大學(xué)數(shù)學(xué) 極限[中小學(xué)堂]

1、 極限概念是微積分的基本概極限概念是微積分的基本概 念。極限是一種非初等運(yùn)算念。極限是一種非初等運(yùn)算, ,也也 是微積分學(xué)研究的基本工具是微積分學(xué)研究的基本工具 . . 后面將要介紹的函數(shù)的連續(xù)性、后面將要介紹的函數(shù)的連續(xù)性、 導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念，都是導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念，都是 以極限為基礎(chǔ)的。以極限為基礎(chǔ)的。 極限是高等數(shù)學(xué)中的一種重要的研究方法。極限是高等數(shù)學(xué)中的一種重要的研究方法。 1課堂特制 極限是以發(fā)展的眼光分析事物極限是以發(fā)展的眼光分析事物 (變量變量)的變化規(guī)律的變化規(guī)律,通過(guò)極限我們通過(guò)極限我們 可以深入到函數(shù)的局部去了解函可以深入到函數(shù)的局部去了解函 數(shù)數(shù),并且體會(huì)如何在運(yùn)

2、動(dòng)的過(guò)程并且體會(huì)如何在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程 中把握變化的事物中把握變化的事物,從而深化對(duì)從而深化對(duì) 客觀世界的認(rèn)識(shí)。客觀世界的認(rèn)識(shí)。 1.3.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限(limit of sequence) 數(shù)列的定義：數(shù)列的定義： 2課堂特制 按照一定規(guī)律有次序排列的無(wú)按照一定規(guī)律有次序排列的無(wú) 窮多個(gè)數(shù)稱(chēng)為窮多個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列數(shù)列。 記作記作. n x n x 稱(chēng)為稱(chēng)為通項(xiàng)通項(xiàng)( (一般項(xiàng)一般項(xiàng)) .) . , 4321n xxxxx , 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 n ,) 1( ,1,1,1 1 n 3課堂特制 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 數(shù)列極限的定義，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下。數(shù)列極限的定義

3、，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下。 中國(guó)古代的極限思想：中國(guó)古代的極限思想： “一尺之椎，日取其半，萬(wàn)世不竭。一尺之椎，日取其半，萬(wàn)世不竭?！?, 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 432n 考察當(dāng)考察當(dāng)n+時(shí)，通項(xiàng)時(shí)，通項(xiàng)xn的變化趨勢(shì)。的變化趨勢(shì)。 數(shù)列極限的實(shí)質(zhì)：數(shù)列極限的實(shí)質(zhì)：)(0n 4課堂特制 例例 如如, , 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 n)(0n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n )(1n ,2,8,4,2 n )(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 趨勢(shì)不定趨勢(shì)不定 5課堂特制 Axn n lim 數(shù)列數(shù)列

4、n x 數(shù)列當(dāng)項(xiàng)數(shù)數(shù)列當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限變大時(shí)無(wú)限變大時(shí)),(n 的極限定義：的極限定義： 數(shù)列的各項(xiàng)數(shù)列的各項(xiàng) 數(shù)值向一個(gè)數(shù)值向一個(gè)常數(shù)常數(shù)A無(wú)限靠近，無(wú)限靠近， 則稱(chēng)常數(shù)則稱(chēng)常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。 記作記作 或或)(nAxn 6課堂特制 如果一個(gè)數(shù)列的極限存在如果一個(gè)數(shù)列的極限存在, ,則稱(chēng)該則稱(chēng)該 數(shù)列是數(shù)列是收斂收斂(converge)(converge)； 如果一個(gè)數(shù)列的極限不存在如果一個(gè)數(shù)列的極限不存在, ,則稱(chēng)該則稱(chēng)該 數(shù)列是數(shù)列是發(fā)散發(fā)散(diverge)(diverge)。 7課堂特制 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 432n 常數(shù)常數(shù)

5、0 稱(chēng)為此數(shù)列的極限稱(chēng)為此數(shù)列的極限 )(0n 0 2 1 lim n n 記作：記作： 8課堂特制 , 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 n n xn 1 )(0n 0 1 lim n n 9課堂特制 例如例如, , 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 n n xn 1 )(0n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n n n x n n 1 ) 1( )(1n 收收 斂斂 10課堂特制 ,2,8,4,2 n n n x2)(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 1 ) 1( n n x 趨勢(shì)不定趨勢(shì)不定 發(fā)發(fā) 散散 11課堂特制 n n 2lim

6、,2,8,4,2 n )(n 記作：記作： 12課堂特制 例例1.1. 已知已知 , ) 1( ) 1( 2 n x n n 證明證明 .0lim n n x 證證: : 0 n x 0 ) 1( ) 1( 2 n n 2 ) 1( 1 n 13課堂特制 n 時(shí)，時(shí)， 0 ) 1( 1 2 n 可以無(wú)限變小可以無(wú)限變小 故故 0 ) 1( ) 1( limlim 2 n x n n n n 0 n x 14課堂特制 0 1 lim n n 0 1 lim 2 n n 0lim 1 n n q1q 2 lim n n 不存在 1 ) 1(lim n n 0) 3 2 (lim n n 15課堂特

7、制 函數(shù)函數(shù))(xf 隨著自變量的變化而變化隨著自變量的變化而變化,研究研究 函數(shù)的極限函數(shù)的極限,就是研究當(dāng)自變量就是研究當(dāng)自變量 按照某種按照某種方式變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的方式變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的 1.3.21.3.2函數(shù)的極限函數(shù)的極限 (limit of function) 函數(shù)值的變化趨勢(shì)。函數(shù)值的變化趨勢(shì)。 16課堂特制 二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限 , )(xfy 對(duì) 0 )1(xx 0 )2(xx 0 )3(xx x)4( x)5( x)6( 自變量變化過(guò)程的六種自變量變化過(guò)程的六種 形式形式: 一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的

8、極限 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 : : 17課堂特制 x 時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限 18課堂特制 x y 1 , 5, 4, 3, 2x 0, 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 y 19課堂特制 x y 1 ,3,3,3, 3 432 x 0, 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 432 y 20課堂特制 x y 1 ,10,10,10,10 432 x 0, 10 1 , 10 1 , 10 1 , 10 1 432 y 21課堂特制 定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在 x大于某個(gè)正數(shù)大于某個(gè)正數(shù) a時(shí)有定義時(shí)有定義,A是某確定常數(shù)是某確定常數(shù),如果當(dāng)自如果當(dāng)自 變

9、量變量x 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，f(x)與與A的距離的距離 任意小任意小,則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)f(x)在在 時(shí)時(shí) 以以A為極限，為極限， )()()(lim xAxfAxf x 或 x時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限 x .,時(shí)的極限類(lèi)似可定義xx 記為記為 22課堂特制 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) )1, 0( aaay x x ay x ay ) 1( a )1 , 0( x ey )10( a 23課堂特制 如如 x exfy)( 0lim x x e x x elim 24課堂特制 例如例如. 0 1 lim x x 0 1 lim x x . 0 1 lim x x ox y x y 1 . 1 0

10、的水平漸近線為 x yy 同理同理: : 25課堂特制 正弦函數(shù)正弦函數(shù) xysin xysin 不存在x x sinlim 26課堂特制 xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù) 不存在x x coslim 27課堂特制 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) )1, 0(log aaxy a xyln xy a log xy a log )1( a )0 , 1( )10( a 28課堂特制 x x lnlim 29課堂特制 xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù) 30課堂特制 2 arctanlim x x 2 arctanlim x x 31課堂特制 0 xx 時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限

11、的極限 32課堂特制 2 xy , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 2222 y 0 0, 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 x 33課堂特制 2 xy , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 2222 y 0 0, 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 x 34課堂特制 2 xy , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 2222 y 0 0 6 1 , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 x 35課堂特制 2 xy 0, 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 432 x 0, 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 8642 y

12、36課堂特制 1 ) 1(2 2 x x y 998. 3 ,98. 3, 6 . 3, 2 . 3, 2y 999. 0 , ,99. 0, 9 . 0, 8 . 0, 5 . 0 x 1 4 37課堂特制 1 ) 1(2 2 x x y 002. 4 ,02. 4, 2 . 4, 4 . 4, 5y ,001. 1 ,01. 1, 1 . 1, 2 . 1, 5 . 1x 1 4 38課堂特制 定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某空心鄰的某空心鄰 域內(nèi)有定義域內(nèi)有定義，A是某確定常數(shù)，如果是某確定常數(shù)，如果 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x趨近于趨近于x0時(shí)時(shí)，f(x)與與A的距的距 離

13、離任意小任意小,則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)f(x)在在x趨于趨于x0時(shí)時(shí) 以以A為極限，為極限， 0 xx 時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限 )()()(lim 0 0 xxAxfAxf xx 或 記為記為 39課堂特制 1 , 1 )( x xxf x 1 y o1 0)(lim 0 xf x 1 1 )( 2 x x xfy xo y 1 2)(lim 1 xf x 2 40課堂特制 正弦函數(shù)正弦函數(shù) xysin xysin 1sinlim 2 x x 0sinlim 0 x x 41課堂特制 xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù) 1coslim 0 x x 0coslim 2 x x 42課

14、堂特制 0 coscoslim 0 xx xx 0 sinsinlim 0 xx xx 0 0 limxx xx 可以證明：可以證明：以下的極限均成立以下的極限均成立 CC xx 0 lim .lim 0 0 xx xx 43課堂特制 3.3.單側(cè)極限單側(cè)極限 - - 左極限與右極限左極限與右極限 44課堂特制 左極限左極限 : )0( 0 xf Axf xx )(lim 0 x如果當(dāng)如果當(dāng) 從從 0 x的的左側(cè)無(wú)限趨近左側(cè)無(wú)限趨近 0 x 時(shí)時(shí),記著記著, 0 xx 函數(shù)函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常 數(shù)數(shù)A, 則稱(chēng)則稱(chēng)A為函數(shù)為函數(shù)f(x)當(dāng)當(dāng) 0 xx 時(shí)的左極

15、限。記作時(shí)的左極限。記作 45課堂特制 類(lèi)似可定義類(lèi)似可定義右極限右極限 : )0( 0 xf Axf xx )(lim 0 函數(shù)的左極限和右極限函數(shù)的左極限和右極限 統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限。統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限。 46課堂特制 x1 y o 1,0 10, )( x xx xf )(lim)00( 0 xff x 0lim 0 x x 47課堂特制 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) )1, 0(log aaxy a xyln xy a log xy a log )1( a )0 , 1( )10( a 48課堂特制 x x lnlim 0 49課堂特制 例如：例如： xx xx xx xfy 2, 12 20,sin 0

16、1, )( 2 ),(lim 0 xf x 求 0lim)(lim 2 00 xxf xx 0sinlim)(lim 00 xxf xx )(lim 0 xf x 50課堂特制 定理定理1.11.1： Axf xx )(lim 0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù) 極限存在的極限存在的 充要條件是左、右極限存在且相等，充要條件是左、右極限存在且相等， 即即 )(xf 0 xx Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 51課堂特制 例例6. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0,1 0,0 0, 1 )( xx x xx xf 討論討論 0 x 時(shí)時(shí))(xf 的極限是否存在的極限是否存在 . 解解: 利用定理利用

17、定理 因?yàn)橐驗(yàn)?)(lim)00( 0 xff x ) 1(lim 0 x x 1 52課堂特制 )(lim)00( 0 xff x ) 1(lim 0 x x 1 顯然顯然 , )00()00(ff 所以所以)(lim 0 xf x 不存在不存在 . 53課堂特制 x y o 1 1 xy 1 1 xy 0,1 0,0 0, 1 )( xx x xx xf 54課堂特制 例例7 7 問(wèn)問(wèn)a a為何值時(shí)為何值時(shí), ,所給函數(shù)所給函數(shù)x x=2=2處極限處極限 存在。存在。 )2(2 )2(2 )2(10 )( 2 xax xa xx xf 解解：左極限左極限 2010lim)(lim)02(

18、22 xxff xx 右極限右極限 aaxxff xx 24)2lim)(lim)02( 2 22 （ 55課堂特制 欲函數(shù)在欲函數(shù)在x x=2=2處極限存在，必須左極限處極限存在，必須左極限 等于右極限，等于右極限， 即即a=a=8 8 56課堂特制 思考：思考： 1)1)研究函數(shù)極限時(shí)研究函數(shù)極限時(shí), ,是否要考慮是否要考慮f f( (x x) )在在 x x= =x x0 0時(shí)的性態(tài)？為什么？時(shí)的性態(tài)？為什么？ 2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都存在都存在, ,當(dāng)當(dāng)x x趨趨 于于x x0 0時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )的

19、極限存在嗎？的極限存在嗎？ 3)3)如何利用如何利用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)來(lái)判斷來(lái)判斷 當(dāng)當(dāng)x x趨于趨于x x0 0 時(shí) 時(shí), ,f f( (x x) )的極限不存在？的極限不存在？ ？ 57課堂特制 4)4)若極限若極限)(lim 0 xf xx 是否一定有是否一定有 )()(lim 0 0 xfxf xx ？ 58課堂特制 1coslim 0 x x 0coslim 2 x x 2 arctanlim x x2 arctanlim x x 1sinlim 2 x x 0sinlim 0 x x 0lim x x e0 1 lim x x 常用的極限結(jié)果：常用的極限結(jié)果： )(lim 0 為常數(shù)CCC xx 59課堂特制 x x elim 2 lim x x x x lnlim x x lnlim 0 x x 1 lim 0 x x coslim x x sinlim 極限不存在的有：極限不存在的有： 60課堂特制 練習(xí)：練習(xí)：設(shè)設(shè) )1(12 )11(1 )1( )( 2 xx xx xx xf 求：求： )(lim 1 xf x )(lim 1 xf x )(lim