誤差理論和測(cè)量平差第十七講

1、國(guó)土信息與測(cè)繪工程系 教案（首頁(yè)）班級(jí)：課程： 誤差理論與測(cè)量平差授課日期：年 月 日第 周A.提出問(wèn)題，導(dǎo)入新課針對(duì)具體問(wèn)題列出數(shù)學(xué)模型（函數(shù)模型和隨機(jī)模型），如何解算數(shù)學(xué)模型, 得到觀測(cè)量的最佳估值，咋樣評(píng)定平差的精度？。本章討論和學(xué)習(xí)第五章 附有條件的間接平差B.授課早節(jié)名稱： 8.1基礎(chǔ)方程 8.2精度評(píng)定 8.3公式匯編和示例 教學(xué)要點(diǎn)：1、附有條件的間接平差的計(jì)算過(guò)程2、精度評(píng)定重點(diǎn)：1、附有條件的間接平差的計(jì)算過(guò)程2、基礎(chǔ)方程的形式難點(diǎn)：1、平差的計(jì)算方法2、精度估計(jì)的計(jì)算C.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)概述附有條件的間接平差的基礎(chǔ)方程及其解附有條件的間接平差的計(jì)算步驟確定待定條件的個(gè)數(shù)參數(shù)的選

2、擇單位權(quán)方差各種向量協(xié)因素陣的計(jì)算需要注意的問(wèn)題第十七講第八章附有限制條件的間接平差同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了誤差理論的基本概念和測(cè)量平差的基本原理-最小二乘原理，并知道根據(jù)具體的問(wèn)題如何來(lái)建立函數(shù)模型（條件平差、間接平差、具有參數(shù)的條件平差和附有 條件的間接平差等）。本次課程我們將詳細(xì)地?cái)⑹龈接袟l件的間接平差的處理。在一個(gè)平差問(wèn)題中，如果觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是n，必要觀測(cè)次數(shù)是 t，則多余觀測(cè)數(shù)是r -t。在進(jìn)行間接平差時(shí)，所選取的參數(shù)的個(gè)數(shù)是必要觀測(cè)次數(shù)t，并且這t個(gè)參數(shù)必須函數(shù)獨(dú)立。若間接平差中選取的參數(shù)不是函數(shù)獨(dú)立的，而是存在約束條件，則間接平差的理論公式必須進(jìn)行相應(yīng)的修改。參數(shù)間存在約束條件的情況在

3、測(cè)量平差中常會(huì)遇到。例如， 經(jīng)典的三角網(wǎng)平差中，若兩個(gè)未知點(diǎn)之間有天文方位角時(shí)，則坐標(biāo)改正數(shù)之間就不獨(dú)立了， 而要求平差后該兩點(diǎn)之間方位角應(yīng)等于已知方位角。這時(shí)，就需要考慮加入?yún)?shù)間的約束條件來(lái)進(jìn)行平差。 8.1基礎(chǔ)方程和它的解在一個(gè)平差問(wèn)題中，如果觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是n，必要觀測(cè)次數(shù)是 t,則多余觀測(cè)數(shù)是r =n - t。如果在進(jìn)行間接平差時(shí)，除了選擇t個(gè)函數(shù)獨(dú)立的參數(shù)外，又選擇了 s個(gè)函數(shù)獨(dú)立的參量，則一共有 u =t s參數(shù)需要求解，而且這 u個(gè)參數(shù)必然存在著 s個(gè)約束條件。平 差時(shí)列出n個(gè)觀測(cè)方程和s個(gè)約束條件方程，以此為函數(shù)模型進(jìn)行的平差方法，就是附有條 件的間接平差。在附有條件的間接平差

4、法中，在所列的方程式中，可能有線性的，也有非線性的。當(dāng)有 非線性方程時(shí)，必須將其化為線性化形式。在第七章中已經(jīng)給出其線性或線性化后函數(shù)模型 是：:=B x - l =0n1 nuu1 n1n.1C Wx = 0su u 1 s 1 s 1其中1?= L V，R(B)二 u , R(C)二 s , u ： n , s . u在實(shí)際應(yīng)用中，是以平差值（最或然值）代替真值，殘差代替真誤差，即E=X+?（ X0仍然為非隨機(jī)量，I?、V和是隨機(jī)量）代替 = L+A，X=X0+（X0為參數(shù)的近似值， 是參數(shù)的改正值，都是非隨機(jī)量），則函數(shù)模型是:V = B I = 0n1nuu1 n 1n1C ? WX

5、= 0su u 1 s X s 1而平差的隨機(jī)模型是D VQ 乂2p在函數(shù)模型中，待求量是n個(gè)觀測(cè)值的改正數(shù)和U = t s個(gè)參數(shù)，而方程的個(gè)數(shù)是n s ： n u ,所以有無(wú)窮多組解。為此，應(yīng)當(dāng)在無(wú)窮多組解中求出滿足VTPV =min的一組解。按照求條件極值的方法組成函數(shù)：二VTPV 2KS （C? Wx）-2Vt 2KSCa?= 2VTPB -2K；C = 0轉(zhuǎn)置后得:btPV CtKs =0則可以組成以下方程組btpb?+ctks-btpi=0Nbbu沒(méi)CTus(?u久Wu1JC5? + Wx=0CI s杓0u場(chǎng)KSw丿_WXI S1 丿其中已經(jīng)令Nbb =BTPB , W =BtPIu

6、us u個(gè),可見(jiàn)在法方程中，有 s個(gè)聯(lián)系系數(shù)Ks和U個(gè)未知參數(shù)而法方程的個(gè)數(shù)正好是 所以可以進(jìn)行求解。當(dāng)然可以另一種方法求解，例如：由法方程的第一式得：靛 Nbb1(W -CtKs)代入法方程的第二式有CNb：CTKs 二CNb：W Wx令1 TNcc 二 CNbbCss且R(Ncc) =R(CNb；CT) =s，Ncc滿秩對(duì)稱方陣，其逆存在。貝yssKs =N；CNb；W Wx?= Nb；W-CTN； CN；W Wx 1= (Nbb -Nbb1CTNccCNbb)W-Nbb1CTNcWxV = B?-l0 =X0 X!? = L V 8.2精度評(píng)定、單位權(quán)方差e（vtpv）_ e（vtpv）

7、_ e（vtpv） rntn -（u -s）VTPV _ VTPVr n _（u _s）VTPV的計(jì)算=ITPI = ITPI = ITPIVTPV 二VtP(B? I)= (BtPV)t?VtPI =-KSC?VtPI 二kTWx -(B?-I)tPI kSwx - ?T bt pi+ kSwx _?TwW： Ks -Wt?= ITPI-wt-wXr-ITPI-WT-wXrNbbu減C、sUCTu:：s0u：u，-Wx三、協(xié)因素陣由于L =L ,W =BT PI一 BtP(BX d _L)二 BtPL則有Qll 二 Q ,Qlw - B , Qww = B PQPB = Nbb由于競(jìng)=x?

8、= X (Nb： Nb：CTN；CNb；)W Nb：CTN；Wx，則有QXX-1丄 T-1JJ二 T-1=(N bb - N bb C NccCNbb )Qww (Nbb 一 NbbC NccCNbb) = (Nb： Nb：CTN；CNb：)qxl14二 TJ4T=(N bb NbbC N cc CN bb )Qwl = (N bb _ N bbC Ncc CNbb ) B 二 Qxx?bTQXW= (Nb： Nb：CTN；CNb：)Qww =Qx?Nbb由于Ks =N；CNb：W-Wx ，則有QksKs =Nc：CNb：QwwNb：CTNc： =Nc：NccNc,?。篞ksL 二 Nc；CN

9、b：QwL ZCNbjBT11 11 1QksX? = NccCNbbQwX* = NccCNbbNbbQx? = NccCQxx* = 由于V = B?I，則有Qvv - BQ xx?B Q - BQ xl - Qd? B=bq xx? b q - bq xx b - bq xx b=Q - BQ xx BQvl = BQ x_ Q = -QvvQvw 二 BQxw-Qlw = BQxx N bb - BQv* 二 BQxx?-Qlx 二 BQxx-BQxx =QVKs = BQ）?Ks 一 QLKs = QLKs = _BNbb C N cc由于L? = L V，則有Q住=Q - QlvQ

10、vlQvv =Q QvvQ l?l = Q Qvl = Q _ QvvQ L?W Q LWQVW - BBQxX N bb _ B 二 BQ XX? N bbQlks =Qlks +Qvks =BNb：CTNc；BNb：CTN；=OQ?x? =Qlx? Qvx?二 Ql 二 BQx?Q?v =Qlv Qvv = -Qvv Qvv =四、平差值函數(shù)的協(xié)因素Z 二 f（*1,*2，*u）二 f。、kiXi二 f。FT?z 二 Ft?1Pz二 F qxx F , 8.3公式匯編和示例、公式匯編附有條件的間接平差函數(shù)模型：C x WX = 0s u u1 s 1 s 1平差的隨機(jī)模型是D =：;和七P

11、法方程:NbbuXiCI suCTus0uuY x、u沢I Ks人sx丿fWU1I S1其中Nbbuu二 BtPB，W 二 BtPI平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)和中誤差：z = F T刃法方程的解： KS NcC1 CNbbW WX，其中 Ncc =CNb；CTssNb；（W -CtKs）X = Nb；W_CTN； CNbW Wx 1= （Nbb - N；CT Nc；CNb；）W _ Nb；CT N；WxV 二 BXM =X05?!?-L V單位權(quán)方差:vtpvVT PVn -（u -s）平差參數(shù)的方差：Dx? xQxx =嚨（比：-Nb：CTN；CNb：）=ftQx?f ,1PzPz二、示例例題1如圖等精度觀測(cè)了三個(gè)角度，觀測(cè)值向量為勺04520八L = 4712,54“，且有一個(gè)固定角 NAOB =775824“。試用附有條件的間接平差法進(jìn)行 77058*20平差。解：獨(dú)立參數(shù)只有一個(gè)，若選取兩個(gè)參數(shù)，則產(chǎn)生一個(gè)條件。現(xiàn)在取參數(shù)=NAOP =Li +?，刃2 =BOP = L2 +X2，則誤差方程和條件方程分別是：NbbNccKsV1、1 0、V20 10，（1 耳？J 1丿F2丿蘭2丿-(10) =0=