勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一.基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1:勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2= c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在ABC中，C90,則c . a-bb . c2 a2, a c2 b2）（2）己知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題2 :勾股定理的逆定理222如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c,則有關(guān)系a+b二c,那么這個(gè)三角形是直角三角 形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三

2、角形的一種重要方法，它通過(guò)數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定 三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c ；（2）驗(yàn)證J與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2= a2+b2,則厶ABC是以/C為直角的直角三角 形222222（若ca+b,則厶ABC是以/C為鈍角的鈍角三角形；若c a +b,則厶ABC為銳角三角 形）。（定理中a, b, c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形 三邊長(zhǎng)a , b, c滿足acb,那么以a, b, c為三邊的三角形是直角三角形，但 是b為斜邊）3 :勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的

3、性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4 :互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)1 勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2 勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3 勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a, b, c有下列關(guān)系：a+/= c

4、, ?那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法.5. ?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì) 數(shù)形結(jié)合”的理解.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的 逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）5 :勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是 圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：1 22方法一：4SS正方形ef

5、ghS正方形ABCD,4ab（ba）c,化簡(jiǎn)可證.方法.四個(gè)直角三角形的而積與小正方形而積的和等于大正方形的而積.四個(gè)直角三角形的而積與小正方形而積的和為1 22S 4 ab c 2ab c大正方形面積為S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2方法三：S弟形1(a b) (a b),S 弟形 2S ADES ABEJab從化簡(jiǎn)22得證6 :勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即 c為正整數(shù)時(shí)，稱a, b, c為一組勾股數(shù)2如 3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ;cn2 ( m n, m , n為正整數(shù))記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度,7,24,2

6、5 等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n21,2n,n21 (n 2, n為正整數(shù));2n 1,2n2 2n,2 n2 2n 1 ( n 為正整數(shù))m2 n2,2mn,m2二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例 1 在 ABC 中，C90.AC A RC R 隸 AR 的K已知AB 17, AC 15,求BC的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理a2 b2 c2A15解：(1) AB AC BC 10(2) BC . AB8題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例題1如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模

7、型后，己知斜邊長(zhǎng)和 一條直角邊長(zhǎng)，求另外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接利用勾股定理！299222g根據(jù)勾股定理AC +BC =AB，即AC +9 =15所以AC =144,所以AC=12.例題2如圖（8）,水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度解析：同例題1 一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2.由題意可知 ACD中,ZACD=90o ,在RtAACD中，只知道CD=1.5,這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：_222解：如圖2,根據(jù)勾股定理，AC +CD =AD設(shè)

8、水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5222x +1.5 = ( x+0.5)解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用一一1例題3如圖3,正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FBAB4那么 DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)1現(xiàn)規(guī)律，沒(méi)有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由FBAB可以設(shè)AB=4a,4那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAAFD、RtABEF 和 RtA CDE 中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長(zhǎng)，反過(guò)來(lái)再利用勾股定理

9、逆定理去判斷厶DEF是否是直角三角形。詳細(xì)解題步驟如下：解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a 在 RtACDE 中，DE2=CD2+CE2=(4a) 2+(2 a)2=20 a2 同理 EU=5a2, DF2=25a2,r 222222A DEF 中，EF+ DE=5a + 20a =25a =DF DEF是直角三角形，且/ DEF=90注：木題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度例題4如圖4,己知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E,將厶ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE

10、的長(zhǎng).解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細(xì)解題過(guò)程如下：解：根據(jù)題意得RtA ADE也RtA AEF/Z AFE=90 AF=10cm, EF=DE設(shè) CE=xcm,貝 V DE=EF=CD- CE=8 - x在RtAABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,即卩 82+BF2=102,/ BF=6cmCF=BC- BF=10- 6=4(cm)在RtA ECF中由勾股定理可得:222 h222EF=CE +CF,即(8 x) =x +42 6416x+x =2+16 x=3(cm),BP CE=3 cm注：本題接下來(lái)還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積題型五：利用勾股定

11、理逆定理判斷垂直一一例題5如圖5,王師傅想要檢測(cè)桌子的表面AD邊是否垂直與AB&c邊和 CD 邊，他測(cè)得 AD=80cm , AB=60cm , BD=100cm , AD 邊與 AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直?解析：由于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來(lái)方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來(lái)驗(yàn)證。如圖4,矩形ABCD表示桌而形狀,在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm （想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長(zhǎng)度？）連結(jié)MN,測(cè)量MN的長(zhǎng)度。222 如果 MN=15,貝 y AM+AN=MN,所以AD邊與AB邊垂直; 如果 MN=a：E 15,則 92+12 2=81+144=225

12、, a2I 225,即 9?+1221 a2,所以/ A不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題一一例題6有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過(guò)去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,如圖6所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BC/MN,BC丄AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離A有5米時(shí)，求BC的長(zhǎng)度。己知AN=4.5米所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4米唧使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題:例1、如圖，

13、 ABC是直角三角形，BC是斜邊，將厶ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP重合，若AP=3,求 PP的長(zhǎng)。變式1 ：如圖，P是等邊三角形ABC 點(diǎn)，PA=2,PB=2.3,PC=4,求厶ABC的邊長(zhǎng)分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將厶BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60 ,根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形變式2、如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90222試探究BE、CF、EF間的關(guān)系，并說(shuō)明理由題型七：關(guān)于翻折問(wèn)題例1、 如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm , BC=6cm , E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).變式：如圖，AD是厶ABC的中線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位線，Z ADC=45 把八ADC沿直題型八:關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用： 例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160 米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以會(huì)受到噪 音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō) 明理由；如果受 到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的 時(shí)間為多少?題型九：關(guān)于最短性問(wèn)題例5、如右圖119,壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊 沿A 處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處