綜合除法與余數(shù)定理

1、第七節(jié)綜合除法與余數(shù)定理綜合除法與余數(shù)定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，它們是研究多項(xiàng)式除 法的有力工具。綜合除法和余數(shù)定理在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中有著極為廣泛的應(yīng)用。 本節(jié)我們將作一些初步介紹。一、綜合除法一個(gè)一元多項(xiàng)式除以另一個(gè)一元多項(xiàng)式，并不是總能整除。當(dāng)被除式f(x)除以除式g(x),(g(x) 0)得商式q(x)及余式r(x)時(shí)，就有下列等式：f (x) g(x) q(x) r(x)。其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，或者r(x) 0。當(dāng)r(x) 0時(shí)，就是f(x)能被g(x)整除下面我們介紹一個(gè)一元多項(xiàng)式除以另一個(gè)一元多項(xiàng)式的簡便運(yùn)算一一綜合 除法。2x414x 4 7x3除以x 2所得

2、的商和余式。27014424612I82362余式商的各項(xiàng)的系數(shù)用綜合除法求解:例1、 (2x414x 4 7x3) (x 2)的商是 2x3 3x2 6x 2，余式是 &上述綜合除法的步驟是：(1) 把被除式按降幕排好，缺項(xiàng)補(bǔ)零。(2) 把除式的第二項(xiàng)-2變成2,寫在被除式的右邊，中間用一條豎線隔開。(3) 把被除式的第一項(xiàng)的系數(shù)2移到橫線的下面，得到商的第一項(xiàng)的系數(shù)。(4) 用2乘商的第一項(xiàng)的系數(shù)2,得4,寫在被除式的第二項(xiàng)的系數(shù)-7的 下面，同-7相加，得到商的第二項(xiàng)系數(shù)-3。(5) 用2乘商的第二項(xiàng)的系數(shù)-3，得-6，寫在被除式的第三項(xiàng)的系數(shù) 0 的下面，同0相加，得到商的第三項(xiàng)的系數(shù)

3、-6。(6) 用2乘商的第三項(xiàng)的系數(shù)-6，得-12，寫在被除式的第四項(xiàng)的系數(shù)14 的下面，同14相加，得到商的第三項(xiàng)系數(shù) 2。(7) 用2乘商的常數(shù)項(xiàng)2,得4,寫在被除式的常數(shù)項(xiàng)4的下面，同4相 加，得到余式&前面討論了除式都是一次項(xiàng)系數(shù)為 1的一次式的情形。如果除式是一次式，f (3) 9 3a b 1但一次項(xiàng)系數(shù)不是1,能不能利用綜合除法計(jì)算呢例2、求(3x3 10x2 23x 16) (3x 2)的商式Q和余式R。解：把除式縮小3倍，那么商就擴(kuò)大3倍，但余式不變。因此先用x -去3 除被除式，再把所得的商縮小3倍即可。二 Q=x2 4x 5,R=6b下面我們將綜合除法做進(jìn)一步的推廣，使除

4、式為二次或者二次以上的多項(xiàng) 式時(shí)也能夠利用綜合除法來求商和余式。例3、用綜合除法求(3x4 7x3 11x2 10x 4) (x2 3x 2)的商Q和余式R。解:371110966433212 Q=3x2 2x 5，R=3x 2。二、余數(shù)定理余數(shù)定理又稱裴蜀定理。它是法國數(shù)學(xué)家裴蜀(17301783)發(fā)現(xiàn)的。余數(shù)定理在研究多項(xiàng)式、討論方程方面有著重要的作用。余數(shù)定理：多項(xiàng)式f (x)除以x a所得的余數(shù)等于f(a)。略證：設(shè) f (x) Q(x) (x a) R將x=a代入得f (a) R。例4、確定m的值使多項(xiàng)式f(x) x5 3x4 8x3 1 1x m能夠被x-1整除解：依題意f(x)含

5、有因式x-1，故f(1) 0-1 3+8 + 11 + m= 0?？傻胢 = 17。求一個(gè)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，它的二次項(xiàng)系數(shù)為 被x-1除和被x-2除所得的余數(shù)相同。1，它被x-3除余1,且它解：設(shè) f(x) x2 ax bI f (x)被x 3除余1， f(x)被x 1除和x 2除所得的余數(shù)相同， f (1) f (2)即1 a b 4 2a b 由得 a 3 ，代入得 b 1 f ( x) x 2 3x 1 。 注：本例也可用待定系數(shù)法來解。同學(xué)們不妨試一試。即： x2 ax b (x 1)(x m) R (x 2)(x n) R (x 3)(x p) 1由(x 1)(x m) R (x

6、2)(x n) R，可得 m 2,n1再由 (x 2)(x 1) R (x 3)(x p) 1 ，解得 p 0。 f ( x) x 2 3x 1 。練習(xí)：1、綜合除法分別求下面各式的商式和余式。1)(3x44x35x26x 7)(x2)；2)5(x6x49x314x 8)(x4)；3)3(x(ab c) x 2(abbcca)xabc)(x4)(9x45x2 y 2 8y4 8xy 318x3 y)(3x2y)；5)(2x47x316x215x15)(X22x3)；6)(x65x12 x37x)(x33x2 5x2)a) ；2、一個(gè)關(guān)于 x 的二次多項(xiàng)式 f(x) ，它被 x-1 除余 2，被 x-3 除余 28，它可以被 x+1 整除，求 f (x) 。3、一個(gè)整系 數(shù)四 次