中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

1、中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)單自由度振動(dòng)系統(tǒng) 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)阻尼振動(dòng)單自由度系統(tǒng)阻尼振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng) 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 單自由度定義 只有一個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，稱為單自由 度振動(dòng)系統(tǒng)，簡稱單自由度系統(tǒng)。 自由度：指完整描述一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)間特 性所需的最少的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，在理論力學(xué) 中用廣義坐標(biāo)數(shù)。 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 幾種單自由度系統(tǒng)的示例 S O J O S O 隔離體受 力分析 kx ( )x t m k 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振

2、動(dòng)系統(tǒng) 無阻尼自由振動(dòng) 自由振動(dòng)：系統(tǒng)在初始激勵(lì)下，或外加激 勵(lì)消失后的一種振動(dòng)形態(tài)。 系統(tǒng)的無阻尼振動(dòng)是對(duì)實(shí)際問題的理論抽 象，是一種理想條件，實(shí)際的系統(tǒng)都有阻 尼。如果現(xiàn)實(shí)世界沒有阻止運(yùn)動(dòng)能力的話， 整個(gè)世界將處于無休止的振動(dòng)中。 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) O 隔 離 體 受 力 分 析 kx ( )x t m k 以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平 向右為軸正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系 設(shè)在某一瞬時(shí)t, 質(zhì)量沿坐標(biāo)方向有一位移x， 畫出質(zhì)量此時(shí)的隔離體受力圖。 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 自由振動(dòng)是系統(tǒng)在初始激勵(lì)下或外加激勵(lì)消失后的一種振動(dòng)形態(tài)。自由 振

3、動(dòng)時(shí)系統(tǒng)不受外界激勵(lì)的影響，其振動(dòng)規(guī)律完全取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)。 00 2 )0( ,)0( 0 xxxx xx n 0 0 )0(,)0( 0 xxxx kxmx 通解為：通解為： 自由振自由振 動(dòng)的運(yùn)動(dòng)的運(yùn) 動(dòng)微分動(dòng)微分 方程：方程： n n n x x arctgxxA xAxA 0 0 2 0 2 0 0201 )/( /, mk n / )cos(sincos 21 tAtAtAx nnn 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 三角公式推導(dǎo) 根據(jù)三角函數(shù)公式 令： 22 12 1212 2222 1212 cossin(cossin) nnnn AA xAtAtAAtt AAA

4、A 1 22 12 cos A AA 2 22 12 sin A AA 22 12 1212 2222 1212 cossin(cossin) nnnn AA xAtAtAAtt AAAA 2222 1212 (coscossinsin)cos() nnn xAAttAAt 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 幅值和相角的確定 由前面推導(dǎo) 2 222 0 120 n x AAAx 0 0 arctan n x x 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 結(jié)論1 單自由度無阻尼自由振動(dòng)為簡諧振動(dòng) 位移可以表示為時(shí)間的簡諧函數(shù)（正弦或 余弦） )cos(sincos 21 tAtAtA

5、x nnn 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 結(jié)論2 響應(yīng)滿足疊加原理 系統(tǒng)在初始位移 單獨(dú)作用下的自由振動(dòng)， 此時(shí) ， 系統(tǒng)在初始速度 單獨(dú)作用下的自由振動(dòng)， 此時(shí) ， 0 x 0 0 x 10 cos n xxt 0 x 0 0 x 0 2 sin n n x xt 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 系統(tǒng)總響應(yīng) 振動(dòng)系統(tǒng)總的響應(yīng)=上述兩部分響應(yīng)之和 疊加性是線性系統(tǒng)的重要特征 0 120 cossin nn n x xxxxtt 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 數(shù)字特征 振幅，振動(dòng)物體離開靜平衡位置的最 大位移 圓頻率 振動(dòng)周期，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)一周 （ ），振

6、動(dòng)物體的位移值也就重復(fù)一次， 振動(dòng)周期：振動(dòng)重復(fù)一次所需要的時(shí)間間隔 振動(dòng)頻率，單位時(shí)間內(nèi)完成的振動(dòng)的 次數(shù) A n T 2 f 1 f T 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 固有特性 可見，上述三個(gè)量都由振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)確定，而 與初始條件無關(guān)，是系統(tǒng)的固有特性，因而又稱 作：固有圓頻率、固有周期和固有頻率 系統(tǒng)的初始條件只決定振動(dòng)的振幅和初相位 n k m 2 2 n m T k 11 22 n k f Tm 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)振動(dòng)特性的影響 振系的質(zhì)量越大，彈簧越軟，則固有頻率 越低，周期越長；質(zhì)量越小，彈簧越硬， 則固有頻率越高，周期越短，這

7、個(gè)結(jié)論對(duì) 復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)也同樣的適用 , , mkfT mkfT 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 分析彈簧懸掛物體的垂直振動(dòng) 以振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖 所示的坐標(biāo)系， 彈簧的自有長度為 ，當(dāng)物體從平衡位置 離開時(shí)，彈簧的伸長為 ，則物體的 隔離體受力如圖所示： 0 l s x 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 簡圖 ss Fx k s mgk O 0 l s x x m k 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 微分方程和求解 可以寫出系統(tǒng)的微分方程 由于 所以，上式得化簡結(jié)果仍然是 ： () s mxmgkx s mgk 0mxkx 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全

8、套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 結(jié)果 因此，系統(tǒng)的固有頻率仍然是： 由 代入上式： 得到： 1 2 k f m s s mg mgkk 1 2 s g f 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 結(jié)論 由彈簧的靜變形可以計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻 率 在寫微分方程的時(shí)候，可以以物體的靜平 衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，而不必考慮物體重力 造成的彈簧靜變形 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 能量法原理 在阻尼可以略去不計(jì)的條件下，振動(dòng)系統(tǒng) 自由振動(dòng)時(shí)的機(jī)械能（動(dòng)能+勢能）保持常 值。 對(duì)上式兩端求導(dǎo)，可得 TUconst 0 d TU dt 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 0kxmx 振無阻尼自

9、由動(dòng)系統(tǒng)為一保守系統(tǒng)，總機(jī)械能在運(yùn)動(dòng)中保持不變。振無阻尼自由動(dòng)系統(tǒng)為一保守系統(tǒng)，總機(jī)械能在運(yùn)動(dòng)中保持不變。 兩邊乘以兩邊乘以 dtdxx/ 0 dt dx kx dt dx mx0)( 2 1 22 kxmxd 22 2 1 , 2 1 kxUmxEt 令令 0)(UEd t )sin(tAx nn )(cos 2 1 )(sin 2 1 22 222 tkAU tAmE n nnt )/( 2 1 2 1 2 0 2 0 2 nt xxkkAUE 證明證明1 證明證明2 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) EkAUEt 2 maxmax 2 1 2 max 2 2 1 2 1 xmm

10、AT 定義動(dòng)能系數(shù)定義動(dòng)能系數(shù) 則有則有 / max 2 TUmk n 振動(dòng)得以維持的原因是系統(tǒng)有儲(chǔ)存動(dòng)能的慣性元件和儲(chǔ)存 勢能的彈性元件。由于不考慮能量耗散，無阻尼自由振動(dòng)時(shí)機(jī) 械能守恒，機(jī)械能的大小取決于初始條件和系統(tǒng)參數(shù)。振動(dòng)時(shí) 動(dòng)能、勢能不斷相互轉(zhuǎn)換，因此勢能有一個(gè)最小值。使勢能取 最小值的位置正是系統(tǒng)的靜平衡位置。系統(tǒng)有穩(wěn)定的平衡位置， 其動(dòng)能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化，在外界激勵(lì)的作用下，才能產(chǎn)生 振動(dòng)。因而，振動(dòng)總是在平衡位置附近進(jìn)行。 利用能量守恒原理是求解微分方程的重要手段利用能量守恒原理是求解微分方程的重要手段 稱為Rayleigh商 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 例

11、題：例題： 如圖所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量，另一端繞過一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為如圖所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量，另一端繞過一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的滑輪的滑輪 與彈簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無伸長，繩索與滑輪之間無滑動(dòng)。此與彈簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無伸長，繩索與滑輪之間無滑動(dòng)。此 時(shí)系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)，求系統(tǒng)的固有頻率。時(shí)系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)，求系統(tǒng)的固有頻率。 系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的勢能為 o x 222 2 1 2 1 )( 2 1 kkxmgxxkU 解： 原點(diǎn)取在靜平衡位置，彈簧的相對(duì)伸長為x ，滑輪 沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過一個(gè)角度 x/r 系統(tǒng)的動(dòng)能包括滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和質(zhì)量的平動(dòng)動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能包

12、括滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和質(zhì)量的平動(dòng)動(dòng)能 2 2 2 2 )( 2 1 2 1 )( 2 1 xm r I mx r x IEt 0)(UEd t 由由0)/( 2 kxxmrI 2 2 2 mrI kr n 與書上的結(jié)果比較：注意勢能的計(jì)與書上的結(jié)果比較：注意勢能的計(jì) 算，可以不計(jì)重力勢能算，可以不計(jì)重力勢能 ，只相差一，只相差一 個(gè)常數(shù)，不影響計(jì)算結(jié)果個(gè)常數(shù)，不影響計(jì)算結(jié)果 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 自由振動(dòng)系統(tǒng)性質(zhì) 對(duì)一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，如在動(dòng)能最大時(shí)，取勢 能為零，則在動(dòng)能為零時(shí)，勢能取最大值。 mm TU 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 常見物體的動(dòng)能計(jì)算 質(zhì)點(diǎn)或平動(dòng)

13、剛體 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 平面運(yùn)動(dòng)的剛體 2 1 2 Tmv 2 1 2 TJ 22 11 22 cc TmvJ 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 常見物體的勢能計(jì)算 拉伸彈簧 扭轉(zhuǎn)彈簧 剛體的重力勢能 2 0 1 2 x Ukxdxkx 2 0 1 2 x UK dK c Umgz K 為抗扭彈簧系數(shù) 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 勢能參考點(diǎn)的選取 勢能是一個(gè)參考值，和其具體值的大小和 參考點(diǎn)選取有關(guān) 在使用 時(shí)，要注意，勢 能基準(zhǔn)值的選取，應(yīng)使振動(dòng)系統(tǒng)在動(dòng)能最大 時(shí)，勢能為零。 0 d TU dt 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 例一 如圖的系統(tǒng)，使其 偏轉(zhuǎn)

14、 角后放手，求 系統(tǒng)的微分方程和 固有頻率 K J 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 例一解 選取圓盤的扭轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)，箭頭方 向?yàn)檎?，平衡位置為轉(zhuǎn)角零點(diǎn)，建立如 圖所示的廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)的動(dòng)能 系統(tǒng)的勢能 2 1 2 TJ 2 1 2 UK 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 由系統(tǒng)機(jī)械能守恒 得： 由于 是方程的平凡解，兩邊除 ， 并令： 方程化簡為： 22 11 00 22 d JKJK dt 0J J n K J 2 0 n 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 例二 系統(tǒng)如圖，桿和彈簧的 質(zhì)量不計(jì)，在靜平衡時(shí) 水平，求其系統(tǒng)的微分 方程和固有頻率 （提示：

15、取靜平衡位置 為坐標(biāo)原點(diǎn)，可不考慮 重力勢能，當(dāng)偏角很小 時(shí)，彈簧的伸長，圓球 的位移和速度可以表示 為： ） ,all m a k 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 能量法的優(yōu)點(diǎn) 從上面的分析可以看出，用機(jī)械能守恒求 解比較方便，而且比較規(guī)范，對(duì)照大家以 前的學(xué)過的Lagrange方程，大家可以看出， 實(shí)際就是無約束系統(tǒng)Lagrange方程在保守 力場下的形式。 0 d TU dt 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 等值質(zhì)量 在前面的討論中，都假定了彈性元件的質(zhì) 量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于振動(dòng)系統(tǒng)的集中質(zhì)量，因而可 以簡化為一個(gè)集中質(zhì)量。上文所討論的例 子的彈簧也都是有一個(gè)螺旋或扭轉(zhuǎn)彈簧

16、的 例子。下面看幾個(gè)稍微復(fù)雜的例子，并說 明等值質(zhì)量的意義。 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 例三 如右圖，彈簧 在靜平衡位置 長度為 ，單 位長度的質(zhì)量 為 ，求系統(tǒng) 的固有頻率。 l 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 基本假設(shè) 假設(shè)系統(tǒng)的變形是線性的，即當(dāng)彈簧下段 的位移為 的時(shí)候，在距離彈簧上端 的截 面振幅為 ，假定系統(tǒng)的速度分布也滿足 線性要求（在端點(diǎn)處顯然成立） 設(shè)質(zhì)量塊的位移為 ，速度為 ， 0 xu 0 u x l x x 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 彈簧的動(dòng)能 則在距離上端點(diǎn)距離為 ，長度為 的長 度微元的動(dòng)能為： 則整個(gè)彈簧的動(dòng)能： u

17、du 2 1 2 s u dEdux l 2 2 0 11 1 22 3 l s u Txdulx l 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 總動(dòng)能 質(zhì)量塊的動(dòng)能： 總動(dòng)能： 2 1 2 m Tmx 222 1 1111 2 3223 sm TTTlxmxml x 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 系統(tǒng)微分方程 系統(tǒng)的勢能： 由： 微分方程： 固有頻率： 2 1 2 Ukx 0 d TU dt 1 0 3 ml xkx 3 n k l m 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 等值質(zhì)量 稱為本系統(tǒng)彈性元件的等值質(zhì)量 3 l 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 例四

18、 如圖所示，懸臂梁的線密度為 ，端點(diǎn)處 有集中質(zhì)量 ，求系統(tǒng)的固有頻率 靜平衡位置 m 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 桿剛度的確定 由材料力學(xué)可知，在靜載荷 作用下，懸 臂梁的撓度為： P 3 3 3 3 PlEI k EIl 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 假設(shè) 截面處的撓度為 ， 假定在自由振動(dòng)中，各點(diǎn)的位移和速度仍 然按照此比例。 23 3 3 2 lxx l 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 系統(tǒng)的動(dòng)能 梁的動(dòng)能： 質(zhì)量塊的動(dòng)能： 系統(tǒng)總動(dòng)能： 2 23 2 3 0 131 33 222140 l b lxx Tydxly l 2 1 2 m Tmy

19、 2 133 2 140 bm TTTlm y 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 系統(tǒng)的方程 系統(tǒng)的勢能： 根據(jù)： 系統(tǒng)微分方程： 固有頻率： 22 3 11 3 22 EI Ukyy l 0 d TU dt 3 333 0 140 EI lm yy l 3 3 33 140 n EI lm l 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 結(jié)論 可見，懸臂梁的質(zhì)量對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻 率的影響相當(dāng)于在自由端加上梁的等值質(zhì) 量 ，此值稍小于全梁質(zhì)量的 思考：梁自重造成梁端部的位移，會(huì)不會(huì)影 響本題的精度。 33 140 l 1 4 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 等值剛度 彈

20、簧的并聯(lián) 若使剛度為 ， 的兩根 彈簧的下端都伸長 ，所 需要的力 所以，并聯(lián)彈簧的等值剛 度為 1 k 2 k s 1212 Pk sk skks 12 kk 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 推論 個(gè)彈簧并聯(lián)后的等值剛度 ，可用 數(shù)學(xué)歸納法證明。 n 1 n i i kk 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 彈簧的串聯(lián) 如圖所示，兩個(gè)彈簧 串聯(lián)，在端點(diǎn)處作用 力 ，兩個(gè)彈簧分別 伸長 和 ， 則下端點(diǎn)的位移： P 1 1 P s k 2 2 P s k 12 12 11 sssP kk 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 串聯(lián)彈簧的等值剛度 1 2 12 12 1

21、 11 Pk k k skk kk n推論，對(duì)于 個(gè)串聯(lián)彈簧的等值剛度 1 1 1 n i i k k 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 思考題 判斷下面的彈簧的串并聯(lián)情況 a bc d J J 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 2.3 阻尼自由振動(dòng) 0 0 )0(,)0( 0 xxxx kxcxmx st Aex 0)( 2 st ekcsmsA (2.22) (2.21) （常系數(shù)（常系數(shù)-線性）線性） 解的形式解的形式 特征方程 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 0 222 0 2 2 m k s m cs kcsms (2.23) m k m c m c

22、s 2 2, 1 22 (2.24) n mmkc22 0 0 22c c mk c m c n (2.25) (2.26) nn s1 2 2, 1 02 2 xxx nn (2.27) (2.28) 特征方程簡化特征方程簡化 特征方程的解特征方程的解 參數(shù)變換后的特征參數(shù)變換后的特征 方程的解方程的解 參數(shù)的變換參數(shù)的變換 意義：意義： 臨界阻尼、阻尼比臨界阻尼、阻尼比 參數(shù)變換后的參數(shù)變換后的 微分方程式微分方程式 中南大學(xué)機(jī)械振動(dòng)全套課件單自由 度振動(dòng)系統(tǒng) 1，即，即(c/2m)2k/m，s是實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)，此時(shí)為強(qiáng)阻尼此時(shí)為強(qiáng)阻尼(又稱為過阻尼又稱為過阻尼)情況。特征方程的根情況。特征方程的根 為為 )( 1 2 1 1 22 ttt nnn eAeAex (2.30) ) 1 ( 2 1 2 00 02,1 n n xx xA (2.31)