基于LQR控制的單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究綜述

1、智能控制技術(shù)研究報(bào)告 題目： 基于 LQR控制的單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究 學(xué) 院： 電氣工程學(xué)院 年級(jí)專業(yè)：儀器儀表工程 學(xué) 號(hào)： 學(xué)生姓名： 日期： 2014.1.5 第一章 緒論 1.1 課題的研究背景和意義 倒立擺是日常生活中許多重心在上、 支點(diǎn)在下的控制問題的抽象模型， 本身 是一種自然不穩(wěn)定體， 它在控制過程中能有效地反映控制中許多抽象而關(guān)鍵的問 題，如系統(tǒng)的非線性、可控性、魯棒性等問題。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制就是使小車 以及擺桿盡快地達(dá)到預(yù)期的平衡位置，而且還要使它們不會(huì)有太強(qiáng)的振蕩幅度、 速度以及角速度， 當(dāng)?shù)沽[系統(tǒng)達(dá)到期望位置后， 系統(tǒng)能克服一定范圍的擾動(dòng)而 保持平衡。作為一種控制裝

2、置，它具有形象直觀、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于模擬實(shí)現(xiàn)多種 不同控制方法的特點(diǎn)，作為一個(gè)被控對(duì)象它是一個(gè)高階次、非線性、多變量、強(qiáng) 耦合、不穩(wěn)定的快速系統(tǒng)。 由于倒立擺系統(tǒng)的特殊性， 許多不同領(lǐng)域的專家學(xué)者 在檢驗(yàn)新提出理論的正確性和實(shí)際可行性時(shí)，都將倒立擺系統(tǒng)作為實(shí)驗(yàn)測(cè)試平 臺(tái)。再將經(jīng)過測(cè)試后的控制理論和控制方法應(yīng)用到更為廣泛的領(lǐng)域中去。 現(xiàn)代控制理論已經(jīng)在工業(yè)生產(chǎn)過程、 軍事科學(xué)、 航空航天等許多方面都取得 了成功的應(yīng)用。 例如極小值原理可以用來解決某些最優(yōu)控制問題； 利用卡爾曼濾 波器可以對(duì)具有有色噪聲的系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)； 預(yù)測(cè)控制理論可以對(duì)大滯后過程 進(jìn)行有效的控制。 但是它們都有一個(gè)基本的要求：

3、 需要建立被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué) 模型。隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，各個(gè)領(lǐng)域?qū)ψ詣?dòng)控制控制精度、響應(yīng)速度、系 統(tǒng)穩(wěn)定性與適應(yīng)能力的要求越來越高， 所研究的系統(tǒng)也日益復(fù)雜多變。 然而由于 一系列的原因，諸如被控對(duì)象或過程的非線性、時(shí)變性、多參數(shù)間的強(qiáng)烈耦合、 較大的隨機(jī)干擾、過程機(jī)理錯(cuò)綜復(fù)雜、各種不確定性以及現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量手段不完善等， 難以建立被控對(duì)象的精確模型。 雖然常規(guī)自適應(yīng)控制技術(shù)可以解決一些問題， 但 范圍是有限的。對(duì)于像二級(jí)倒立擺這樣的非線性、多參數(shù)、強(qiáng)耦合的被控對(duì)象， 使用傳統(tǒng)控制理論難以達(dá)到良好的控制性能。而模糊控制理論能夠克服這些困 難，達(dá)到實(shí)際設(shè)計(jì)要求。 本文圍繞單級(jí)倒立擺系統(tǒng)， 通過對(duì)各

4、種控制方法之間， 優(yōu)缺點(diǎn)的比較， 最終 采用了 LQR 方法研究倒立擺系統(tǒng)與仿真問題，仿真的成功證明了本文設(shè)計(jì)的模 糊控制器有很好的穩(wěn)定性。 1.2 倒立擺控制方法簡(jiǎn)介 對(duì)倒立擺系統(tǒng)這樣一個(gè)典型的非線性、 強(qiáng)耦合、極不穩(wěn)定的復(fù)雜的被控對(duì)象 進(jìn)行研究，無論在理論上還是在方法上都具有其重要的意義， 各種控制理論， 控 制方法都可以在這里得到充分的實(shí)踐， 并且可以促成各種不同方法之間的有機(jī)結(jié) 合。當(dāng)前， 倒立擺的控制方法大致可以分為線性控制、 預(yù)測(cè)控制和智能控制三大 類。 自從倒立擺產(chǎn)生以后， 國(guó)內(nèi)外的專家學(xué)者就不斷對(duì)它進(jìn)行研究， 其研究主要 集中在下面兩個(gè)方面： （1）倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制的研究（

5、 2）倒立擺系統(tǒng)的自 起擺控制研究而就這兩方面而言， 從目前的研究情況來看， 大部分研究成果又都 集中在第一方面即倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制的研究。 目前，倒立擺的控制方法可分 如下幾類： （1）線性理論控制方法將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理獲得 系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化模型， 然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法得到 期望的控制器。如 1976 年 Morietc 的把倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近線性化利用狀 念空間的方法設(shè)計(jì)比例微分控制器。 1980年，F(xiàn)uruta etc 基于線性化方法，實(shí)現(xiàn) 了二級(jí)倒立擺的控制。 1984年， Furuta 首次實(shí)現(xiàn)雙電機(jī)三級(jí)倒立擺實(shí)物控制。 1984

6、年， wattes 研究了 LQR（Linear Quadratic Regulator） 方法控制倒立擺。這 類方法對(duì)一、二級(jí)的倒立擺 （線性化后誤差較小、模型較簡(jiǎn)單 ）控制時(shí)，可以解決 常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問題。但對(duì)于像非線性較強(qiáng)、模型較復(fù)雜的多變量系統(tǒng) （三、四級(jí)以及多級(jí)倒立擺 ）線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的局限性就十分明顯了。 （2）預(yù)測(cè)控制和變結(jié)構(gòu)控制方法由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量、 非線性之間的矛盾使人們意識(shí)到針對(duì)多變量、 非線性對(duì)象， 采用具有非線性特性 的多變量控制解決多變量、非線性系統(tǒng)的必由之路。人們先后開展了預(yù)測(cè)控制、 變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制的研究。 預(yù)測(cè)控制是一種優(yōu)化控制方

7、法， 強(qiáng)調(diào)實(shí)模型的 功能而不是結(jié)構(gòu)。 變結(jié)構(gòu)控制是一種非連續(xù)控制， 可將控制對(duì)象從任意位置控制 到滑動(dòng)曲面上，仍然保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性， 但是系統(tǒng)存在顫抖。 預(yù)測(cè)控制、 變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制在理論上有較好的控制效果， 但由于控制方法復(fù)雜， 成 本也高，不易在快速變化的系統(tǒng)上實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。 （3）智能控制方法在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控 制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 自適應(yīng)能力、 并行處理和高度魯棒性， 采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)將具有 更快的速度、 更強(qiáng)的適應(yīng)能力和更強(qiáng)的魯棒性。 但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法存在的主 要問題是缺乏一種

8、專門適合于控制問題的動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，而且多層網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)、 隱層神經(jīng)元的數(shù)量、 激發(fā)函數(shù)類型的選擇缺乏指導(dǎo)性原則等。 擬人智能控制模糊 控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等智能控制理論的問世，促進(jìn)了當(dāng)代自動(dòng)控制理論的發(fā)展。 然而，基于這些智能控制理論所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)往往需要龐大的知識(shí)庫和相應(yīng)的推理 機(jī)，不利于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。 這又阻礙了智能控制理論的發(fā)展， 因此又有學(xué)者提出 了一種新的理論一擬人控制理論。 仿人智能控制仿人智能控制的基本思想是通過 對(duì)人運(yùn)動(dòng)控制的宏觀結(jié)構(gòu)和手動(dòng)控制行 為的綜合模仿， 把人在控制中的“動(dòng)覺智能”模型化， 提出了仿人智能控制 方法。研究結(jié)果表明， 仿人智能控制方法解決復(fù)雜、 強(qiáng)非線性系統(tǒng)的控

9、制具有很 強(qiáng)的實(shí)用性。云模型控制利用云模型實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制， 用云模型構(gòu)成語言值， 用語言值構(gòu)成規(guī)則， 形成一種定性的推理機(jī)制。 這種擬人控制不要求給出被控對(duì) 象精確的數(shù)學(xué)模型， 僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗(yàn)、 感受和邏輯判斷， 將人用自然語言表達(dá) 的控制經(jīng)驗(yàn)， 通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中， 就能解決非線性 問題和不確定性問題。魯棒控制方法 - 魯棒控制的研究始于 20世紀(jì) 50年代，是 一種解決非線性、 復(fù)雜性和不確定性的工具， 發(fā)展方向是面向那些不確定因素變 化范圍大和穩(wěn)定裕度小的對(duì)象。但是，魯棒控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要由高級(jí)專家完成。 一旦設(shè)計(jì)成功，就不需太多的人工干預(yù)。另一方面，如果要升

10、級(jí)或作重大調(diào)整， 系統(tǒng)就要重新設(shè)計(jì)。 第二章 單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的建模 2.1單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在忽略了空氣阻力， 各種摩擦之后， 可將直線單極倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和 勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖 1所示。 x 圖 1 單極倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖 其中： M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿質(zhì)量 F 加在小車上的力 x 小車位置 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 采用牛頓動(dòng)力學(xué)方法可建立單極倒立擺系統(tǒng)的微分方程如下： M m x bx ml cos ml sin F I ml 2mgl sin m

11、lx cos 倒立擺的平衡是使倒立擺的擺桿垂直于水平方向倒立，所以假設(shè) ， 為足夠小的角度，即可近似處理得： cos1，sin， 2 0 ， ， t2 0 用 來代表被控對(duì)象的輸入力 F ，線性化后兩個(gè)方程如下： I ml2mgl mlx M m x bx ml 取狀態(tài)變量： x1 x2 x3 x x4 x x 則系統(tǒng)的狀態(tài)方程 即擺桿的角度和角速度以及小車的位移和速度四個(gè)狀態(tài)變量。 為： x1 x2 mgl M m x22 I M m Mml 2 x3 * x4 x1 ml m2gl I M m Mml x1 IM m Mml I ml 2 2 I M m Mml 2 第三章 LQR控制器的

12、建立 最優(yōu)控制理論主要是依據(jù)龐德里亞金的極值原理， 通過對(duì)性能指標(biāo)的優(yōu)化尋 找可以使目標(biāo)極小的控制器。其中線性二次型性能指標(biāo)因?yàn)榭梢酝ㄟ^求解 Riccatti 方程得到控制器參數(shù)，并且隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，求解過程變得越來 越簡(jiǎn)便，因而在線性多變量系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中應(yīng)用較廣。 利用線性二次型性能 指標(biāo)設(shè)計(jì)的控制器稱作 LQR 控制器。前面我們已經(jīng)得到了直線單級(jí)倒立擺系統(tǒng) 的比較精確的動(dòng)力學(xué)模型，下面我們針對(duì)直線型單極級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用 LQR 法 設(shè)計(jì)與調(diào)節(jié)控制器，控制擺桿保持倒立平衡的同時(shí)，跟蹤小車的位置。 實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下 M 1. 32kg m 0. 07kg b 0. 1N /m

13、/s l 0. 2m0 2 I 0. 0 0 0k9g m2 T 0. 00s5 倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)方程為： x10 x238.1825 x30 x40.3847 x3 x1 y 1 0 0 0 x2 y x 0 0 1 0 x4 應(yīng)用線性反饋控制器，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 2。圖中 R 是施加在小車上的階躍 輸入四個(gè)狀態(tài)量 x1， x2， x3 ， x4 ，分別代表小車位移、小車速度、擺桿位置和 擺桿角速度，輸出 yx T包括小車位擺桿角度。 設(shè)計(jì)控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施 加一個(gè)階躍輸入時(shí)， 擺桿會(huì)置和擺動(dòng)， 然后仍然回到垂直位置， 小車可以到達(dá)新 的指定位置。 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn) （四個(gè)狀態(tài)量都可測(cè)

14、） ，找出確定反饋控制規(guī)律 K。 用 Matlab 中的 lqr 函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的 K 。lqr 函數(shù)允許選擇兩個(gè)參 數(shù)（R和 Q），這兩個(gè)參數(shù)用來平衡輸入量和狀態(tài)量。最簡(jiǎn)單的情況是假設(shè)R=1， Q C C 。當(dāng)然，也可以通過改變 Q 矩陣中的非調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。 R + V y x Ax B - y Cx x K y Cx 圖 2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 第四章 仿真結(jié)果分析及程序 4.1程序 %單級(jí)倒立擺 LQR控制仿真 clc clear M=1.32; %小車的質(zhì)量 m=0.07; %擺桿的質(zhì)量 b= 0.1; %小車摩擦系數(shù) l=0.2; %長(zhǎng)度 g=10; %重力加速

15、度 I=m*l*l/2;%擺桿慣量 Q=10 0 0 0;0 2 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;%狀態(tài)加權(quán)系數(shù)矩陣 R=0.25;%控制加權(quán)系數(shù)矩陣 %系統(tǒng)線性模型的狀態(tài)方程 %A=0 1 0 0;38.1825 0 0 0;0 0 0 1;-0.3847 0 0 0; %B=0 -2.8037 0 0.7477; A=0 1 0 0; m*l*g*(m+M)/(I*(m+M)+m*M*l*l) 0 0 -m*l*b/(I*(m+M)+m*M*l*l); 0 0 0 1; m*m*l*l*g/(I*(m+M)+m*M*l*l) 0 0 l*(I+m*l*l)*b/(I*(m+M)+m

16、*M*l*l); B=0 m*l/(I*(m+M)+m*M*l*l) 0 (I+m*l)/(I*(m+M)+m*M*l*l); C=1 0 0 0; 0 0 1 0; %建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 D=0 0; sys=ss(A,B,C,D)%建 %能控矩陣的秩為 4 時(shí) 系統(tǒng)完全可控 control=ctrb(A,B); if (rank(control)=4) disp（ 系統(tǒng)完全可控 ）; else disp( end 系統(tǒng)不完全可控 ） %狀態(tài)加權(quán)系數(shù)矩陣 %控制加權(quán)系數(shù)矩陣 %計(jì)算最優(yōu)狀態(tài)反饋的解 %零輸入響應(yīng) Q=10 0 0 0;0 2 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1; R=

17、0.25; K,P,E=lqr(A,B,Q,R); %仿真 A_new=A-B*K; sys_new=ss(A_new,B,C,D) x0=0.1 0 0 0;%初始條件 y,t,x=initial(sys_new,x0); u=-K*x; %控制量 % figure(1) % step(sys); % gtext(反饋前 ) % figure(2) % step(sys_new); % gtext(反饋前 ) figure(1) subplot(4,1,1),plot(t,x(:,1), r- ),grid on ylabel( 擺桿偏角 ) title（ 閉環(huán)系統(tǒng)（線性二次型最優(yōu)） ) s

18、ubplot(4,1,2),plot(t,x(:,2), r- ),grid on ylabel( 角速度 ) subplot(4,1,3),plot(t,x(:,3), b- ),grid on ylabel( 小車位移 ) subplot(4,1,4),plot(t,x(:,4), b- ),grid on ylabel( 小車速度 ) xlabel( 秒 ) figure(2) plot(t,u),grid on xlabel( 秒 ),ylabel( 控制量 ) title( 閉環(huán)系統(tǒng)(線性二次型最優(yōu)) 4.2仿真結(jié)果及分析 圖 3仿真結(jié)果 圖 4仿真結(jié)果 由圖4可以看出，系統(tǒng)能較好的跟蹤階躍信號(hào)， 擺桿的超調(diào)量足夠小 , 穩(wěn)態(tài)誤 差、上升時(shí)間與調(diào)整時(shí)間也符合設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。這時(shí)假如再增大 Q , 系統(tǒng)的響應(yīng) 還會(huì)有所改善 , 但是在保證 Q足夠小并兼顧其它響應(yīng)指標(biāo)時(shí) , 系統(tǒng)響應(yīng)已經(jīng)能夠滿 足要求了。 第五章 結(jié)論 本文圍繞著單極倒立擺系統(tǒng)，采用 LQR 控制理論深入探討了倒立擺系統(tǒng)的 控制問題。并用 Matlab 進(jìn)行了對(duì)單極倒立擺系統(tǒng)的仿真工作，取得了較好的效 果。從仿真結(jié)構(gòu)來看，采用 LQR 模型，可以獲得良好的控制精度和響應(yīng)速度。 本文主要完成了兩個(gè)任務(wù)；一是采用 LQR 控制的方法對(duì)單極級(jí)倒立擺系統(tǒng) 進(jìn)行了建模以及對(duì) LQR 控制器進(jìn)行了設(shè)計(jì)；二是對(duì)單極