一元二次方程提升專題培訓

1、a=1,則 b=()第三講：一元二次方程的綜合應用（10月5日）1 .如圖，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設A.2 2C . F D JAugusi & 02. 如圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出 3X 3個位置相鄰的9個數(shù)（如6, 7, 8,13,14,15,20,21,22）.若圈出的9個數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為192,則這9個數(shù)的和為（）A. 32B . 126C . 135 D . 1443. 如圖，矩形ABCD勺周長是20cm以AB, AD為邊向外作正方形 ABEF和正方形 ADGH若正方形 ABEF2和ADGH勺面積之和68cm,那么矩形ABCD勺面

2、積是()2 2 2 2A. 21cmB . 16cm C . 24cm D . 9cm4 .如果關于x的方程（m- 2） x2-2 （m- 1） x+m=0只有一個實數(shù)根，那么方程 mX-（ m+2 x+ （4 -m =0的根的情況是（）A.沒有實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D .只有一個實數(shù)根5.若a, b, c為三角形三邊，則關于x的二次方程丄x2+ （a- b） x+c2=0的根的情況是（）4A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D .無法確定6 .已知a, B是關于x的一元二次方程x2+（ 2m+3x+m=0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足一+

3、I = 卩-1,貝U m的值是（）A. 3B . 1 C . 3 或-1 D . - 3 或 17. 若厶ABC的一邊a為4,另兩邊b、c分別滿足b2- 5b+6=0, c2 - 5c+6=0,則厶ABC的周長為（）A. 9B . 10 C . 9 或 10 D . 8 或 9 或 108. 已知a + a -仁0,B + p-仁0,且aB，則ap + a + B的值為（）A. 2 B 2 C 1 D . 09 .右 a? b 工 1,A. J、 B2且有2a2+5a+仁0, b2+5b+2=0,貝U 2丄+亠的值為（C二.W5310. 設a, b是方程x2+x- 2009=0的兩個實數(shù)根，則

4、a2+2a+b的值為（A. 2006B . 2007C. 2008 D . 200911. 設 a,B 是方程 x2+9x+1=0 的兩根，貝 U （a 2+2009a +1） （B 2+2009B +1）的值是（）A. 0B . 1 C . 2000 D . 4 000 00012 .若X1、X2是關于x的方程x2+bx- 3b=0的兩個根，且X12+X22=7 .那么b的值是（）A. 1 B . - 7 C . 1 或-7 D . 7 或-113 .如果關于x的方程x2- 2 （1 - k） x+k2=0有實數(shù)根a、B，則a+B的取值范圍是（）A. a + B1B. a + B = 1 C

5、 . a +D . a +2 2二.解答題（共3小題）D.設P點運14 .等腰 ABC的直角邊AB=BC=10cm點P、Q分別從A C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度 作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點 動時間為t， PCQ的面積為S.（1）求出S關于t的函數(shù)關系式；（2）當點P運動幾秒時，SapcQF&abc?作PEAC于點E,當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論. 15某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了 200件；第 二個月如果單價不變，預計仍可售出 200件，批發(fā)商為增加銷售量

6、，決定降價銷售，根據(jù)市場調(diào)查， 單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格；第二個月結束后，批發(fā)商將對剩 余的T恤一次性清倉銷售，清倉時單價為 40元，設第二個月單價降低x元.（1）填表：（不需化簡）時間第一個月第二個月清倉時單價（元）8040銷售量（件）200（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批 T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元?16. 已知X1，X2是一元二次方程4kx2-4kx+k+2=0的兩個實數(shù)根.（1）是否存在實數(shù)k，使（2x1 - X2） （X1 - 2x2）=-十成立？若存在，求出k的值；若不存在，請您說明理由.（2）求使 -2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整

7、數(shù)值.17. 已知關于 x 的方程 x2-( 2k+1) x+4 ( k - 1 ) =0.2(1) 求證：無論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；(2) 能否找到一個實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若能找到，求出k的值；若不能，請說 明理由.(3) 當?shù)妊切蜛BC的邊長a=4,另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求 ABC的周長.18. 閱讀材料:已知p2- p-仁0，1 - q - q2=0，且pqM 1 ，求匚；二的值.q解：由 p2- p-仁0及 1 - q - q2=0，可知 pH0，qM0.又t pq 1，二 亠一 1- q- q2=0可變形為 一J 丄.一-的特征.所

8、以p與一是方程x2- x - 1=0的兩個不相等的實數(shù)q QQ根.貝_ _， - i根據(jù)閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2mi - 5mi-仁0,二_，且 mH n.求：的值.r/ 口IT1 n參考答案與試題解析1如圖，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設a=1，則b=()LlvdA.B.C.D.2 2 2【分析】根據(jù)左圖可以知道圖形是一個正方形，邊長為(a+b),右圖是一個長方形，長寬分別為2(b+a+b)、b，并且它們的面積相等，由此即可列出等式(a+b) =b (b+a+b)，而a=1，代入即可得 到關于b的方程，解方程即可求出b.【解答】解：依題意得(a+b) 2

9、=b (b+a+b)，而 a=1， b2- b- 1=0, b=： ，而b不能為負，2 b=2故選B.【點評】此題是一個信息題目，首先正確理解題目的意思，然后會根據(jù)題目隱含條件找到數(shù)量關系， 然后利用數(shù)量關系列出方程解決問題.2. 如圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出 3X 3個位置相鄰的9個數(shù)(如6, 7, 8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9個數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為192,則這9個數(shù)的和為()AUgUST O QA免11?Ig% 丄丐毀22l 0，方 程有兩個不相等的實數(shù)根；當厶=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當a, a+cb a- b- cv0, a- b

10、+c0 (a - b - c) ( a- b+c) v 0,文案大全即二次方程_Lx2+ (a - b) x+c2=0無實數(shù)根.4故選C.【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用及三角形三邊的關系.6. (非課改)已知a,B是關于x的一元二次方程X2+ (2m+3 x+m=0的兩個不相等的實數(shù)根，且 滿足丄+二-1,則m的值是()a PA. 3 B. 1 C. 3 或-1 D . - 3 或 1【分析】由于方程有兩個不相等的實數(shù)根可得厶 0,由此可以求出m的取值范圍，再利用根與系數(shù) 的關系和+ =- 1,可以求出m的值，最后求出符合題意的 m值.a P【解答】解：根據(jù)條件知：2a +B

11、=-（ 2m+3 , aB =m,.1 , 1 B + a （血+3） 一 1 ：一 ， l尸以即 m - 2m- 3=0,所以,rro2-2nr3=0L（2nri-3）2-4m30解得m=3 故選A.【點評】1、考查一元二次方程根與系數(shù)關系與根的判別式及不等式組的綜合應用能力.一元二次方 程根的情況與判別式的關系：( 0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2) =0?方程有兩個相等的實數(shù)根；(3) b可以看成是關于x的 a元二次方程x2+5x+2=0的兩根；然后根據(jù)韋達定理求得 X1? X2=2,即卩？ b=2,；a=：;再將其代入a2所求的代數(shù)式求值即可.【解答】解：2a2+5a+1=0,+5X

12、+2=0;又 t b2+5b+2=0,- b可以看成是關于X的一元二次方程x2+5x+2=0的兩根; a由韋達定理，得文案大全即丄？ b=2,a【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系、 二次根式的化簡求值.解答此題時，不要忽視了條件a? b 工1若在方程2a2+5a+1=0的兩邊同時乘以2時，那么2a、b可以看成是關于x的一元二次方程2x+5x+2=0 的兩根，則 a? b=1.10. 設a, b是方程x2+x- 2009=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為()A. 2006B. 2007C. 2008D. 2009【分析】由于a2+2a+b= (a2+a) + (a+b)，故根據(jù)方程的解的

13、意義，求得(a2+a)的值，由根與系數(shù) 的關系得到(a+b)的值，即可求解.【解答】解：a是方程x2+x- 2009=0的根，2a +a=2009;由根與系數(shù)的關系得：a+b=- 1， a2+2a+b= (a2+a) + (a+b) =2009 -仁2008.故選：C.【點評】本題綜合考查了一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關系，要正確解答本題還要能對代 數(shù)式進行恒等變形.11.設 a,B 是方程 x2+9x+1=0 的兩根，貝 U (a 2+2009a +1) (B 2+2009B +1)的值是()A. 0 B. 1 C. 2000D. 4 000 000【分析】欲求(a 2+2009a +

14、1) (B 2+2009B +1)的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的 形式(a 2+2009 a +1) (B 2+2009B +1) = (a 2+9 a +1+2000 a) (B 2+9 B +1+2000 B)，再利用根與系 數(shù)的關系代入數(shù)值計算即可.【解答】解：Ta,B 是方程x2+9x+1=0的兩個實數(shù)根， a + B = - 9，a ? B =1.2 2(a +2009 a +1) (B +2009 B +1)2 2=(a +9 a +1+2000 a) (B +9 B +1+2000 B)又Ta，B是方程x2+9x+1=0的兩個實數(shù)根，2 2 a +9 a +仁0,B

15、 +9 B +仁0.2 2 (a +9 a +1+2000 a) (B +9 B +1+2000 B) 文案大全=2000 a ? 2000 B=2000X 2000aB,而 a ? B =1,(a $ +9 a +1+2000 a) (B 2+9 B +1+2000 B) =4 000 000 .故選D.【點評】將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.12. 若Xi、X2是關于x的方程x2+bx-3b=0的兩個根，且x/+X22=7.那么b的值是()A. 1B. 7 C . 1 或7 D . 7 或1【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系和代數(shù)式變形列出方程求則可.設

16、X1 , X2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (aM0, a, b, c為常數(shù))的兩個實數(shù)根，則Xt+X2=二，XtX2=.根據(jù)x/+X22=a(X1+X2) 2 - 2X1X2代入數(shù)值列出方程解即可.【解答】解：X1、X2是關于x的方程x2+bx- 3b=0的兩個根，得 X1+X2=- b, X1X2=- 3b.又 X12+X22=7，貝9( X1+X2) 2 - 2x1X2=b2+6b=7,解得 b=- 7 或 1,當b=- 7時， =49- 84V 0,方程無實數(shù)根，應舍去，取 b=1.故選A.【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解

17、題是 經(jīng)常使用的一種解題方法.、. 2 2 、 ”13. 如果關于x的方程x - 2 (1 - k) x+k =0有實數(shù)根a、B，則a+B的取值范圍是()A.a + B1B.a + B = 1C.a + B丄 D.a + B =2 2【分析】由于關于x的方程x2- 2 (1 - k) x+k2=0有實數(shù)根a、B，則判別式0,由此可以確定 k的取值范圍，然后利用根與系數(shù)的關系確定a+B的取值范圍.【解答】解:I a=1, b=- 2 (1 - k), c=k2, =b2 - 4ac= - 2 (1- k) 2-4X 1 x k20, kw丄2va+B =2 (1 - k) =2- 2k,而k w

18、 , a + B1 .故選A.【點評】將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.14. 等腰 ABC的直角邊AB=BC=10cm點P、Q分別從A C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度 作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D.設P點運 動時間為t， PCQ的面積為S.（1）求出S關于t的函數(shù)關系式；（2）當點P運動幾秒時， S PCCtSa ABC?（3）作PEAC于點E,當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論.【分析】由題可以看出P沿AB向右運動，Q沿BC向上運動，且速度都為1cm/s，S= QCX PB,所

19、以2求出QC PB與t的關系式就可得出S與t的關系，另外應注意P點的運動軌跡，它不僅在 B點左側 運動，達到一定時間后會運動到右側，所以一些問題可能會有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時我們應分 條回答.【解答】解：（1）當t V 10秒時，P在線段AB上，此時CQ=，PB=10- t11n-:11_八當t 10秒時，P在線段AB得延長線上，此時CQ=，PB=t- 10 一一卞-11 一一 t I -（4 分）（2）v SBh ：1. （5 分） 當 t V 10 秒時，Sc=.III ：:W整理得t2- 10t+100=0無解（6分）當 t 10 秒時，Sapc= 整理得t2- 10t - 100=0

20、解得t=5 5三（舍去負值）（7分）當點P運動:寸:秒時， SapccFSaabc （ 8分）文案大全(3)當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.證明：過Q作QMLAC,交直線AC于點M易證 APEA QCM AE=PE=CM=QM=t ,四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對角線EM的一半.又 EM=AC=1L DE=5 二當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.同理，當點P在點B右側時，DE=5 -綜上所述，當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.【點評】做此類題應首先找出未知量與已知量的對應關系，利用已知量來表示未知量，許多問題就 會迎刃而解.15某批發(fā)商以每件50元的價格購進8

21、00件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了 200件；第 二個月如果單價不變，預計仍可售出 200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷售，根據(jù)市場調(diào)查， 單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格；第二個月結束后，批發(fā)商將對剩 余的T恤一次性清倉銷售，清倉時單價為 40元，設第二個月單價降低x元.(1) 填表：(不需化簡)時間第一個月第二個月清倉時單價(元)8040銷售量(件)200(2) 如果批發(fā)商希望通過銷售這批 T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元？【分析】(1)根據(jù)題意直接用含x的代數(shù)式表示即可；利用“獲利9000元”，即銷售額-進價=利潤，作為相等關系列方

22、程，解方程求解后要代入實 際冋題中檢驗是否符合題意，進行值的取舍.【解答】解：(1) 80- x, 200+10X, 800- 200(200+10x)時間第一個月第二個月清倉時單價(元)8080 - x40銷售量(件)200200+10X800 - 200-( 200+10X)(2) 根據(jù)題意，得200X( 80- 50) + (200+10x)x( 80- x- 50) + (400- 10x) (40- 50) =9000 整理得 10x2- 200x+1000=0,即 x2- 20x+100=0,解得 xi=X2=10當 x=10 時，80 - x=7050答：第二個月的單價應是70元

23、.【點評】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程, 再求解.有關銷售問題中的等量關系一般為：利潤=售價-進價.16. 【分析】(1)根據(jù)已知方程有兩個實數(shù)根，那么0,可得k的范圍，由于方程有兩個實數(shù)根，那么根據(jù)根與系數(shù)的關系可得 X1+x2=1, X1X2+戈，然后把X1+X2、X1X2代入(2x1-X2) (X1-2x2)=-上4k2中，進而可求k的值；(2)由X1, X2是一元二次方程4kx2-4kx+k+2=0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關系表示出X1+X2與X1X2,將一+ - 2通分并利用同分母分式的加法法則計算，利用完全平方公式變形后，把表示出

24、X1+X2與X1X2代入，整理后根據(jù)此式子的值為整數(shù)，即可求出實數(shù)k的整數(shù)值.【解答】解：(1)： X1、X2是一元二次方程4kx2 - 4kx+k+2=0的兩個實數(shù)根， =16k2-4X4k (k+2) =-32k0,且 4k工0,解得k v0;TXi、X2是一元二次方程4kx2-4kx+k+2=0的兩個實數(shù)根，二 Xl+X2=1 , XlX2=,I22/( 2Xi - X2) (Xi - 2X2) =2xi 4xiX2 X1X2+2X2=2 (X1+X2) 2- 9xiX2=2X 12-9?-也=L ；,4k 4k若I ：=_ 成立，4k 2解上述方程得，k-,5kv 0,貝U k=i不成

25、立，5不存在這樣k的值.2 (2)t xi, X2是一元二次方程 4kx - 4kx+k+2=0的兩個實數(shù)根， Xi+X2=1, XiX2=，且 16k2- 16k (k+2) 0,即 kv0,4k.竺+21 - 2/2+x-2=&i +七)2亠力宀-2=業(yè)-2 - 2= -4由此式子的值為整數(shù)，得到k=- 5, - 3,- 2, 0, 1, 3.t kv 0,k= - 5，- 3，- 2.【點評】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是注意數(shù)值的正負不等號的變化關 系、以及完全平方公式的使用.17. 已知關于 x 的方程 x2-( 2k+1) x+4 ( k - 1 ) =0.2(1) 求證：無論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；(2) 能否找到一個實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若能找到，求出k的值；若不能，請說 明理由.(3) 當?shù)妊切蜛BC的邊長a=4,另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求 ABC的周長. 【分析】(1)整理根的判別式，得到它是非負數(shù)即可.(2)兩實數(shù)根互為相反數(shù)，讓-=0即可求得k的值.(3) 分b=c, b=a兩種情況做.【解答】證明：(1 ) = (2k+1) 2 - 16 (k-丄)=(2k- 3) 2 0,2方程總有實根；解：(2)1兩實數(shù)根互為相反數(shù)， xi+X2=2k+1=0, 解得