2024屆浙江省寧波市九校余姚中學高三下學期期中（文理）數學試題

2024屆浙江省寧波市九校（余姚中學高三下學期期中（文理）數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合；②雙曲線E與過點的冪函數的圖象交于點Q，且該冪函數在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點．則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．2．《易經》包含著很多哲理，在信息學、天文學中都有廣泛的應用，《易經》的博大精深，對今天的幾何學和其它學科仍有深刻的影響．下圖就是易經中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．3．對于定義在上的函數，若下列說法中有且僅有一個是錯誤的，則錯誤的一個是（）A．在上是減函數 B．在上是增函數C．不是函數的最小值 D．對于，都有4．已知集合，，若，則實數的值可以為（）A． B． C． D．5．已知實數滿足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．06．根據最小二乘法由一組樣本點（其中），求得的回歸方程是，則下列說法正確的是()A．至少有一個樣本點落在回歸直線上B．若所有樣本點都在回歸直線上，則變量同的相關系數為1C．對所有的解釋變量（），的值一定與有誤差D．若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關7．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則8．若復數滿足，則（其中為虛數單位）的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．是虛數單位，復數在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．若非零實數、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．11．在中，內角所對的邊分別為，若依次成等差數列，則（）A．依次成等差數列 B．依次成等差數列C．依次成等差數列 D．依次成等差數列12．函數的圖象與函數的圖象的交點橫坐標的和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中,點在曲線：上,且在第四象限內．已知曲線在點處的切線為,則實數的值為__________．14．已知直角坐標系中起點為坐標原點的向量滿足，且，，，存在，對于任意的實數，不等式，則實數的取值范圍是______.15．如圖，半球內有一內接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為__________.16．若復數滿足，其中是虛數單位，是的共軛復數，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設為坐標原點，動點在橢圓：上，該橢圓的左頂點到直線的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓外一點滿足，平行于軸，，動點在直線上，滿足.設過點且垂直的直線，試問直線是否過定點？若過定點，請寫出該定點，若不過定點請說明理由.18．（12分）某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學季內，每售出1盒該產品獲利50元，未售出的產品，每盒虧損30元.根據歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該同學為這個開學季進了160盒該產品，以（單位：盒，）表示這個開學季內的市場需求量，（單位：元）表示這個開學季內經銷該產品的利潤.（1）根據直方圖估計這個開學季內市場需求量的平均數和眾數；（2）將表示為的函數；（3）以需求量的頻率作為各需求量的概率，求開學季利潤不少于4800元的概率.19．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若，角為鈍角，（1）求的值；（2）求邊的長.20．（12分）在三棱柱中，四邊形是菱形，，，，，點M、N分別是、的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.21．（12分）已知函數，其中．（Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）設，求證：；（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．22．（10分）在平面直角坐標系中，已知直線l的參數方程為（t為參數），在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中，曲線C的極坐標方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點A，B，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數為,設出切點通過導數求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率．【詳解】依題意可得，拋物線的焦點為，F關于原點的對稱點；，，所以，，設，則，解得，∴，可得，又，，可解得，故雙曲線的離心率是.故選B．【點睛】本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數解析式,直線的斜率公式及導數的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.2、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個等腰三角形，頂角為，設三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎題.3、B【解析】

根據函數對稱性和單調性的關系，進行判斷即可．【詳解】由得關于對稱，若關于對稱，則函數在上不可能是單調的，故錯誤的可能是或者是，若錯誤，則在，上是減函數，在在上是增函數，則為函數的最小值，與矛盾，此時也錯誤，不滿足條件．故錯誤的是，故選：．【點睛】本題主要考查函數性質的綜合應用，結合對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵．4、D【解析】

由題意可得，根據，即可得出，從而求出結果．【詳解】，且，，∴的值可以為．故選：D．【點睛】考查描述法表示集合的定義，以及并集的定義及運算．5、B【解析】

作出可行域，平移目標直線即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經過點時，其截距最大，此時最大得，當時，故選：B【點睛】考查線性規(guī)劃，是基礎題.6、D【解析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數據中心點，但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤；所有樣本點都在回歸直線上，則變量間的相關系數為，故B錯誤；若所有的樣本點都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯誤；相關系數r與符號相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點分布應從左到右是上升的，則變量x與y正相關，故D正確．故選D．【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】

根據空間中直線與平面、平面與平面位置關系相關定理依次判斷各個選項可得結果.【詳解】對于，當為內與垂直的直線時，不滿足，錯誤；對于，設，則當為內與平行的直線時，，但，錯誤；對于，由，知：，又，，正確；對于，設，則當為內與平行的直線時，，錯誤.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中線面關系、面面關系有關命題的辨析，考查學生對于平行與垂直相關定理的掌握情況，屬于基礎題.8、B【解析】

根據復數的幾何意義可知復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，再根據復數的幾何意義即可確定，即可得的最大值.【詳解】由知，復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復數對應的點與點間的距離，又復數對應的點所在圓的圓心到的距離為1，所以.故選：B【點睛】本題考查了復數模的定義及其幾何意義應用，屬于基礎題.9、D【解析】

求出復數在復平面內對應的點的坐標，即可得出結論.【詳解】復數在復平面上對應的點的坐標為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數對應的點的位置的判斷，屬于基礎題.10、C【解析】

令，則，，將指數式化成對數式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數式與對數式的轉化，考查推理能力，屬于中等題．11、C【解析】

由等差數列的性質、同角三角函數的關系以及兩角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，從而可得結果.【詳解】依次成等差數列，，正弦定理得，由余弦定理得，，即依次成等差數列，故選C.【點睛】本題主要考查等差數列的定義、正弦定理、余弦定理，屬于難題.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．12、B【解析】

根據兩個函數相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數的圖象與函數的圖象交點的橫坐標的和，故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象及給值求角，側重考查數學建模和數學運算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先設切點,然后對求導,根據切線方程的斜率求出切點的橫坐標,代入原函數求出切點的縱坐標,即可得出切得,最后將切點代入切線方程即可求出實數的值.【詳解】解:依題意設切點,因為,則,又因為曲線在點處的切線為,,解得,又因為點在第四象限內,則,.則又因為點在切線上.所以.所以.故答案為:【點睛】本題考查了導數的幾何意義,以及導數的運算法則和已知切線斜率求出切點坐標,本題屬于基礎題.14、【解析】

由題意可設，，，由向量的坐標運算，以及恒成立思想可設，的最小值即為點，到直線的距離，求得，可得不大于．【詳解】解：，且，可設，，，，可得，可得的終點均在直線上，由于為任意實數，可得時，的最小值即為點到直線的距離，可得，對于任意的實數，不等式，可得，故答案為：．【點睛】本題主要考查向量的模的求法，以及兩點的距離的運用，考查直線方程的運用，以及點到直線的距離，考查運算能力，屬于中檔題．15、【解析】

由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關系，進而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關系，進而求得結果.【詳解】設所給半球的半徑為，則四棱錐的高，則，由四棱錐的體積，半球的體積為：.【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.16、【解析】

設，代入已知條件進行化簡，根據復數相等的條件，求得的值.【詳解】設，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復數，考查復數相等的條件，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據點到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根據，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根據向量的運算可得，即可證明．【詳解】（1）左頂點A的坐標為（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴橢圓C的標準方程為+y2＝1，（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），則依題意可知y1≠y0，得（x0﹣2x0，y1﹣2y0）（0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y(tǒng)0（舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴?＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F．【點睛】本題考查了橢圓方程的求法，直線和橢圓的關系，向量的運算，考查了運算求解能力和轉化與化歸能力，屬于中檔題.18、（1），眾數為150；（2）；（3）【解析】

（1）由頻率直方圖分別求出各組距內的頻率，由此能求出這個開學季內市場需求量的眾數和平均數；（2）由已知條件推導出當時，，當時，，由此能將表示為的函數；（3）利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率．【詳解】（1）由直方圖可估計需求量的眾數為150，由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：∴估計需求量的平均數為：（2）當時，當時，∴（3）由（2）知當時，當時，得∴開學季利潤不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查函數解析式的求法，考查概率的估計，是中檔題，解題時要注意頻率分布直方圖的合理運用．19、（1）（2）【解析】

（1）由，分別求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．【詳解】(1)因為角為鈍角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因為，且，所以，又，則，所以.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出平面即可；（2）求出點A到平面的距離，然后根據棱錐的體積公式即可求出四棱錐的體積.【詳解】（1）連接，由是平行四邊形及N是的中點，得N也是的中點，因為點M是的中點，所以，因為，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）過A作交于點O，因為平面平面，平面平面，所以平面，由是菱形及，得為三角形，則，由平面，得，從而側面為矩形，所以.【點睛】本題主要考查了面面垂直的證明，求四棱錐的體積，屬于一般題.21、（Ⅰ）函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用二次求導可得，所以在上為增函數，進而可得函數的單