材力第7次課堂 北京理工大學 材料力學 課件

1、1 今日贈言：今日贈言： 當你比別人高一點兒當你比別人高一點兒 時，別人嫉妒你，當你比時，別人嫉妒你，當你比 別人高一截時，別人羨慕別人高一截時，別人羨慕 你，當你比別人高很多時，你，當你比別人高很多時， 別人依靠你。別人依靠你。 林肯對政敵素以寬容林肯對政敵素以寬容 著稱，寬容的力量著稱，寬容的力量像像 大海一樣容納了百川，從大海一樣容納了百川，從 而讓自己博大寬廣，生生而讓自己博大寬廣，生生 不息不息. 2 第五章第五章 彎曲內力彎曲內力 桿件的這種變形形式稱為彎曲彎曲。 3 彎曲的基本概念彎曲的基本概念 1.受力特征：受力特征：外力垂直于桿件的軸線外力垂直于桿件的軸線, 外力均作用在桿件

2、軸線外力均作用在桿件軸線 的縱向平面內的縱向平面內. 2.變形特征：變形特征：軸線的曲率改變；軸線的曲率改變； 3.梁：梁：以彎曲變形為主的桿件；以彎曲變形為主的桿件； 5.1 彎曲的基本概念彎曲的基本概念 4 靜定梁的基本形式靜定梁的基本形式 (2)外伸梁：外伸梁： (1)簡支梁：簡支梁： (3)懸臂梁：懸臂梁： 5 常見梁的截面有：圓截面、矩形截面、常見梁的截面有：圓截面、矩形截面、 工字型截面、工字型截面、t字型截面等，如圖；字型截面等，如圖； 6 p 載荷形式載荷形式 (3)集中力偶：集中力偶：(1)集中力：集中力： (2)分布載荷：分布載荷： q m m q m p p 平面平面彎曲

3、彎曲 梁有一縱向對稱面，外力作用在對稱面內，梁變梁有一縱向對稱面，外力作用在對稱面內，梁變 形后，軸線仍在該對稱面內；形后，軸線仍在該對稱面內； 7 5.2 梁的梁的彎曲彎曲內力內力-剪力和彎矩剪力和彎矩 1.用截面法求內力：用截面法求內力： 由平衡方程：由平衡方程： 其中，其中，fs稱剪力，稱剪力，m稱彎矩；稱彎矩； m m x p pffpf ssy , 0:0 m m x p fs m m m fs m pxmmpxm c , 0:0 8 2.剪力和彎矩的符號規(guī)定和計算剪力和彎矩的符號規(guī)定和計算 (1)剪力：按圖所示變形規(guī)定符號；剪力：按圖所示變形規(guī)定符號； fs fs fs fs （+

4、） （-） 正剪力使微段順時針轉動為正正剪力使微段順時針轉動為正. 9 (2)彎矩：按圖所示變形規(guī)定彎矩符號；彎矩：按圖所示變形規(guī)定彎矩符號； （+） （-） m m x p m m x p fs m m m fs m 10 例題1 求圖示簡支梁求圖示簡支梁ab在在 截面截面1和和2上的剪力上的剪力 和彎矩。和彎矩。 解：解：(1)求約束反力求約束反力 (2)求求1截面上的內力截面上的內力 knmfm knff ay ays 265 . 082 78158 1 1 fs1 m1 a fay 8kn a b 12kn/m 1.5m1.5m 1.5m 3m 2m 1 2 8kn fay fby 0

5、5.43125.186 :0 05.13125.486 :0 bya ayb fm fm knfknf byay 29 ,15 2m 11 2 0: 12 1.50 ysby fff knff bys 115 . 112 2 knmfm by 3075. 05 . 1125 . 1 2 (3)求求2截面上的內力截面上的內力 05 . 175. 05 . 112: 0 2 by fmmfs2 m2 b fby 12kn/m a b 12kn/m 1.5m1.5m 1.5m 3m 2m 1 2 8kn 1.5m 12 5.3 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 上列函數(shù)一般是分段函數(shù)，剪力方程和

6、上列函數(shù)一般是分段函數(shù)，剪力方程和彎矩方程應彎矩方程應在在 載荷變化處分段表示。載荷變化處分段表示。 )( )( xmm xff ss f a b q kn/m x c d 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示剪力橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示剪力 或彎矩，即可畫出剪力圖和彎矩圖；或彎矩，即可畫出剪力圖和彎矩圖； * 13 例題例題2 圖示簡支梁受集中力偶圖示簡支梁受集中力偶m0作用，列出剪力方程和彎矩作用，列出剪力方程和彎矩 方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。 解：解：(1)求約束反力求約束反力 b ab m0 c a l x l m f

7、f ayby 0 (2)寫出剪力方程寫出剪力方程 ac： bc: 彎矩方程彎矩方程 ac： bc: ax l m xf s 0 )( 0 0 0 ( ) m m xmxaxl l lxa l m xf s )( 0 axx l m xm0 )( 0 14 (3)畫剪力圖和彎矩圖畫剪力圖和彎矩圖 b ab m0 c a l x lx l m xfs0 )( 0 0 0 0 0 ( ) m xxa l m x m mxaxl l x fs (-) l m0 (-) x m (+) l bm0 l am0 15 例例3： 圖示簡支梁受集中力圖示簡支梁受集中力p作用作用, 列出剪力方程和彎矩方程列出剪

8、力方程和彎矩方程, 并畫出剪力圖和彎矩圖。并畫出剪力圖和彎矩圖。 b ab p c a l x 解：解：1)求約束反力求約束反力 p l a fp l b f byay , (2)寫出剪力方程寫出剪力方程 ac： bc: 彎矩方程彎矩方程 ac： bc: ax l b xfs0 p)( lxaxl l pa xm )()( lxa l a xfs p)( axx l pb xm0 )( x fs (+) (-) p l b p l a x m (+) p l ab 3. 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 16 例例4：圖示簡支梁受均布載荷圖示簡支梁受均布載荷q作用，列出剪力方作用，列出剪力方 程程

9、 和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。 a b q l x 解：解：1. 求約束反力求約束反力 2 ql ff byay 2. 寫出剪力方程寫出剪力方程 彎矩方程彎矩方程 lx ql xf s 0qx - 2 )( lx qx x ql x qxxfxm ay 0 22 2 )( 2 x fs (+) (-) 2 ql 2 ql x m (+) 8 2 ql 3. 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 17 例題例題5 圖示懸臂梁受集中力圖示懸臂梁受集中力p 作用，列出剪力方程和作用，列出剪力方程和 彎矩方程，并畫出剪力彎矩方程，并畫出剪力 圖和彎矩圖。圖和彎矩圖。 b

10、 ab p c a l x m fs 解：解：1. 求約束反力求約束反力 pampfay , 2. 寫出剪力方程寫出剪力方程 彎矩方程彎矩方程 lxaxf axpxf s s 0)( 0 )( lxaxm axxapxm 0)( 0 )()( x fs (+) p (-) x m pa 3. 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 18 1.推導推導 從梁中任意取出一從梁中任意取出一dx微段微段,微微 段上作用分布集度為段上作用分布集度為q(x)的的 外力外力,如圖所示；如圖所示； 由平衡方程：由平衡方程： 略去高階微量，整理得：略去高階微量，整理得： 5.4 載荷集度載荷集度剪力和彎矩的關系剪力和彎矩

11、的關系 fs(x) q(x) dx c m(x) fs(x)+dfs(x) m(x)+d m(x) 0)()()()( :0 dxxqxdfxfxff sssy 0 2 1 )()()()()(:0 dxdxxqdxxfxdmxmxmm s c 合并二式：合并二式： )( )( xq dx xdfs )( )( xf dx xdm s )( )( 2 2 xq dx xmd 19 2利用載荷集度、剪力和彎矩之間關系作圖利用載荷集度、剪力和彎矩之間關系作圖 )( )( xq dx xdfs )( )( xf dx xdm s )( )( 2 2 xq dx xmd ;,0,/;,0, ,/,0

12、;/,0 2 2 2 2 _ 圖圖圖圖 圖是拋物線或圖則 或圖圖，則 ss s ss fm dx md qfm dx md q mfconstantq mfconstantfq fs(x) q(x) dx c m(x) fs(x)+dfs(x) m(x)+d m(x) 20 載荷集度與剪力、彎矩間的微分關系小結載荷集度與剪力、彎矩間的微分關系小結 q(x)fs(x)m(x) 0（+） （-） 0 極值極值 (但不一定是最大但不一定是最大 值或最小值值或最小值) 21 根據(jù)根據(jù)載荷集度、剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩間的關系 畫剪力圖和彎矩圖的步驟畫剪力圖和彎矩圖的步驟 22 例：例：

13、aaa a r b r dc ab qap q 2 0 qam qara 4 5 qarb 4 3 _,0:mqafqca s /, 4 1 ,0: _ mqafqad s m的的極值點：極值點： 2 max 4 3 2 1 4 3 aqarm b 2 32 9 qa 4 qa qa qa 4 3 2 qa 2 4 3 qa 2 32 9 qa 2 4 1 qa 解解: 23 ac：fs水平 q=0 m/ kn2 a f kn2 c f mkn212 c m kn2 m1m1m2 a c d b kn2 s f kn2 kn2 kn2 m kn 1 cd:0 s f 0q m db: s f

14、m kn 1 m2 kn2 q kn2 b p m為極值 d m kn2 m 練習練習 已知剪力圖求載荷圖及已知剪力圖求載荷圖及m m圖（設：無集中力偶作用）圖（設：無集中力偶作用） 解解: 24 /mfs圖：ac： 0 ss ff 水水平平 1kn 1m m1kn s f cd: m 水水平平0 s f kn1 3 12 s f db:m0 s f mkn 2 m1m3m1 mkn 1mkn 1 m a cdb kn1 kn1 q kn1 kn2 kn1 mkn 1 mkn 3 外力圖： ac: _ s f0q kn1 a pkn2 b p cd: _ s f 0q kn1 d p db:d處m突變外力偶 mkn3 d m mkn1 b m 練習練習 已知已知m m圖求剪力圖和外力圖圖求剪力圖和外力圖 25 a b c q qap a a2 2 a 2 8 1 qa 2 qa m a b c qa