太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)講解

1、太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)數(shù)值計(jì)算方法試題一、 填空題1、如果用二分法求方程 x3 x 4 0在區(qū)間 1,2內(nèi)的根精確到三位小 數(shù)，2、需對(duì)分( 10)次。2迭代格式 xk1 xk (xk2 2)局部收斂的充分條件是 取值在 222 ,0) (0, 2)2 2 )。3x 13 ( x 1) 3 a(x 1)20 x 1b(x 1) c 1 x 3 是三次樣條函數(shù)，S(x) 13、已知?jiǎng)t a=(3) ， b=( 3)， c=( 1)。4、l0(x),l1(x), ,ln(x) 是以整數(shù)點(diǎn) nl k (x)函 數(shù) ， 則 k0 k (1) ，n( xk x k 3)l k (x) 4 2 k0

2、k k k( x4 x2 3)5、設(shè) f (x) 6x7 2x4 3x2 1和節(jié)點(diǎn) xk k /2,k 0,1,2, ,則 7! 6 9456和 7 f0 72!76 9454 236.25。6、5 個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓 - 柯特斯求積公式的代數(shù)精度為 9， 積公式最高代數(shù)精度為 9。k (x) k 0是區(qū)間 0,1 上權(quán)函數(shù) (x) x 的最高項(xiàng)系數(shù)為1式族，其中 0(x) 1，則 0 x 4(x)dx 0。x1 ax2 b18、給定方程組ax1 x2 b2 ，a為實(shí)數(shù)，當(dāng)a滿足SOR迭代法收斂。7、9、x0,x1, , xn為節(jié)點(diǎn)的 Lagrange 插值基 nxkl j (xk )k 0 (fx

3、0,x1, ,xn5 個(gè)節(jié)點(diǎn)的求1 的正交多項(xiàng)a 1，且02 時(shí)，y f (x, y)解 初 值 問(wèn) 題y(x0) y0的 改 進(jìn) 歐 拉 法yn01 yn hf (xn, yn)h21001aayn 1yn h f(xn,yn)f (xn 1 , yn01)aa1A10、設(shè) 中L 為下三角陣， 這種分解是唯一的是 2 階方法。22，當(dāng)a ( 2 , 2 )時(shí)，必有分解式 A LLT ，其當(dāng)其對(duì)角線元素 lii(i 1,2,3)滿足( lii 0 )條件時(shí)，太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)、選擇題 1、解方程組 Ax b的簡(jiǎn)單迭代格式 x（k 1） Bx（k） g收斂的充要條件是2)。1) (A)

4、 1, (2) (B) 1, (3) (A) 1, (4) (B) 12、在牛頓 -柯特斯求積公式：bafn(x)dx (b a) Ci(n) f (xi )i0中，當(dāng)系數(shù) Ci是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)（ 1）時(shí)的牛頓- 柯特斯求積公式不使用4、若用二階中點(diǎn)公式hyn 1 yn hf (xn 2h,yn（xn, yn）求解初值問(wèn)題（1）n 8， （2）n 7， （3） n 10，（4）n 6，3、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是（ 1）。（1）二次； （2）三次；（3）四次； （4）五次y2y,

5、 y（0） 1，試問(wèn)為保證該公式絕對(duì)穩(wěn)定，步長(zhǎng) h的取值范圍為3）（1） 0 h 2, （2） 0 h 2, （3） 0 h 2, （4） 0 h 2 2三、1、用最小二乘法求形如 y a bx2 的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù)：xi19253038yi19.032.349.073.32解：span1, x 2T 1 1 1 1A 192 252 312 382yT 19.0 32.3 49.0 73.3解方程組 AT AC ATyATA4 3391AT y173 .6其中 3391 3529603 179980 .70.9255577C解得： 0.0501025 所以 a 0.9255577 ， b

6、 0.05010251x2、用 n 8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化 Simpson 公式)計(jì)算 0e dx 時(shí)， (1) 試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。 (2)用 n 8 的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化 Simpson 公式)計(jì)算出該積分的近似值。太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)b ah2 f ( ) 112 e12 12 8 21120 10.00130212 8 2 768解： RTf h7T(8) h f(a) 2 f(xk) f(b)2 k 111 2 (0.8824969 0.7788008 0.60653066 160.5352614 0.47236655 0.41686207) 0.367879470.63

7、29434四、1、方程 x3 x 1 0在 x 1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等 價(jià)形式( 1) x 3 x 1對(duì)應(yīng)迭代格式 xn 1 3 xn 1；(2) x 1 x 對(duì)應(yīng)迭x n 11 1 3代格式 n 1 xn；(3)xx3 1對(duì)應(yīng)迭代格式xn 1xn31。判斷迭代格式在 x0 1.5 的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算 x 1.5附近的根，精 確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。選一種迭代格式建立 Steffensen 迭代法，并 進(jìn)行計(jì)算與前一種結(jié)果比較，說(shuō)明是否有加速效果。123解：(1) (x) 3 (x 1) ， (1.5) 0.18 1，故收斂；( x)1(2)2x 2 1 1x ， (1.

8、5) 0.17 1，故收斂；(3) (x) 3x2 ， (1.5) 3 1.52 1，故發(fā)散。 選擇( 1)： x0 1.5， x1 1.3572， x2 1.3309，x3 1.3259 ， x4 1.3249， x5 1.32476 ， x6 1.32472x x ( (xk) xk )2 xk 1 xkSteffensen 迭代：( (xk ) 2 (xk ) xk(3 xk 1 xk )2 xk33 xk 1 1 23 xk 1 1 計(jì)算結(jié)果： x0 1.5， x1 1.324899， x2 1.324718 有加速效果。 2、已知方程組 AX f ，其中4324A341f3014，2

9、4(1) 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式 (2 )求出 Jacobi 迭代矩陣的譜半徑，寫出 SOR迭代法。太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)解： Jacobi 迭代法：x1(k 1)1 (24 3x2(k) )4(k 1) 1(k )(k )x 2 (30 3x1 x32 413x3(k 1) 1 ( 24 x2(k)3 4 2k 0,1,2,3,x1(k 1) 1 (24 3x2(k) )1 4 2x2(k 1) 14(30 3x1(k 1) x3(k)x3(k 1) 1( 24 x2(k 1)0 34 0BJ D 1(L U ) 3 4 0 3 40

10、3 4 0(k 1) ( k ) x1(k 1) (1) x1( k)4 Gauss-Seidel 迭代法： k 0,1,2,3,(BJ )58(或 410) 0.790569(24 3x2(k) )42x2(k 1) (1) x2(k)(30 3x1(k 1) x3(k) )4x3(k 1) (1)x3(k )( 24 x2(k 1)4SOR迭代法：k 0,1,2,3,五、1、取步長(zhǎng) h 0.1，dydxy1求解初值問(wèn)題 y(0) 1 用改進(jìn)的歐拉法求y(0.1) 的值；用經(jīng)典的四階龍格庫(kù)塔法求 y(0.1) 的值解：改進(jìn)的歐拉法：yn(0)1 yn hf (xn,yn) 0.9yn 0.1

11、yn 1 yn h f(xn,yn) f(xn 1,yn(0)1) 0.905yn 0.095 2所以 y(0.1) y1 1 ；經(jīng)典的四階龍格庫(kù)塔法：h yn 1 yn 6k1 2k2 2k3 k4 k1 f (xn, yn)hhk 2 f (xn, ynk1)22hhk3 f (xn 2,yn 2 k2)k4f (xnh,ynhk3 )k1k2k3k40，所以 y(0.1)y112、求一次數(shù)不高于 4 次的多項(xiàng)式 p(x) 使它滿足p(x0) f(x0), p(x1) f(x1), p (x0) f (x0), p(x1) f (x1), p(x2) f(x2)H3(xi) f (xi)解

12、：設(shè)H 3 (x) 為滿足條件 H3(xi) f (xi) i 0,1的Hermite 插值多項(xiàng)式，22則 p(x) H3(x) k(x x0) (x x1)代入條件 p(x2) f (x2) 得：太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)f (x2) H 3(x2)k2(x2 x0 )2(x2x1)2六、(下列 2 題任選一題， 4 分)1數(shù)值積分公式形如 0xf(x)dx S(x) Af(0) Bf(1) Cf (0) Df (1)1,4試確定參數(shù) A, B, C, D使公式代數(shù)精度盡量高； 2,設(shè) f(x) C 40,1 ，1推導(dǎo)余項(xiàng)公式 R(x) 0 xf(x)dx S(x)，1、23解：將 f (

13、x) 1, x, x2 , x 3分布代入公式得：并估計(jì)誤差。A 3 ,B 7 ,B20 201 ,D13020構(gòu)造 Hermite 插值多項(xiàng)式 H 3(x) 滿足x0 0,x1 1則有：1xH 3 ( x)dx S(x) ，1 f (4) ( )R(x) 0x f (x) S(x)dx 0 f (4) ( )4!2、H3(xi) f (xi)H3(xi) f (xi ) if (x) H3 (x) f ( )32x (x 1) dx 4!f (4) ( ) f (4) ( )4! 60 14400,1其中x2 (x 1)24!1 3 2 x3(x 1)2 dx用二步法yn10yn 1yn 1

14、 h f(xn,yn) (1 )f(xn 1,yn 1)y f (x, y) y(x 0) y 0 時(shí)，如何選擇參數(shù) 0, 1, 使方求解常微分方程的初值問(wèn)題 法階數(shù)盡可能高，并求局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，此時(shí)該方法是幾階的。 解：h2h3Rn,h y(xn 1) yn1 y(xn) hy(xn) h2! y(xn) h3! y (xn) 2!3!h2h30y(xn) 1(y(xn) hy (xn) 2! y (xn) 3! y (xn)h2h3h y (xn) h y(4) (xn) 2! n 3! nh y(xn) (1 )(y(xn) hy (xn)(1 01)y(xn) h(1 1 1)y (

15、xn)2 1 3 1h2(11 1 )y (xn) h3(112 2 n 6 6 21 0 1 0 101 1 1 0 所以 2 253h y (xn)主項(xiàng)： 12 n1 )y (xn ) O(h4)1032該方法是二階的。太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)數(shù)值計(jì)算方法試題二一、判斷題：、若 A是n n階非奇異陣，則必存在單位下三角陣 L 和上三角陣 U ，使 A LU 唯一成立。 （）、當(dāng) n 8時(shí)， Newtoncotes 型求積公式會(huì)產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。 （）3、形如babnf(x)dxAi f (xi )i1的高斯（ Gauss）型求積公式具有最高代數(shù)精確度的次數(shù)為 2n 1。 （）210A

16、1 1 1、矩陣012的范數(shù) A 2 。（）2aa0A0a05、設(shè)00a，則對(duì)任意實(shí)數(shù) a 0，方程組 Ax b 都是病態(tài)的（用 ） （）6、設(shè)A Rn n，Q Rn n，且有QTQ I（單位陣），則有 A 2 QA2 （）8、對(duì)矩陣 A 作如下的 Doolittle2 2 31 0 0 2 2A4 7 72 1 00b2451a100、填空題：8 4 21、設(shè) f (x) 9x8 3x 4 21x2 107、區(qū)間 a,b 上關(guān)于權(quán)函數(shù) W（x） 的直交多項(xiàng)式是存在的，且唯一。分解：316 ，a,b 的值分別為 a 2，b 2。（）則均差f20,21, ,28 9 8!， f30,31, ,3

17、9 0。2、設(shè)函數(shù) f（x）于區(qū)間 a,b上有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， p a,b為 f（x）的f （xk ） xk 1 xk m k 一個(gè)m重零點(diǎn)， Newton迭代公式f（xk） 的收斂階至少是二階。、區(qū)間 a,b 上的三次樣條插值函數(shù) S（x）在 a,b 上具有直到二階的21 ，則連續(xù)導(dǎo)數(shù)。TA4、向量 X (1, 2) , 矩陣 AX 1 16， cond( A) 90。太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)15、為使兩點(diǎn)的數(shù)值求積公式：1 f ( x)dx f (x0) f (x1)具有最高的代數(shù)精確度，則其求積基點(diǎn)應(yīng)為 x13, 3， x26、設(shè)A Rn n，AT A，則 ( A)(譜半徑) = A

18、 2 。(此處填小于、 大于、n n，AT A，則 ( A)(譜半徑) = A 2 等于)A7、設(shè)三、簡(jiǎn)答題：1、 方程 x 4 2 在區(qū)間 1,2 內(nèi)有唯一根 x ，若用迭代公式： xk 1 ln(4 xk)/ln 2 (k 0,1,2, ) ，則其產(chǎn)生的序列 xk 是否收斂 于 x * ？說(shuō)明理由。解：迭代函數(shù)為 (x) ln(4 x)/ln 2 (x)2 ，則 lkim A0 。114 x ln 21114 2 ln 212、 使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組， 一般為什么要用選主元的 技術(shù)？答： Gauss消去法能進(jìn)行到底的條件是各步消元的主元素 ( k)ak(kk) 全不為 0，如果在

19、消元過(guò)程中發(fā)現(xiàn)某個(gè)主元素為0，即使det(A) 0，則消元過(guò)程將無(wú)法進(jìn)行；其次，即使主元素不為0，(k )a(kkk)但若主元素 ak(kk )的絕對(duì)值很小，用它作除數(shù)，將使該步消元的乘 數(shù)絕對(duì)值很大， 勢(shì)必造成舍入誤差的嚴(yán)重?cái)U(kuò)散， 以致于方程組解 的精確程度受到嚴(yán)重影響，采用選主元的技術(shù)，可避免主元素很小的情況發(fā)生，從而不會(huì)使計(jì)算中斷或因誤差擴(kuò)(k)akk =0 或大太大而使計(jì)算不穩(wěn)定。f ( x) 1 cos x3、設(shè) x 0.001，試選擇較好的算法計(jì)算函數(shù)值 f ( x)x2 。2 4 2 ncos x 1 x x ( 1) n x 解： 2! 4!(2n!)24 2 n1 cos x

20、 x x ( 1) n 1 x2! 4!(2n!)1 x 2x 2n 2f (x) 1 x ( 1) n 1 x 2! 4!(2n!)四、已知數(shù)值積分公式為：h h 2 0 f (x)dx f (0) f (h) h2 f (0) f (h)0 2 ，試確定積分公式中的參 數(shù) ，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。 解： f(x) 1 顯然精確成立；太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)h h2 h 2xdx 0 h h21 10 2 2 ；h312h212 ；f (x) x 時(shí)，h 2 h3 h 2 2x2dx0 h2 h20 2h324h 3 h h 3 1 2 23x3dx0 h3h2

21、0 3h2f(x) x 2 時(shí)，f(x) x3 時(shí)， 0 4 2 12 ；4x4dx h h0 h4 1 h20 4h3 hf(x) x 4 時(shí)， 0 5 2 12 6 ； 所以，其代數(shù)精確度為 3。五、已知求 a(a 0) 的迭代公式為：1axk 1(x k) x0 0 k 0,1,2k 1 2 k 0證明：對(duì)一切 k 1,2, , xka ，且序列 xk 是單調(diào)遞減的，從而迭代過(guò)程收斂。1 a 1xk 1(xk ) 2k 1 2 k xk 2xk證明：a a k 0,1,2 xk故對(duì)一切 k 1,2, , xka 。1 a 1(1 ) (1 1) 12xk2 2所以 xk 1 xk ，即序

22、列 xk 是單調(diào)遞減有xkxk 1 又 xk 下界，從而迭代過(guò)程收斂。330 f (x)dx f(1) f (2)0 2 是否為插值型求積公六、(9 分)數(shù)值求積公式 式？為什么？其代數(shù)精度是多少？ 解 ： 是 。 因 為f(x)在 基 點(diǎn) 1 、 2 處 的 插 值 多 項(xiàng) 式 為x2x1p(x)x2f (1)x1f(2)122133 p(x)dx f(1) f (2)0 2 。其代數(shù)精度為 1。七、設(shè)線性代數(shù)方程組 AX b中系數(shù)矩陣 A非奇異， X 為精確解，b 0，若向量 X 是 AX b的一個(gè)近似解，殘向量 r b AX ，證明XX估計(jì)式： X 容)。cond ( A)cond (

23、A) b (假定所用矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相證明：由題意知：AX b,AX b rA(X X )r X X A 1r太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)AX又b b AX A XX1 bAXXA 1 r b cond (A) A所以 X b cond ( A) b 。八、設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 0,3 上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求滿足 下列插值條件的一個(gè)次數(shù)不超過(guò) 3 的插值多項(xiàng)式 H (x)，并導(dǎo)出 其余項(xiàng)。i012xi012f (xi )-113f (xi )3解：設(shè) H(x) N2 (x) ax(x 1)(x 2)1N2(x) f (0) f 0,1( x 0) f 0,1,2( x 0)(x 1) 1

24、 2x (x 0)(x 1) 2所以由H1H(x) 1 2x x(x 1) ax(x 1)(x 2)1a452x 2 3x 14(0) 3 得：H(x) 1 x34所以令R(x) f(x) H (x) ，作輔助函數(shù) g(t) f (t) H(t) k(x)t2(t 1)(t 2) 則g(t)在0,3上也具有 4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且至少有 4個(gè)零點(diǎn)： t x,0,1，2 ( )4! ，( g(4)( ) 0)2 f (4) ( ) 2R(x) f(x) H(x) k(x)x2(x 1)(x 2)x2(x 1)(x 2)所以 4!九、設(shè) n(x) 是區(qū)間 a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù) w(x)的直交多項(xiàng)式序列， x

25、i(i 1,2, ,n,n 1)為 n 1(x) 的零點(diǎn)， li(x)(i 1,2, ,n,n 1) 是以 xi 為基點(diǎn)的拉格朗日(Lagrange) 插值bn 1f(x)w(x)dxAk f (xk )ak 1為高斯型求積公式，證明：n1Ai k(xi) j (xi) 01) 當(dāng) 0 k,j n,k j 時(shí) ， i 1 Ai k(xi) j (xi) 0 ( 2 )反復(fù)利用羅爾定理可得： k(x)基函數(shù)，太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)b n 1 b 2bn 1a f (x)w(x)dxAk f ( xk )ak 1lk(x)lj(x)w(x)dx 0 (k j) alk (x)w(x)dx a

26、w(x)dx a( 3) k 1的高斯( Gauss)型求積公證明：形如 式具有 最高代數(shù)精度 2n+1次，它對(duì) f (x)取所有次數(shù)不超過(guò) 2n+1 次的 多項(xiàng)式均精確成立n 1bAi k(xi) j (xi) a k(x) j (x)w(x)dx 01) i 1ali (xj )2)因?yàn)?li(x)是 n次多項(xiàng)式，且有 i j bn 1lk(x)lj(x)w(x)dxAilk(xi)l j(xi) 0所以 ai 123)取 f(x) li2(x) ，代入求積公式：因?yàn)?b n 1 2 ali(x)w(x)dxAjli(xj )2 Ai所以 a i j 1 j i j in 1 b 2n 1

27、blk2(x)w(x)dxAkw(x)dxk 1 ak 1a故結(jié)論成立。十、若 f (x)n 1(x) (x x0 )(x x1) (x xn)fx0,x1, ,xp 的值，其中 p n 1。解：ij j(k2li2(x)是 2n 次多項(xiàng)式，j)，xi (i 0,1, ,n)互異，求p f (xi )fx0,x1, ,xp p i 0i 0(xi xj )jj i0 f (n 1) ( ) 1 (n 1)! 1fx0,x1, ,xn 1、填空題pn數(shù)值計(jì)算方法試題三(1) 改變函數(shù) f(x) x 1 x ( x 1 )的形式，使計(jì)算結(jié)果較精太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)fx(2)若用二分法求方程

28、 f x 0在區(qū)間 1,2 內(nèi)的根，要求精確到第3 位小數(shù)，則需要對(duì)分 10 次。(3)設(shè)fxx12 x22x1x22x1 2x2，則 f xx2x1(4)Sx 設(shè)2x3, 0 x 132x ax bx c,1 x 2是 3 次樣條函數(shù)，則a=3, b=-3 , c=1 。1x(5)若用復(fù)化梯形公式計(jì)算0e dx ，要求誤差不超過(guò) 10 6，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用 477 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。x1 1.6x2 1(6) 寫出求解方程組 0.4x1 x2 2 的 Gauss-Seidel 迭代公式x1k 1 1 1.6x2k0 1.6x2k 12 0.4x1k 1 ,k 0,1,，迭代矩陣為0 0.6

29、4此迭代法是否收斂收斂54(7) 設(shè) A 4 3 , 則 A 9， Cond A 91。(8) 若用 Euler 法求解初值問(wèn)題 y 10y, y 0 1，為保證算法的 絕對(duì)穩(wěn)定，則步長(zhǎng) h 的取值范圍為 h0.2二. 1. 寫出求方程 4x cosx 1在區(qū)間 0,1 的根的收斂的迭代公 式，并證明其收斂性。xn 1xn 41 cosxn ，n=0,1,2,11 x 4 sin x 4 1 對(duì)任意的初值 x0 0,1, 迭代公式都收斂。太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)2. 以 100,121,144 為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算 115的近似值，并利 用余項(xiàng)估計(jì)誤差。用 Newton 插值方法：差分

30、表：1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f x 83xfR 115 100 115 121 115 144 3!51 3 2100 2 15 6 29 0.00163683. 求 f x ex在區(qū)間0,1 上的1次最佳平方逼近多項(xiàng)式。1, 11, 2c1f , 12, 12 , 2c2f, 2設(shè) x c1 1 x c2 2 x c1 c2 x1 1 11, 10dx 1， 1, 2 0xdx 2 ，0 ，

31、，1 2 1 1 11 1 2 c1e 11 2 1 3 c2 12 , 2 0 x dx 3 ， f , 1 exp( x)dx e 1， f , 2 xexp( x)dx 1c10 . 8731c2 1.690 , x 0.8731 1.690xx 4e 10 18 6e x =0.873127+1.69031xI 1 sin x dx4. 用復(fù)化 Simpson 公式計(jì)算積分 I 0 x dx 的近似值，要求誤差限 為 0.5 10 5 。太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)S1 1 f 0 4f 1 f 1 1 6 20.94614588S2112 f 0 4f14 2f 124 f 34f

32、10.9460869315 S 2S10.393 10 -5I S2 0.94608693或利用余項(xiàng)：f x sin x 124xx 3! 5! 7!68xx9!f (4 ) x1555R b a 4 f ( 4)2880 n 424xx7 2! 9 4!(4) x1554 0.5 10 5 2880 5n 4 ，n 2 ， I S25. 用 Gauss列主元消去法解方程組：x1 4x2 2x3 243x1 x2 5x3 342x1 6x 2 x3 273.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -

33、2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0000 0.0000 1.9375 9.6875x 2.0000,3.0000,5.0000 T6. 求方程組的最小二乘解1 .33332 .00003 6 x18AT A x ATb ， 6 14 x220若用 Householder 變換，則：太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)1.73205A,b3.46410 4.618800.366031 .520731.366032 .520731 .73205003.464104 .618801 . 414212

34、 . 8284300 . 81650最小二乘解：(-1.33333 ，2.00000) T.7. 已知常微分方程的初值問(wèn)題：dy dx x y , 1 x 1.2y(1) 2用改進(jìn)的 Euler 方法計(jì)算 y(1.2) 的近似值，取步長(zhǎng) h 0.2。k1f x0,y00.5，k2 fx1,y0hk1 1.1 2 0.2 0.50.5238095y1y0 h k1k2 2 0.10.50.5238095 2.10714292三在下列 5 個(gè)題中至多選做 3 個(gè)題)(1) 求一次數(shù)不超過(guò) 4 次的多項(xiàng)式 p(x) 滿足：p1 15， p1 20， p 1 30， p 2 57， p 2 72差分表：11520115152071152214282573072257p x 15 20 x 1 15 x 1 2 7 x 1 3 x 1 3 x 25 4x 3x2 2x3 x4其他方法：設(shè) p x 15 20 x 1 15 x 1 2 x 1 3 ax b太原理工大學(xué)數(shù)值計(jì)算方法題庫(kù)令 p 2 57 ， p 2 72 ，求出 a 和 b(2) 構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式， 并求出其代數(shù)精度：1xf x dx A0 fA1 f 1取 f(x)=1,x ，令公式準(zhǔn)確成