近世代數(shù)第7講

1、第7講 4群的同態(tài)與群的同構(gòu)(2課時(shí))(Homomorphism and Isomorphism of the groups)本講的教學(xué)目的和要求：對(duì)群進(jìn)行比較時(shí)，采用的主要工具就是同態(tài)和同 構(gòu).通過(guò)對(duì)群的比較，從而揭示出兩個(gè)群的某些共同性質(zhì)，以至區(qū)別二者的 異同,著無(wú)疑是在群的研究中具有重要意義的基本觀念和基本理論，同時(shí)也是實(shí)踐性很強(qiáng)的基本方法.由于在第一章中，對(duì)于一般代數(shù)體系的比較 問(wèn)題以有了說(shuō)明，這里將具體的在群里討論同態(tài)，同構(gòu)，要求同學(xué)們掌握：1、對(duì)同態(tài)（構(gòu)）這種代數(shù)現(xiàn)象有更透徹，深沉的了解.2、 對(duì)群而言，同態(tài)在傳遞代數(shù)性質(zhì)方面會(huì)有什么新的不同和補(bǔ)充.3、熟悉一批常量的同態(tài)（構(gòu)）的群

2、例.本講的重點(diǎn)和難點(diǎn)：與第一章中代數(shù)體系同態(tài)（構(gòu)）不同的是，群是一個(gè)更 具體的對(duì)象，故具有特殊的性質(zhì).因此，熟悉群同態(tài)中代數(shù)性質(zhì) “傳遞” 到同態(tài) 的有關(guān)問(wèn)題是本講的重點(diǎn)，掌握其定理的證明方法是其難點(diǎn).本講的教法和教具采用啟發(fā)式教學(xué)法，并繼續(xù)使投影儀.注意：根據(jù)本講知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要，增設(shè)了 “群同構(gòu)”的內(nèi)容.一，群同構(gòu)定義1.設(shè)G。和Gor都是群.如果存在雙，：Gr G使-a,b G在G上,都有（a b （af（b）（即保運(yùn)算）則稱(chēng)是同構(gòu)映射.同時(shí)稱(chēng)G與G同構(gòu)，記 為G二G,也稱(chēng)G是G的同構(gòu)象.明示：對(duì)于同構(gòu)的群G與G,我們認(rèn)為G與G是代數(shù)相同的，因?yàn)檫@是對(duì)于 近世代數(shù)所研究的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，除了符號(hào)

3、與名稱(chēng)上的區(qū)別之外，二者沒(méi)有實(shí) 質(zhì)的差異.結(jié)論1.設(shè)：G G是群同構(gòu)映射，那么 的逆映射一1： G G也是群 的同構(gòu)映射.【證明】：由第一章已知,申：Gt G必是雙射,現(xiàn)須證護(hù)能保運(yùn)算即 可.事實(shí)上，注意到 J = 1g，且- a , b G ,則必存在a , G使:a = a，： b =b，且a = a， b = b .于是:a b = :二：(a) :(b) = : ( (a b) = :_l :(a b)二1g (a b) =a b =即(a) J(b)二保運(yùn)算.即是同構(gòu)映射.結(jié)論2設(shè)1： G 1 G2和 2： G2 G3都是群同構(gòu)映射，那么 U2 其中：0 1，1 -1:U 2 、W,

4、其中： 1 一 偶，-1 一 奇 Z,其中： n 10n ,顯然，是雙射，且:n m =10m n =10m 10n = m ：遼n，于是知 G使-ab G,都有，ab，則稱(chēng)是群同構(gòu)態(tài)映射；如果是滿射，則必為群滿同態(tài)映射，（注：這是重要的一種同態(tài)，要特別關(guān) 注）簡(jiǎn)稱(chēng)G與G 同態(tài),并記為G G ，此時(shí)也稱(chēng)G是G的同態(tài)像. 我們已多次談到滿同態(tài)”的重要性質(zhì)具有 傳遞”作用.那么在群的滿同態(tài)映射里，它能傳遞一些什么呢？定理1：設(shè)是兩個(gè)代數(shù)體系到 乖，的同態(tài)滿射，若1是群，那么A，也一定是群.【證明】：對(duì)濱，而言，“”滿足封閉性是顯而易見(jiàn)的，而由于 Z 中 的“”滿足集合律.利用第一章二4也滿足結(jié)合律

5、.下面須證 仄，有 單位元和 -A,a有逆元. 4,1是群設(shè)e是單位元并設(shè) e = e 須證e是的單元. 事實(shí)上，- a A,是滿射= a A ，使aa ,那么 e a y【e v ai=Te ai=:F:：i.ai=a ,同理 ea = ae = a ,由 a 的任意性 二 e是單位元.A,為滿射，則a A使aa，而A是群，故a有逆元a,設(shè)a1二訐，須證是a的逆元。事實(shí)上,a_ a a = a_1e = d同理 a =e, a是的逆元，即a 1 = a .由上可知，A，是個(gè)群.例3:設(shè)A=a,b,c且 “”為代數(shù)運(yùn)算，而運(yùn)算表為abcaabcbbcaccab*問(wèn)題*：Aj可否成群？通過(guò)運(yùn)算表

6、也許能解決單位元和逆元問(wèn)題，但4、的結(jié)合律的檢驗(yàn)，是相當(dāng)費(fèi)事的，怎么辦？*處理方案*：另取一個(gè)群一整數(shù)加群z,1作映射：:Z A,其中，x = a,當(dāng) x = 0 3，x = b,當(dāng) x = 1 3x 二 c,當(dāng) x 三 2 3易知，是滿射，但能否保運(yùn)算呢？下面利用1 Z,是交換的特點(diǎn)分六個(gè)情形來(lái)檢驗(yàn):如果x三0 3且y三03二x y = 03,x y = a = a a =x y ,x y = ： x y”如果x三03且y三13= x y三13,x y = b = a b = x y , x y = x y* 女口果 x = 03 且 y = 23 =x，y = 23,x y =c = a

7、c=x y,x y =x y* 女口果 x = 13 且 y = 13 =x y = 23,x y = c = b b = x y , x y = x y* 女口果 x = 13 且 y=23=x，y = 03,：x y = a = b c 八 x ： y , ： x y 八 x y如果x三23且y三23= x y三13,x y = b = c c = x y , x yx y由上逐一驗(yàn)證知，：能保運(yùn)算，是同態(tài)滿射，由定理1A/ f是一個(gè)群.思考題：*例3中的同態(tài)滿射是唯一的嗎？如果作如下映射二 x i=a,當(dāng)x = 0 3-:Z A, - x 二 b,當(dāng)x = 13二 x i=c,當(dāng) x 三

8、 2 3試問(wèn)八能成為同態(tài)滿射嗎？*在定理1中，若將A與A 的次序?qū)φ{(diào)后，定理還能 成立嗎？即“：A，A是同態(tài)滿射，若A是群時(shí)，A也是群這樣的結(jié)論正 確嗎？例4,設(shè)一切奇數(shù)，而 “”為數(shù)的通常乘法 又令 G=4,其中規(guī)定e e=e,作映射 GG,1,其中-x Gx二e,易驗(yàn)證: 是滿同態(tài).由于G是單點(diǎn)集，易知G是個(gè)群，但G并不是群,定理1 的逆命題不成立.在例 3中，0二a,當(dāng)然，3二-6A汽12i；= -a，而0是Z中的零元（即單位元），a也是A中的單位元，于是“單位元一定對(duì)應(yīng)著 單位元”這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？在例3中，5-5也可以發(fā)現(xiàn)，5的負(fù)元（逆元）正是-5.而c的逆元也是b.那么“元素對(duì)應(yīng)元素，

9、逆元對(duì)應(yīng)逆元”這種定論成立嗎？ 上述問(wèn)題歸納成下列的疑問(wèn)：_cp_如果 :G G是群同態(tài)滿射（即GG）.那么：定理2設(shè):G G是群同態(tài)滿射.那么(i) 若e是G的單位元，二e =5，必是G的單位元.(ii) 若:a 二 a,=m.a 證明：(i) -y G, ，須證 ey = ye = y事實(shí)上，：，是滿射，Tx G使，x = y，于是我們有,= e是 G的單位元ey = (e) (x) = (ex) = (x) = y.ye = (x) (e) = (xe) = (x) = y.(ii) 須證(a)(a)= (a)(a)=e 事實(shí)上(a)申(a)“(aa*) =(e)且申(a)申(a) =

10、(a-*a) = (e) = e.(a)是:(a)的逆元，即(a)-1 :(a)注意：現(xiàn)將定理1中條件稍改變一下：設(shè)是代數(shù)體系3：到代數(shù)體系 農(nóng)的同態(tài)映射(不一定是滿射).設(shè)Z:(A)二 ：:(a)-aA是A在之下 的象的集合，那么就是厶：到沉,的同態(tài)滿射，這樣一來(lái)，我們又可以 使用定理1和定理2 了.自同態(tài)和自同構(gòu)(1) 自同態(tài)定義3設(shè)G是群.若是G到G自身的群同態(tài)，則稱(chēng)為G的一個(gè)自同態(tài). 例4 給定加法群 TlxL：其中“ +”為多項(xiàng)式通常的加法.并設(shè),Fx Fx. 其 中 -f(x) Fx, (f (x) = f (x)， 顯 然，(f(x)g(x) =(f (x)g(x) = f (x

11、) g (xH (f(x)r (g(x).故 是 Tl.x| - ?的一個(gè)群自同態(tài).例5設(shè)G是一個(gè)群.令EndG表示G的一切自同態(tài)組成的集合，那么EndG【為一個(gè)monoid .其中“”為映射的合成.解釋?zhuān)阂驗(yàn)?G:GrG,其中1G(x)=x, -x G，故1G為G上的恒等映射.它必是 G 的自同態(tài).1G EndG = EndG* - i, ;2 - EndG,那么， T2也是G的自同態(tài)，即 EndG.=封閉性成立.而因一切映射的全成都滿足結(jié)合律EndG中也滿足結(jié)合律。最后，1g就是EndG的單位元由上述分析知，EndG是一個(gè) mo noid(2) 自同構(gòu)定義4設(shè)G是群.若是G到G自身的一個(gè)同

12、構(gòu)映射.那么稱(chēng)為G的 一個(gè)自同構(gòu)。例6 設(shè)G為群，先固定G中一個(gè)元素a G .規(guī)定：:a : G -； G.= (x) =axa.-x G,那么:a必是G的一個(gè)自同構(gòu).證明：a是單射：_x, y G,若x = y,那么必有：a(x)= a(y).否則，若 a(x : a(y).則有 axa aya 4，由群中的消去律=x 二 y,： (x)仝；(y)，-是 單射。申a是滿射：EG , 取 x = agwG. 那么 a(x) =axa a(aga)aJ =g= X是g的原象.心是滿射保運(yùn)算：其 實(shí)，-x, y G，那么 a(xy) =a(xy)a，=(axa Faya)仝a(x) ;(y),由上

13、知，爲(wèi)是一個(gè)自同構(gòu)。習(xí)慣上稱(chēng)a為G的內(nèi)自同構(gòu).例7設(shè)G為群.那么G的一切自同構(gòu)組成的集合記為 AutG.，而G的一 切內(nèi)自同構(gòu)組成的集合記為InG .于是我們有：(1) AutG.是群，其中，運(yùn)算就是映射的通常的乘法(2) InG是群，其中運(yùn)算就是映射的通常的乘法注意：在(1)中，AutG.的單位元自然想到應(yīng)是恒等映射1g,而-AutG.那么J就是映射八1g)在(2)中，單位元為1g，(其中，e為G的單位元)而T丄，對(duì)于上述介紹的三個(gè)對(duì)象，它們有如下關(guān)系：InG AutGE ndG例8.設(shè)G為任意群，而映射 :G G,為(x)二x,-x G試證：是自 同構(gòu)二G是可換群。*證明* :二首先，易知是雙射。事實(shí)上，當(dāng)x = y時(shí)，自然x = y ,. 是單射，-G,則a) =(a) =a這表明a是a的原象，為滿射。 其次，須證，能保運(yùn)算，X,廠 G, ：(xy) = (xy)* = x