極限的求法與技巧

1、?對(duì)于這一問題只能針對(duì)小同函數(shù)極限的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，那么如何根據(jù)表達(dá)式求岀極限值呢體型采取相應(yīng)的求法。下面概括了常用的若干求極限的方法，更多方法，有賴于人們?nèi)タ偨Y(jié)和發(fā)現(xiàn)。1. 運(yùn)用極限的定義例：用極限定義證明lim %2 3x 21x 2x2 3x 2 d1x2 4x 4x 2x 2證：由則當(dāng)0x2 3x 2 ,1由函數(shù)極限定義有：3x2lim x 2 x 22. 利用等價(jià)無窮小替換常用的等價(jià)無窮小關(guān)系:a,xxex 1 x, ioga(1 x)需，a1 x In、1 x 1 2x, (1 x) 1 x, In(1 x) x,等價(jià)無窮小代換法設(shè)，都是同一極限過程中的無窮小量，且有：lim

2、 1存在,則 lim 也存在，且有l(wèi)im = lim例:求極限limx 021 cosx-22 x sin xsin x1 cos x2 2(x )2注:lim 1x 02 cosx22 . x sin x(x )222x x在利用等價(jià)無窮小做代換時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)”一般只在以乘積形式岀現(xiàn)時(shí)可以互換，若以和、差岀現(xiàn)時(shí)，不要輕若 lim f (x)A lim g(x)X X0Bx x0(I)lim f(x)x xg(x)xinX0f (x) lim g(x) Ax x(II)lim f (x)X x0g(x) limX X。f (x) lim g(x) A

3、 BX x0(iii)若B工0則：f (x) limx x0 g(x)lim f (x)X X0Alim g(x)X X0B(IV)lim c f (x) c lim f (x) cA(c 為常數(shù))X x0X x0極限的四則運(yùn)算法則敘述如下:時(shí)也同樣成立上述性質(zhì)對(duì)于x,x,x差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商?？偟恼f來,就是函數(shù)的和、B易代換，3 利用極限的四則運(yùn)算法則例：求xm2x2 3x 5xm22 2x 3x 5 232554、利用兩個(gè)重要的極限。(B)lim (1x(A) lim1Ix 0 x但我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(A) lim sin (x)1,(x)0)(X)e,

4、( (x)例：求下列函數(shù)極限ax 1、肌In cosax(2)、00lncosbx解：（1）令 ax 1 u,則 xln(1 u)于是 ax 1In axu l n aln(1 u)又當(dāng)x 0時(shí)，ux 4故有:lim a 1x 0lim ulnau 0ln(1 u)lim lnau 0 ln(1 u)limu 0ln(1ln a ,? ln a uf、原式ln (1(cos ax1)ln1(cosbx1)ln(1(cosax1) cosbx 1cosax 1cosax 1ln1(cosbx1)ux叫xm0cosbx 1 cosbx 1limx 0 cosax 1Ixm02si n2 x22 b

5、2 sin x2limx.2 asin x2a 2(-x)0. 2 bsin x2_/b 2(2x)/b 、2(x)2a 2(；x)2b22a5、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系(I)若:lim f (x)則lim1 0f(x)(II)若:lim f (x)0且 f(x)工0 則lim f(x)例：求下列極限11limlimxx 5x 1 x 1解:由lim(x5)1故lim0xx x 5由lim(x1)01故lim=x 1x 1 x 16.變量替換分析 當(dāng) 時(shí),分子、分母都趨于，不能直接應(yīng)用法則，注意到，故可作變量替換解原式=(令，引進(jìn)新的變量，將原來的關(guān)于 的極限轉(zhuǎn)化為 的極限.)=.(型，最

6、高次冪在分母上)7.分段函數(shù)的極限例設(shè)討論在點(diǎn)處的極限是否存在.分析所給函數(shù)是分段函數(shù)，是分段點(diǎn)，要知是否存在，必須從極限存在的充要條件入手解因?yàn)樗圆淮嬖?注1因?yàn)閺牡淖筮呞呌?，則，故注2因?yàn)閺牡挠疫呞呌?，則，故8利用函數(shù)的連續(xù)性(適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限)(i) 若f (x)在x x0處連續(xù)，則 lim f (x)f (x0)X x0(ii) 若f (x)是復(fù)合函數(shù)，又 lim (x) a且x xof (a)f (u)在ua處連續(xù)，則 lim f ( (x) f lim (x)x xox xo例：求下列函數(shù)的極限、叫x廠e cosx 5x2 ln(1 x)lim ln(1 x)x 0解

7、：由于x 0屬于初等函數(shù)f (x)XLe cosx 52X ln(1 x)的定義域之內(nèi)故由函數(shù)的連續(xù)性定義有：Xr e cosx 5Qlim 2f (0)6x 01 x ln(1 x)i、由ln(1x) ln(1X)：x1令x(1x)x故有：limln(1x)lim ln(11 1x)， ln(lim (1 x)lne 1x 0xx 0x 09、洛必達(dá)法則(適用于未定式極限)定理：若(i) lim f(x) 0,lim g(x) 0x xox xg(ii) f與g在x0的某空心鄰域u0(x0)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)0(iii) lim fTx)A(A可為實(shí)數(shù)，也可為 或)，貝Ux x。g (x)I

8、r f(x) . f (x)八limlim ； Ax x0 g(x) x x0 g (x)此定理是對(duì) 0型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。0注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、 要注意條件，也就是說，在沒有化為0,時(shí)不可求導(dǎo)。02、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時(shí)化簡極限符號(hào)后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。4、當(dāng)lim丄旦 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。 x a g (x)例：求下列函數(shù)的極限(12x) x2)xe li

9、m x 0 ln(1limxln xax(a 0,x0)ex (12x)?2,g(x)=lf(x) ex (12x) 2, g(x)解：令f(x)=n(12x1 x2x2)f (x)2ex(1 2x) 2,g(x)xx)2由于f (0)f(0)0,g(0) g(0)0但 f (0)2,g (0)2從而運(yùn)用洛必達(dá)法則兩次后得到limex (12j2x 0ln(1 x2)limxex (12x) x2xlimxIn x,limx故此例屬于xm0ex (1 2x)2(1 x2)2 2(1 x )型,由洛必達(dá)法則有:limxln xaxlimxxaxlimxaax0(a0, x0)lim x 0 2

10、cosx 2 sin xx=丄sin x22x2注：此法采用洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限法。解法二：22 si n2 2彳 21 cosx limx 0 x sinx =x叫 2 .2x 0 x sin xsin limx 0 2 sin x2 x2.xsin -22x注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個(gè)重要極限法。解法三：d 21 cosxx叫2x 0 x sin x21 cosx lim2亍x 0 x2 x22xsin x2 lim3x 0 4xlim x 04x2x sin注:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無窮小代換法以及洛必達(dá)法則解法四：d 21 cosx limx 0x

11、 0 x sin xd 21 cos x limx 02X. 2 sin x(x2)2 x叫；. 2 sin x2x2x注：此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。解法五:d 21 cosx limx 0 x sin x2x2 sin -limx 0 x sin x2x 2 咗) lim 22x 0 x (x )xm01 4x24注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無窮小代換法。解法六:. 21 cosx limx 0x 0 x sin x1 cosu lim u 0 usin ulimu 0 sin usin uu cosucosulimu 0 cosu cosu u sin

12、u注：此解法利用變量代換法配合使用洛必達(dá)法則。解法七：d 2 2limx1 cosxsi nxx2tgx1lim 22 limx 0 x sin x x 0 x cosx sin x注:此解法利用了洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限。10、利用函數(shù)極限的存在性定理(夾逼準(zhǔn)則)定理:設(shè)在X0的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x) f(x)1,n0)a時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使 x0時(shí)有:nxxa(k 1)naknxxakn1akkn 1a a時(shí),kklim(k 1)nklim(k1)naklimknaklimknalimxnx =0a11、用左右極限與極限關(guān)系（適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等

13、情形）。定理：函數(shù)極限limx xof （x）存在且等于a的充分必要條件是左極限lim f (x)及右極限lix xoxn f (x)都xo存在且都等于A。即有:lim f (x)X xolimx xqf (x)= limx xof（X）=A例：設(shè)f(x)=2e x ,x解:limx 0limx 0f(x)由 lim f (x)x 0x,x x2,x 1,0求 lim f (x)及x 0limx 1f(x)f (x) lim (1x 0lim(x Jx 0 k xlim f (x)02e x)lim G，x 1)x 0I叫 f (x)limx 1f(x)limx 1x “ x,xlim (、x

14、 1)x 1limx 1由f(1 0)limx 1f(x)limx 1f(10)f （x）不存在12、約去零因式（此法適用于 xXo時(shí)-型），0解：原式=limx 2x33x210x(2x2 6x 20)5x2 6x_(2x210x 12)lim(x 2)(x2 3x 10)x 2 (x2)(x2 5x 6)=limx 2(x2 3x(x2 5x10)= lim(x 5)(x2)x 2(x 2)(x 3)=213、通分法（適用于求 xm(4型）九）原式= limx 24(2 x)(2 x) (2 x)= limx 2 (2(2 x)x)(2 x)1 1 = lim下列為常用的展開式:x 22

15、x 414、利用泰勒公式對(duì)于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用洛必達(dá)法則更為方便,1、xe 1x2 x2!nx/ no(x n!)352n12、sin xxxx(1)n1 xo(x2n)o(x丿3!5!(2n1)!242n3、cosx1xx(1)nxo(x2n1)2!4!(2n)!2n4、ln(1x)xx(1)n1X o(xn)2nxn o(xn)5、(1 X) 1x)x2(1)( n2!n!6、1 xx2xno(xn)1 x例:求 lim (ax 00)解：利用泰勒公式，當(dāng)o(x)a 2x a x 于是limx 0=lima(Yx 0=001 x)a-o(x) a.a x o(x)

16、Tim2ax 0limx12：ax 吩)15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件:在閉區(qū)間上連續(xù)在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)(I)f(ii)f則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得f(b) f(a)此式變形可為：f(b)b af (a)f (a(b a)(01)例：求 limxsin x exef (x)xe對(duì)它應(yīng)用中值定理得sin x ef (x) f (sin x) (x sin x) f (sin x (x sin x) (01)即x sin x e ex sin xf (sin x(x sin x)(01)f (x)xe連續(xù)(sin x(xsin x) f (0)從而有:X e li

17、m x 0 x sin xsin x e16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若：R(x)P(x)Q(x)mm 1axax1bo xnbixnam bn(a。0, b0)(I)當(dāng) x時(shí)，有x Q(x)mm 1axa1Xlim 一n- nrxb0xambna。b。0(II)當(dāng) x0時(shí)有:若Q(xo)lim 空x 0 Q(x)P(X)Q(x)若Q(x。)P(Xo) 0則limxP(x)0Q(x)若Q(x。)P(X0)0X0為P(x) 0的s重根，即:P(x) (xx)sp(x)也為 Q(x)0的r重根,即:Q(x) (xx)rQ1(x)可得結(jié)論如下:lim啦x x0 Q(x)|im(X X0)srP(X)X x0Qi(x)R(x)Q1 (x0),s例：求下列函數(shù)的極限lim(2x 3)20(3x50 2)30x(2x 1),s3X lim 4x 1 x 4x 33x解：分子，分母的最高次方相同，故limx(2x 1)5025P(x)x3 3x2,P(1)Q(x)x4 4x3,Q(1)203020303(3)30P(x),Q(x) 必含有(x-1 )之因子，即有1的重根 故有:mlH X3X4Xlim 2X 21x 1 x2 2x 32(2)無理式的情況。雖然無理式情