本原理及其其它形式 2.2.1 數(shù)學歸納法概念 數(shù)學歸納法概念: 數(shù)學歸納法是數(shù)學上證明與正整數(shù)有關的命題的一種特殊n 方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關的數(shù)學問題。 2.2.2 數(shù)學歸納法的基本原理 在了解數(shù)學歸納法的基本原理前，我們不妨先來回想一下小時候?qū)φ麛?shù)的認 識過程，首先，父母叫我們數(shù) ,后來數(shù),有必有 ，每一個正整數(shù)后面都有一個1223 正整數(shù)，于是我們說：會數(shù)數(shù)了。事實上，數(shù)學歸納法正是基于這樣一個簡單原理

17、。 數(shù)學歸納法來源于皮亞諾自然公理，自然數(shù)有以下性質(zhì)： (1) 是自然數(shù)1 (2)每一個確定的自然數(shù),都有一個確定的隨從，也是自然數(shù)a a a (3) 非隨從，即1 1a (4)一個數(shù)只能是某一個數(shù)的隨從，或者根本不是隨從，即由 ba 一定能推得 ba (5)任意一個自然數(shù)的集合，如果包含 ，并且假設包含，也一定包含的隨1aa 從,那么這個集合包含所有的自然數(shù)。 a 后來因為把也作為自然數(shù)，所以公理中的 要換成。010 其中的性質(zhì)(5)是數(shù)學歸納法的根據(jù)，有了這一原理，就有了數(shù)學歸納法： 設是與正整數(shù)有關的數(shù)學命題，如果： (1)命題當時正確，即正確kn 1 kn (2)在假設正確的前提下，可

18、以證明命題也正確，那么命題對任意正整數(shù)都是正 確的。 數(shù)學歸納法的正確性驗證是根據(jù)數(shù)學歸納法的原理，能否完成對與自然數(shù)有關 命題的無限次論證，即數(shù)學歸納法是否可靠，下面我將結合“正整數(shù)最小原理” ，即 “任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)”來驗證數(shù)學歸納法是否正確。 命題命題 1 1：任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)。 證明：在這集合里任意取一個數(shù),大于的不必討論了，我們需要討論的是那nn 些不大于 n 的自然數(shù)里一定有一個最小的數(shù)。 應用歸納法，如果,它本身就是自然數(shù)里的最小的數(shù)，如果這集合里沒有1n 小于的自然數(shù)存在，那么就是最小的，也不必討論了，如果有一個,那么由數(shù)學nn 歸納法的假設知道

19、集合里不大于的自然數(shù)一定有一個最小的數(shù)存在，這個數(shù)也就m 是原集合里最小的數(shù)，即得證。 反過來，也可以用這個性質(zhì)來推出數(shù)學歸納法。 假設對于某些自然數(shù)是不正確的，那么，一定有一個最小的自然數(shù)使這個kn 命題不正確，也就是，當?shù)臅r候，命題正確，而當?shù)臅r候，這個命題1 knkn 也不正確，這與歸納法的假定是矛盾的。 也許從理論上來看，我們有可能還不是很懂得數(shù)學歸納法原理的正確性，我們 可以從我們生活上的例子比較直觀的理解它。 例例 2.12.1 從袋子里摸球問題 如果袋子里的東西是有限的，總可以把它摸完而得出一個確定的結論，但是， 當東西是無窮的，怎么辦？如果有這樣一個論證：“當你這一次摸出紅玻璃

20、球的時 候，下一次摸出的，也一定是紅玻璃球” ，那么，在這樣的保證下，只要第一次摸出 的確定是紅玻璃球，就可以不再檢查地作出正確的結論：“袋里的東西，全部是紅 玻璃球” 。 上面的道理采用形式上的講法，也就是：有一批編了號碼的數(shù)學命題，能夠證 明第 號命題正確，如果能夠證明在第號命題正確的時候，第號命題也正確，1k1k 那么，這一批命題就全部正確。 2.2.3 數(shù)學歸納法的其它形式 數(shù)學歸納法原理本質(zhì)上來看由兩個重要步驟構成，首先是奠基步，這往往比較 容易，但卻是必須的，然后需要一個一般意義的演繹規(guī)則，按照這個演繹規(guī)則，反 復應用，從奠基步開始，在有限步之內(nèi)達到任意指定的情形，通常，這個一般的

21、演 繹規(guī)則是從所謂的歸納法假設開始，從較少規(guī)模成立的假設推導出較大規(guī)模的情形 成立，從而建立一個一般的演繹規(guī)則，因此，從這一本質(zhì)出發(fā)，數(shù)學歸納法可演繹 出豐富的“變著” ，概括起來有兩個方面：一是奠基點的前提或后推，增多或減少： 二是遞推跨度和遞推途徑的變通，而正是因為是“變著”的多樣性和應用技巧的靈 活性，才使數(shù)學歸納法顯示出廣泛的應用性。 (1)不一定從 開始，也就是數(shù)學歸納法里的兩句話，可以改成：如果當1 的時候，這個命題是正確的，又從假設當時，這個命題是正確的， 0 kn )( 0 kkkn 可以推出當時，這個命題也是正確的，那么這個命題時都正確。這是1 kn 0 kn 第一數(shù)學歸納法

22、的“變著” ，也叫做跳躍數(shù)學歸納法。 例例 2.22.2 求證：邊形個內(nèi)角的和等于， （） 。nn)2( n3n 證明：當時，我們知道三角形三個內(nèi)角的和是，所以當時，命題是正確3n3n 的，假設當時命題也是正確的，設是邊形的頂點，做)3( kkn 121 , k aaa1k 線段，它把這個邊形分成兩個圖形，一個是邊形,另一個是三 k aa11kk k aaa 21 角形,并且邊形內(nèi)角的和等于后面兩個圖形的內(nèi)角和的和，就是 11a aa kk 1k 2) 1() 1()2(kkk) 12( 也就是說，當時這個命題也是正確的，因此，定理得證。1 kn 第二句話也可以改為“如果當適合于時命題正確，那

23、么當時，nkn 11 kn 命題也正確” ，由此同樣可以證明對于所有命題都正確。這種屬于第二數(shù)學歸納法的 “變著” 。 例例 2.32.3 我們知道，對于任意自然數(shù)，有,反之，若，且n 2 11 3 )( nn i ii0 n a ,有成立嗎？ 2 1 3 1 )( n i n i i aanan 證明：當時，由及,得。命題成立。1n 2 1 3 1 aa0 1 a1 1 a 假設當時，命題成立，即，kn iaiki, 2 , 1 當時，因為1 kn 3 1 2 1 3 1 3 1 1 )( k k i i k k i k i i aaaa)22( 又 2 1 1 2 1 1 3 1 1 )(

24、)( k i ki k i i k i i aaaa 2 1 11 2 1 2)( k i kik k i i aaaa)32( 于是 2 1 11 3 1 2 k i kikk aaaa)42( 因為所以 kiiai, 2 , 1, k i i kk a 1 2 ) 1( 又因為,故0 1 k a 0) 1( 1 2 1 kkaa kk )52( 解得 或 1 1 kak)( 1 舍去kak 所以時命題也成立，從而對任意自然數(shù)，命題成立。1 knn (3)設是關于自然數(shù)的命題，若對無限多個自然數(shù)成立；假設成 )(n pn )(n p )1( k p 立可推出成立，則命題一切自然數(shù)都成立。 )

25、(k pn 總之，數(shù)學歸納法原理還隱含著許多“變著” ，這便使得數(shù)學歸納法在證題中發(fā) 揮著重要的作用，除此之外，還有其它其實的數(shù)學歸納法，如蹺蹺板數(shù)學歸納法， 雙重數(shù)學歸納法。 3 數(shù)學歸納法的步驟 3.1 數(shù)學歸納法的步驟 在高中階段，我們把數(shù)學歸納法的步驟分為三步，但是從實質(zhì)上來說，數(shù)學歸 納法也可以分為兩個步驟： （1）當時，這個命題是正確的，1n （2）假設當時，這個命題是正確的，kn （3）證明當時，這個命題也是正確的。1 kn 從而推出這個命題在自然數(shù)中都是成立的。1n 例例 3.13.1 對任意正自然數(shù)，有。n 2 ) 12(531nn 證明：(1)當時，所以等式成立。1n1左1

26、右 (2)假設當時，等式也成立，則有kn 2 ) 12(531kk (3)當時，1 kn ) 12() 12(531kk 12 2 kk 2 ) 1( k) 13( 時，等式也成立1kn 綜上所述，等式對一切正自然數(shù)都成立。n 3.2 三個步驟缺一不可 在實際的教學過程中，重點在于如何利用假設時命題的結論來推出kn 時命題也成立，因為之前的兩部相當于第三步而言比較簡單，因此，學生1 kn 做題時往往會在第三步感到困難，然而，即使學生經(jīng)過一段時間的訓練，能夠一步 不漏正確的做下來，學生多半仍處于知其然不知所以然的處境，有不少學生心中疑 問：為什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻” ，只不是是代

27、個最簡單的數(shù)字進 去看看命題對不對，這一步會有多少作用，為什么非要不可。并且用的假設命kn 題去推的必要性。1 kn 以上問題都涉及到數(shù)學歸納法的原理，本質(zhì)，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學 證明方法的巧妙之處。其實，數(shù)學歸納法的三個步驟有著十分密切的關系，三個步 驟缺一不可。下面用例題來說明： 例例 3.23.2 證明：所有的正整數(shù)都相等。 這個命題顯然是荒謬的，但是如果我們丟開“當?shù)臅r候，這個命題是正確1k 的”不管，那么可以用“數(shù)學歸納法”來“證明”它。 這里，第號命題是：“第個正整數(shù)等于第個正整數(shù)” ，就是k1kk kk1 兩邊都加上 ，就得1 1 kk 這就是說，第個正整數(shù)等于第個正整數(shù)

28、，這不是說明了所有的正整數(shù)都相等k1k 了嗎？ 錯誤就在于，我們沒有考慮的情況。1k 例例 3.33.3 在正自然數(shù)上都是素數(shù)。72491 2 nn 分析：當?shù)臅r候，式子的值都是素數(shù),即使如此，我11000, 3 , 2 , 1n72491 2 nn 們還不能確立是任何正整數(shù)的時候，這個式子的值都是素數(shù)，事實上，只要 的時候它的值就不是素數(shù)。72490n 這也就是說，即使我們試了次，式子的值都是素數(shù)，我們1100072491 2 nn 仍舊不能斷定這個命題一般的正確性。 這就足夠說明了是遞推的基礎,二，三兩步相互循環(huán)論證關系是遞推的過1n 程，它解決了從特殊值到一般的過渡。這三個步驟密切相關，

29、缺一不可。 0 nn 0 nn 如果只有奠基步驟，而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性 是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟的假設就失去 了依據(jù)，從而使歸納法步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結果也是建 立在不可靠的基礎上，所以仍然不能斷定原命題是否正確。 所以，用數(shù)學歸納法證題時，關鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關鍵在于合理應 用假設。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的，就中學教材而論，應用數(shù) 學歸納法證明命題大概有兩種類型： 能直接應用歸納假設來證明的，證明這類問題時，通常在歸納假設的兩邊同) 1 ( 加（或同減）某項，通過適當變換完成證

30、明，對于這種類型的題目，在中學的課本 中比較常見。 不能直接應用歸納假設來證明的，這類命題解題時，一般通過下面的兩種途)2( 徑為應用歸納假設創(chuàng)造條件,先將代入原式，然后將所得表達式作適當?shù)淖? kn 換，從而得到結論；利用其它數(shù)學知識，建立與的聯(lián)系，從而得到結論成 )(k p )1( k p 立，對于這種類型題目在中學數(shù)學的學習中出現(xiàn)的概率也是很大的。 4 數(shù)學歸納法的典型應用 數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關的命題的一種極為有效的方法，它在證明中的應 用是十分廣泛的。應用數(shù)學歸納法可以證明與正整數(shù)有關的恒等式、不等式、證明n 整除問題、證明幾何問題以及矩陣問題等。 4.1 證明恒等式 應用數(shù)學

31、歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關的代數(shù)恒等式、三角恒等式、 組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過程中只要實現(xiàn)等式左右兩邊相等即可。下面舉例說 明 例例 4.14.1 用數(shù)學歸納法證明： * 111 () 1 33 5(21)(21)21 n nn nnn 證明：(1)當時，左邊，右邊1n = 11 1 33 11 2 1 13 左邊=右邊 (2)假設時，等式成立即nk= 111 1 33 5(21)(21)21 k kkk 當時，1nk=+ 1111 1 335(21)(21)(21)(23) 1 21(21)(23) (23)1 (21)(23) (21)(1) (21)(23) 1 2(1)

32、1 kkkk k kkk kk kk kk kk k k 當時，等式也成立。1nk=+ 由(1)(2)知，等式對任何都成立。 nn 例例 4.24.2 （2010 江蘇卷（理科） ）已知abc 的三邊長都是有理數(shù)。 （1）求證：是有理數(shù)；cos a （2）求證：對任意正整數(shù)，是有理數(shù)ncosna 證明：(1)由、為有理數(shù)及余弦定理知是有abbcac 222 cos 2 abacbc a ab ac +- = 理數(shù)。 (2)用數(shù)學歸納法證明和都是有理數(shù)。cosnasinsinana 當時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。1n =cos a 2 sinsin1cosaaa 假設當時，和都是有

33、理數(shù)。(1)nk kcoskasinsinaka 當時，由1nk=+ ,cos(1)coscossinsinkaakaaka sinsin(1)sin(sincoscossin) (sinsin) cos(sinsin) cos akaakaakaa akaaaaka 由和歸納假設，知與都是有理數(shù)。cos(1)ka+sinsin(1)aka 即當時，結論成立。1nk=+ 綜合、可知，對任意正整數(shù)，是有理數(shù)。ncosna 5 數(shù)學歸納法最簡單的應用之一，是用來研究排列和組合的公式，通過高中的學習， 我們已經(jīng)知道：“從個不同的元素里，每次取 個，按照一定的順序擺成一排，稱做nr 從個元素里每次取出

34、 個元素的排列。 ”排列的種數(shù)，稱做排列數(shù)。從個不同的元nrn 素里每次取 個元素所有不同的排列數(shù)，可以用符號來表示。對于有下面的公式：r r n a r n a 定理定理 1 1 (1)(2)(1) r n an nnnr=-+ 現(xiàn)在我們用數(shù)學歸納法來證明它。 證明：首先， 1 n an= 這是顯然的如果再能證明 ， 1 1 rr nn ana - - = 那么，這個定理就可以應用數(shù)學歸納法來證明。 我們假定個元素是在每次取出 個元素的種排列法里，以為首n 12 , n a aar r n a 1 a 的共有種，以為首的同樣也有種，由此即得 1 1 r n a - -2 a 1 1 r n

35、a - - 1 1 rr nn ana - - = 于是定理得證。 6 42 證明不等式 應用數(shù)學歸納法證明不等式，分為嚴格不等式和非嚴格不等式兩種嚴格不等式的 證明，只要保證原不等式中的“”或“”成立即可對于非嚴格不等式，情況略 顯復雜，在證明過程的第一步驗證中，對于“”或“”的處理，存在兩種不同的看 法，一種觀點認為：在第一步中，既要驗證“”成立，也要說明成ab=()ab ab 立。只有如此，才能更充分地體現(xiàn)非嚴格不等式成立。另一種觀點認為：()ab ab 在第一步中，只要證明或有一個成立，即可說明非嚴格不等式ab=()ab ab 成立。從邏輯連接詞的角度，我傾向于后者。事實上，用數(shù)學歸納

36、法證明()ab ab 非嚴格不等式時，是或的基礎。ab=abab 7 例例 4.34.3 求證： 2 12 12 111 ()()(0) nn n aaana aaa 證明：（1）當時，不等式成立。1n = （2）假設當時命題成立，即()nk kn 2 12 12 111 ()() k k aaak aaa 那么當 1nk=+ 121 121 12121 12112 1111 ()() 1111111 ()()()()1 kk kk kkk kkk aaaa aaaa aaaaaaa aaaaaaa 2 121 112 22 1111 2 ()()1 21 kk kk kaaaa aaaa k

37、k 2 2 21 (1) kk k =+ =+ 即當時，命題成立。1nk=+ 根據(jù)（1）和（2） ，可知命題對任何都成立。 * nn 8 例例 4.44.4 求證： 11113 (2,) 12224 nnn nnn 證明：（1）當時，左邊=右邊2n = 1171413 34122424 += 不等式成立 （2）假設當時命題成立，即(2)nk k 11113 12224kkk + + 令 111 122 k s kkk =+ + 那么當時，令1nk=+ 1 11111 2322122 k s kkkkk + =+ + 則有 1 1111 0 212212(1)(21) kk ss kkkkk +

38、 -=+-= + 1kk ss + 由歸納假設知，則 13 24 k s 1 13 24 k s + 即當時，命題成立。1nk=+ 根據(jù)（1）和（2） ，可知命題對任何都成立。 * nn 有時候，我們要證明的不等式無法直接運用歸納法解決，這時，我們則考慮將不 等式加強以便運用歸納法。而不等式加強的形式是多樣的，其中規(guī)律有法可循根 據(jù)要證不等式的形式進行構造。 例例 4.54.5 若不等式對一切正整數(shù)都成立，求正整 2413 1 3 1 2 1 1 1a nnnn 數(shù)的最大值，并證明你的結論。a 解：取，1n 24 26 113 1 21 1 11 1 令，得，而， 2424 26a 26a n

39、a 所以取，下面用數(shù)學歸納法證明 25a 24 25 13 1 3 1 2 1 1 1 nnnn 1）時，已證結論正確。1n 2）假設時，不等式成立。kn 3）則當時，有1 kn 1) 1(3 1 33 1 23 1 13 1 2) 1( 1 1) 1( 1 kkkkkk ) 1 1 43 1 33 1 23 1 () 13 1 2 1 1 1 ( kkkkkkk ) 1(3 2 43 1 23 1 24 25 kkk 因為 ) 1(3 2 8189 ) 1(6 43 1 23 1 2 kkk k kk 所以 0 ) 1(3 2 43 1 23 1 kkk 所以 24 25 1) 1(3 1

40、2) 1( 1 1) 1( 1 kkk 即時，結論成立。kn 由 1） ，2）可知，對一切，都有 na 24 25 13 1 3 1 2 1 1 1 nnnn 故的最大值為。 a25 43 證明整除問題 應用數(shù)學歸納法證明整除性問題，是數(shù)學歸納法的重要應用之一。在做這一部分 題時，應從整除的基本含義入手，通過添項去項進行“配湊” ，使之能夠獲證。 例 4.6 證明能被整除。 nnn 336 22 11 證明： 1) 時，能被整除。1n66336336 3222 nnn 11 2) 假設時，能被整除。kn nnn 336 22 11 3）則當時，有1 kn 121)1(2 336 kkk kkk

41、kk kkk 333336333336636 3333636 22 22 )33(33)336(36 222kkkkk 由于能被整除，能被整除 122 336 kkk 11)33(33 2kk 11 所以時命題成立。1 kn 即證。 4.4 證明幾何問題 應用數(shù)學歸納法證明幾何問題是數(shù)學歸納法的一個重要應用。數(shù)學歸納法是證明 與正整數(shù)有關的命題的重要方法，但是運用它只能證明命題的正確性，而不能指望由 它發(fā)現(xiàn)命題。數(shù)學家華羅庚曾在其數(shù)學歸納法一書中指出；“難處不在于有了公 式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來 ”不少與正整數(shù)有關的幾何問題， 也可以用數(shù)學歸納法證明，但是在證明之前要找出

42、規(guī)律，獲得公式，然后才能用數(shù)學 歸納法證明結論。 例例 4.74.7 平面內(nèi)有個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于n 同一點。求證：這個圓把平面分成個部分。n2 2 nn 證明：1）當時，一個圓把平面分成兩部分，命題成立。1n22112 2）假設當時命題成立，即個圓把平面分成個部分。k2 2 kk 3）則當時，這個圓中的個圓把平面分成個部分，第1 kn1kk2 2 kk 個圓被前個圓分成條弧，每條弧把它所在部分分成了兩個部分，這是共增加1kkk2 了個部分，即個圓把平面分成k21k kkk2)2( 2 2) 1() 1( 2 kk 即命題成立。 4.5 行列式與矩陣的證明 行列

43、式與矩陣的計算靈活多變，需要有較強的技巧。當然，任何一個 n 階行列式 都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知， 階行列式的展開式有！項，計算nn 量很大，一般情況下不用此法。如果選擇好的方法，從而達到化繁為簡的功效。 例 4.8 證明范得蒙行列式：)(evandermond 其中 nij ji n n nnn n n n xx xxxx xxxx xxxx v 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 )( . : . . 1.111 )()()()()( 122311312 1 nnnn nij ji xxxxxxxxxxxxxx 證明 ：（1）當時，等式成立。2n

44、)( 11 21 12 21 ji ij n xxxx xx v （2）假設等式對階范得蒙行列式成立，即1n 11 1 )( nij jin xxv 對 n 階范得蒙行列式： )(.)()(0 : )(.)()(0 .0 1.111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 2, 1, 11 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx v n n n nn nn n rxr nni n ii 按第一列展開并提取公因子，得 1 c 22 3 2 2 32 11312 . : . 1.11 )()( n n nn n nn xxx xxx xxxxxxv 后面的行列式

45、是一個階范得蒙行列式，1n 1n v 由歸納假設可寫作，代入上式便得 nij jin xxv 2 1 )( . nij ji nij ji n i in xxxxxxv 122 1 )()()( 由（1） 、 （2）可知，對所有的，命題成立。nn 例例 4.94.9 求證： n nn nnn n n nn n 00 0 2 )1( 00 10 01 1 21 證明 ：（1）當時，結論顯然成立1n （2）假設命題成立，即1n 1 21 321 1 00 ) 1(0 2 )2)(1( ) 1( 00 10 01 n nn nnn n n nn n 當取時:n 00 10 01 00 ) 1(0 2

46、 )2)(1( ) 1( 00 10 01 1 21 321 n nn nnn n n nn n n nn nnn n nn n 00 0 2 ) 1( 1 21 由（1） 、 （2）可知，對所有的，命題成立。nn 在解決行列式與矩陣問題時，選擇一種好的方法不僅能達到事半功倍的效果，更 能體現(xiàn)學習高等數(shù)學的功底。計算行列式與矩陣的方法比較靈活，同一行列式與矩陣 可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用。在計算時，首先要仔 細考察行列式在構造上的特點，再考察它是否能用常用的幾種方法，如果行列式與矩 陣中有與自然數(shù)有關，我們可考慮用數(shù)學歸納法去證明，再利用它們的性質(zhì)對它進n 行變換，

47、然后求解。 5 運用數(shù)學歸納法時容易出現(xiàn)的錯誤分析 剛剛接觸數(shù)學歸納法時容易出現(xiàn)對步驟把握不清的現(xiàn)象，下面針對幾種常見錯誤 進行分析。 5.1 忽略了歸納奠定基礎的必要性 錯例 5.1 試證 。 1 2 ) 1( .321 nn n 錯證：假設時等式成立，即nk= (1) 1 2 31 2 k k k + + + +=+ 則當時，1nk=+ 1 2 31 (1) 11 2 (1)(2) 1 2 kk k k k kk + + + + + + =+ + + + =+ 即當時等式成立。1nk=+ 根據(jù)數(shù)學歸納法原理可知，當是任意正整數(shù)時，等式都成立。n 評注：事實上，。因此錯例 1 的題目是錯誤的

48、。上述錯證， (1) 1 2 3 2 n n n + + + += 竟把錯誤的結論“證明”出來了，豈非怪哉？此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，就是缺少歸納 奠定這一步。切莫以為歸納奠定這一步就是“當時命題正確”這么一句話，似乎1n = 無關緊要，可有可無。 從上例可以看出，不去認真地檢驗這一步，或者根本沒有這一步，就可能陷入錯 誤的泥潭。因此，只有歸納遞推、沒有歸納奠定基礎的論證是錯誤的。歸納奠基步驟 決不能少。 1 5.2 弄不清 從 變化到命題發(fā)生變化時到底增加了幾項 nk1k + 錯例錯例 5.25.2 求證：（n 為自然數(shù)） 。 1 1111 1() 23422 n n nn - + 當時，左邊為

49、nk= 1 1111 1 2342k- + 則當時左邊應為1nk=+ 11111 1111111 1() 2342212222 kkkkk- + + 就增加了括號中的那部分共項，而往往在此處由于受到前期思維定勢的影響， 1 2k- 判斷為只增加一項，那就錯了。 5.3 在第二步證明中沒有利用歸納假設 比如用數(shù)學歸納法證明，不少同學是按下列步驟展開的：1 2 nnn 證明：（1）當時，左邊=，右邊=2 1n =2 左邊右邊 原不等式成立 （2）假設當（k 為整數(shù)）時不等式成立，即，kn 2 1kkk+ 那么當時，1nk=+ 2 (1)(1)kk+ 2 32kk=+ 2 32 (2)kkk 分析：

50、不妨先看看第二步， 假設時，有，即.則當時，nk= 2 22 k k+ 2 22 k k-1nk=+ 。 122 222 222(2)222 kk kk + + = + -+ =- , 222 (22)(1)23(3)(1)kkkkkk-+=-=-+ 由于，欲使上式大于 0，必有，即 k34。10k + 3k 這說明要完成歸納遞推，必須從 4 開始。因而起點也必須從“后挪”至k1n = 。此時第一步就應該是：4n = 當時， （經(jīng)驗證）命題都成立。1,2,3,4n = 這里運用了“起點后挪”的技巧7。 6.2 恰當選取“跨度” 在歸納中，有時采用較大的跨度更為方便，就可以改變跨度，不過應注意隨

51、之而 起點增多。 例例 6.36.3 試證：任意大于 7 的自然數(shù)均可表為若干個 3 與若干個 5 之和（若干個包 括零個） 。 證明：（1）當=8，9,10 時，命題成立，由 8=5+3,9=3+3+3,10=5+3 知命題成立。n （2）假設時命題成立，則當時，只需再加一個 3 即可，(7,)nk kkn=3nk=+ 顯然成立。 綜合（1） 、 （2）知原命題成立.上例遞推跨度為 3，起點驗證也需要三個。 例例 6.46.4 求證對一切自然數(shù)，不定方程都有正整數(shù)解。n 22n xyz+= 證明：當時，?。划?，取，故知命題在1n =1,2xyz=2n =3,4,5xyz= 和 2 時成立。1

52、n = 假設當時，就有nk= 000 ,xxyyzz= ， 222222 00000000 ()()() k x zy zzxyz + +=+= 知它們恰為方程的一組正整數(shù)解.所以當時，命題也成立。2nk=+ 則對一切自然數(shù)不定方程都有正整數(shù)解。n 對上述兩個例題，如果硬性規(guī)定跨度為 1，則作繭自縛，而通過加大跳躍跨度，則 大大降低了歸納難度6。 6.3 選取合適的假設方式 同“起點”和“跨度”一樣，歸納法的假設也可以是“因勢而異”的，不一定非 要拘泥于“假設當時命題成立”不可。事實上， “”往往可以用“”或nk=nk=nk “，”等等來代替。nk=1nk=+ 6.3.1 以“假設時成立”代替

53、“假設時成立”nknk= 例例 6.56.5 設數(shù)列滿足關系式： n a （1）， 1 1 2 a = （2），試證數(shù)列的通項公式為。 （加拿大數(shù)學 2 12 (1) nn aaan an 1 (1) n a n n = + 競賽試題） 分析：顯然滿足通項公式，但因 1 a ， 112 2 1 () (1)1 kk aaaa k + =+ +- 與，都有關，如果仍設，就顯得不夠用了。按如果改設 1 a 2 a k a 1 (1) k a k k = + “對一切，都有” ，問題即可解決，因為由nk 1 (1) n a n n = + 1 2 1111 () 1 22 3(1)2 k a kkk

54、k 111111 (1)()() (2)2231 11 (1) (2)1 1 (1)(2) k kkk k kk kk =-+-+- + =- + = + 即可知也滿足通項公式。 1k a + 在上面的論證中，僅僅改變了假設的方式，而這種改變并未造成邏輯上的不合理， 相反卻有利歸納過渡，因而是十分可取的。 6.3.2 以“假設，時成立”代替“假設時成立”nk=1nk=+nk= 有時也會碰到一些問題，它們的歸納需要依賴于前面兩個命題同時成立，這時就 應當用“假設，時成立”來代替通常的“假設時成立” ，不過這樣一nk=1nk=+nk= 來，起點也應增多為兩個，否則，后面所作的假設就變得沒有依據(jù)，整

55、個論證也就變 得不可信了。 例例 6.66.6 設與是方程的兩個根，試證對任何自然數(shù)，都 1 x 2 x 2 610 xx-+ =n 12 nn xx+ 是整數(shù)，但不是 5 的倍數(shù)。 證明：為了便于使用歸納法，我們先來推導一下遞推關系式.由韋達定理知： ，因而就有 1212 6,1xxxx+= 1111 121212 6()()() nnnn xxxxxx + +=+ 2211 121221 22 121212 22 1212 () nnnn nnnn nnnn xxx xx x xxx x xx xxxx + + + =+ =+ =+ 故知 ， 2211 121212 6()() nnnnn

56、n xxxxxx + +=+-+ 即有 . 221111 12121212 5() ()() nnnnnnnn xxxxxxxx + +=+-+ 又當時，；當 時，1n = 12 61(mod.5)xx+= 2n = 222 1212 ()xxxx+=+ ，故知當與 2 時，都是整數(shù)且不為 5 的倍數(shù)，現(xiàn)假 12 2344(mod.5)x x-=1n = 12 nn xx+ 設，時，也都是整數(shù)，于是由遞推關系式 nk=1nk=+ 12 nn xx+ 2211 121212 6()() nnnnnn xxxxxx + +=+-+ 知當時，也是整數(shù).所以對一切自然數(shù)，都是整數(shù)。2nk=+ 12 n

57、n xx+n 12 nn xx+ 為證都不是 5 的倍數(shù)，以記其被 5 除所得的余數(shù)，于是由已證部分知 12 nn xx+ n a ，且由遞推公式知。再證是一個循環(huán)數(shù)列，循環(huán)節(jié)是 12 1,4aa= 21nnn aaa + =- n a 6。事實上，我們有 32111 () nnnnnnn aaaaaaa + =-=-=- 于是有 63 () nnnn aaaa + =-=- -= 從而知是以 6 作為循環(huán)節(jié)的循環(huán)數(shù)列.于是可以算出： n a 611622633 1,4,3, nnn aaaaaa + = 644655666 1,4,3, nnn aaaaaa + =-=-=- 它們都不為 0

58、，這樣我們就證明了對一切自然數(shù)，都不是 5 的倍數(shù)。n 12 nn xx+ 在本例論證的前一部分是整數(shù)中，就采用了“與時， 12 nn xx+nk=1nk=+ 是整數(shù)”的假設形式，以便于利用遞推公式順利進行完成歸納過渡。這種假設 12 nn xx+ 形式，在論證數(shù)列問題時較為常用.但在使用時應注意對起點數(shù)作相應的增多。 7 數(shù)學歸納法的地位和作用 數(shù)學歸納法在討論涉及正數(shù)無限性的問題時，是一種非常重要的數(shù)學方法，在數(shù) 學的學習中，它的地位和作用可以從以下三個方面來看： （1）中學數(shù)學中的許多重要結論，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前項n 和公式、二項公式定理等都可以用數(shù)學歸納法進行證明。對

59、于由不完全歸納法得到的 某些與正整數(shù)有關的數(shù)學命題，我們也常采用數(shù)學歸納法來證明它們的正確性。 （2）運用數(shù)學歸納法可以證明許多數(shù)學問題，如與正整數(shù)有關的恒等式、不等n 式、一些整除問題、一些幾何問題等，既可以開闊眼界，又可以受到推理論證的訓練。 對于一些用常規(guī)的分析綜合法不容易證明的題，用數(shù)學歸納法往往會得到一些意想不 到的好結果。 （3）數(shù)學歸納法在進一步學習高等數(shù)學時會經(jīng)常用到，因此掌握這種方法可以為 今后的高等數(shù)學的學習打下一個良好的基礎。 致 謝 經(jīng)過了數(shù)月的努力，我的畢業(yè)論文終于完成了，此時，我的心情常激動。雖然， 本論文還有許多不足之處，但這也是我?guī)讉€月來努力的成果，以及我的導師

60、曹慧老師 對我孜孜不倦的指導。記得在剛剛確定論文課題的開始，導師就很耐心地幫助我，比 個根據(jù)對我自身的特點給了我?guī)讉€比較合適的課題；還有在撰寫論文的過程中，老師 也是隨時地提醒我要注意論文撰寫的進度以及一些相關要求。所以，這篇論文并不僅 僅是我個人的勞動成果，假如沒有導師的指導和支持，我的畢業(yè)論文肯定完成得不是 那么順利。所以，我要發(fā)自肺腑地感謝我的導師，感謝她這幾個月來的辛勤知道和陪 伴！ 還有我敬愛的老師們，在我大學四年的學習生活中，你們的諄諄教誨時時刻刻激 勵著我，我之所以能夠很好地學到科學文化知識，全得益于你們的樂于奉獻，所以在 此，也要對你們說聲謝謝！ 再者，還有我親愛的同學們，我的