有理數(shù)乘法法則“負(fù)負(fù)得正”的五種教學(xué)法

1、有理數(shù)乘法法則“負(fù)負(fù)得正”的五種教學(xué)法引言有理數(shù)乘法法則作為初中數(shù)學(xué)課程教育的一大基石， 也是初 中義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程“數(shù)與代數(shù)”部分的基礎(chǔ)。 有關(guān)于有理數(shù)乘 法法則教學(xué)設(shè)計(jì)的話題討論經(jīng)久不息， 其中對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”的 討論與設(shè)計(jì)更是匯集了前人無(wú)數(shù)智慧并渴望將其解決的。 筆者通 過(guò)查閱， 匯總各類(lèi)初中數(shù)學(xué)版本教材、 初中數(shù)學(xué)及小學(xué)奧數(shù)教輔 用書(shū)中“負(fù)負(fù)得正”相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)、教法、解法，提出總計(jì)五 種解決方法， 希望有理數(shù)乘法中“負(fù)負(fù)得正”這一課程難點(diǎn)教學(xué) 提供一些幫助?；A(chǔ)解釋方法：引入現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，建立對(duì)應(yīng)模型。 數(shù)學(xué)起源于人類(lèi)早期的生產(chǎn)活動(dòng)， 可以說(shuō)數(shù)學(xué)自誕生起便是 直接服務(wù)于實(shí)際生活的一門(mén)學(xué)科

2、， 引入現(xiàn)實(shí)問(wèn)題， 建立對(duì)應(yīng)模型 是幫助理解、 記憶數(shù)學(xué)原理和規(guī)律最常用的方式， 下文通過(guò)建立 類(lèi)似“ 1+1=2”對(duì)應(yīng)“一個(gè)蘋(píng)果加一個(gè)蘋(píng)果等于兩個(gè)蘋(píng)果”，的 現(xiàn)實(shí)模型，從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)引入解釋“負(fù)負(fù)得正”。導(dǎo)入：乘法法則的初步學(xué)習(xí)中， 人教版通過(guò)對(duì)“一個(gè)人有兩 個(gè)蘋(píng)果，那么四個(gè)人有幾個(gè)蘋(píng)果？”一類(lèi)問(wèn)題的思考進(jìn)行引入， 再通過(guò)引入兩個(gè)不同的量，人和蘋(píng)果，定義乘法并得出：2+2+2+2=2X4,得出：2X4=8 個(gè)。負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，人教版首先通過(guò)“比沒(méi)有蘋(píng)果還少一個(gè)蘋(píng) 果”的思考， “0-1= ？”的思考進(jìn)行引入， 再通過(guò)依靠建立具有 相反意義的模型，如將今天記為 0，明天記為 1，得出昨天記為 -

3、1，從而解釋了正數(shù)的相反數(shù)一一負(fù)數(shù)，此部分，通過(guò)類(lèi)似的方 法：引入現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，建立對(duì)應(yīng)模型。方法一：建立兩組具有相反意義的量的模型方法一導(dǎo)入： 選取三種生活中的例子， 從現(xiàn)實(shí)生活中解釋負(fù) 負(fù)得正。提出測(cè)量類(lèi)模型，運(yùn)動(dòng)類(lèi)模型，以及“司湯達(dá)之問(wèn)”的 負(fù)債模型共計(jì)三種具有相反意義的量的模型作為參考。以上三種模型就本質(zhì)而言均為建立兩組具有相反意義的量 進(jìn)行解釋，掌握本質(zhì)后，可以舉出眾多例子。測(cè)量型模型： 我們通過(guò)題目來(lái)引入講解： 某氣象站測(cè)得海拔 每升高 1 千米，溫度降低 0.6 度，觀察地點(diǎn)的氣溫是 0 度；試問(wèn)： 在觀察地點(diǎn)以上 2千米的地方氣溫是多少度？觀察地點(diǎn)以下 3千 米的地方氣溫是多少度？

4、規(guī)定，氣溫升高為正，氣溫下降為負(fù)觀察地點(diǎn)以下為負(fù)，觀 察地點(diǎn)以上為正。可知：每升高 1 千米，海拔 +1；溫度降低 0.6 度，溫度 -0.6每降低 1 千米，海拔 -1 ；溫度升高 0.6 度，溫度 +0.6 觀察地點(diǎn)以上 2 千米的地方氣溫是(-0.6 ) X( 2) =1.2 度海報(bào)增加1km溫度變化量x海拔增加千米數(shù) =觀察地點(diǎn)地方氣溫易得上述問(wèn)題觀察地點(diǎn)以下 3 千米的地方氣溫是的算式 為：(-0.6 ) x( -3 ) =1.8 度 總結(jié)：建立兩組具有相反意義的量的模型中測(cè)量型模型是一 種常見(jiàn)的證明方法。說(shuō)明過(guò)程簡(jiǎn)單易懂。運(yùn)動(dòng)類(lèi)模型： 我們同樣通過(guò)題目來(lái)引入講解： 一個(gè)人沿著公 路

5、慢跑，一直向東方行走， 速度 5 公里每小時(shí)， 請(qǐng)問(wèn)下午 4 點(diǎn)時(shí)， 他回頭跑到下午 1 點(diǎn)所在位置需要奔跑的距離是？規(guī)定：選定向東的方向?yàn)檎较颍蛭鞯姆较驗(yàn)樨?fù)方向。 依照時(shí)間的順序，表示為： 將來(lái)的時(shí)間使用正值，表示過(guò)去的時(shí)間使用負(fù)值， 人的初始位置在零點(diǎn)，初始時(shí)間也設(shè)定為 0。 依照方向的順序，表示為：向右走為正值，向左走為負(fù)值。 下午 1 點(diǎn)距離下午 4 點(diǎn)所在的時(shí)間是 -3 小時(shí) 每小時(shí)行進(jìn)距離 -5 公里(向西)易知：他距離現(xiàn)在所在位置的距離(-5 ) x( -3 ) = 15 公里總結(jié)：建立兩組具有相反意義的量的模型中運(yùn)動(dòng)類(lèi)模型是一 種不常見(jiàn)的證明方法。 說(shuō)明過(guò)程中往往需要運(yùn)用到

6、時(shí)間概念。 時(shí) 間的概念需要初中物理知識(shí)作為支撐， 運(yùn)動(dòng)類(lèi)模型在各類(lèi)教材版本中往往出現(xiàn)于課后習(xí)題（如蘇教版、人教版、北師大版等）， 少見(jiàn)于直接證明。負(fù)債模型：負(fù)債模型由數(shù)學(xué)見(jiàn) M.kelien 正式提出并廣泛為人接受。我 們同樣通過(guò)題目來(lái)引入講解約定： 某人每天支出 5元人民幣，給 定日期 4天后，此人負(fù)債 20元人民幣。 采取記債：支出5人民幣記為：-5 ;每天支出5人民幣，負(fù)債4天可以數(shù)學(xué)表達(dá)：（-5 ）X 4 = - 20 。同樣一人每天負(fù)債 5人民幣，那么給定日期 4天前，他的財(cái) 產(chǎn)比給定日期的財(cái)產(chǎn)多 20人民幣。（-4）：表示 4天前；（-5）：表示每天負(fù)債； 那么4天前，此人經(jīng)濟(jì)情

7、況為：（-5） X（ -4 ） =20。方法二：建立向量模型，引入數(shù)軸表示法。 導(dǎo)入：數(shù)軸表示法是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的一種基本方法， 數(shù)軸 作為圖形更加直觀，兼顧復(fù)習(xí)已學(xué)，聯(lián)系新知識(shí)，有承上啟下的 作用。因此，運(yùn)用向量模型中的數(shù)軸表示法作為一種數(shù)學(xué)情景的 講解不失為一種好的課程教學(xué)辦法。數(shù)軸模型：規(guī)定數(shù)軸的正方向?yàn)闁|，負(fù)方向?yàn)槲?. 一個(gè)人在 數(shù)軸的原點(diǎn)處，一 2看作向西運(yùn)動(dòng)2米，（一 3）x（ 2）看 作沿反方向（東）運(yùn)動(dòng) 2次，結(jié)果向東運(yùn)動(dòng)了 6米，所以（-3 ）x（-2 ） =6.XC44.JPG；%30%30數(shù)理邏輯解釋方法：利用已知數(shù)理知識(shí)，計(jì)算推導(dǎo)證明結(jié)論導(dǎo)入：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中，

8、 學(xué)生學(xué)習(xí)依靠反復(fù)的運(yùn)算 和實(shí)踐，將諸如數(shù)學(xué)中的結(jié)合律、分配率等進(jìn)行了強(qiáng)有力的驗(yàn)實(shí)， 達(dá)到對(duì)對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)計(jì)算方法和運(yùn)算法則的理解。 這部分參照 國(guó)內(nèi)教材，部分修改與調(diào)整，列舉三種經(jīng)典的針對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)的數(shù)理邏輯解釋方法，從具體到抽象（純數(shù)字和理論），通過(guò) 數(shù)學(xué)的計(jì)算推導(dǎo)，使用數(shù)理邏輯解釋或者證明“負(fù)負(fù)得正”。方法三：使用觀察歸納法證明負(fù)負(fù)得正 導(dǎo)入：歸納法通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)的觀察、探索、分析、推理、歸納 五個(gè)部分，獲得合情推理得到結(jié)果，是人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界最原始也是 最基礎(chǔ)的方式。有關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的問(wèn)題， 在教學(xué)的前期使用 歸納法，引入知識(shí)同時(shí)鍛煉學(xué)生的探究意識(shí)。 一般的歸納模型作 為不完全歸納，并不

9、完整，此處補(bǔ)充觀察歸納方法。XC45.JPG；%30%30歸納得出：“當(dāng)乘數(shù)增加 1，最后乘積減少 2”；“當(dāng)乘數(shù) 減少1,最后乘積增加2?！庇纱藢?xiě)出右邊算式的結(jié)論。歸納得出：“負(fù)負(fù)得正”這一結(jié) 論。觀察歸納法需要教師一步步詳細(xì)的指引， 朱文芳初中生函 數(shù)概念發(fā)展的研究一書(shū)中，表明 58.6%的初一學(xué)生難以使用變化的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。此類(lèi)方法出現(xiàn)于部分教材的引入部分。 方法四：使用分配律證明負(fù)負(fù)得正導(dǎo)入：據(jù)北京 1969 版的數(shù)學(xué)教材， 運(yùn)算律分配律作為公理， 使用分配率證明負(fù)負(fù)得正。 對(duì)于分配率證明負(fù)負(fù)得正， 近年的教 材中并不再出現(xiàn)，究其原因：運(yùn)算律應(yīng)該產(chǎn)生于運(yùn)算之后，使用 運(yùn)算律證明運(yùn)算

10、的法則的做法并不可取。 此處對(duì)原書(shū)中數(shù)學(xué)推理 作相關(guān)的修改優(yōu)化， 部分用語(yǔ)文字化以降低理解難度， 過(guò)程如下：使用構(gòu)造法：由：3X( -2 ) +3X( 2)=3X (-2 ) +2 = 3 X 0 = 0所以構(gòu)造有： 3 X( -2 )+ 3 X( 2) = 0移項(xiàng)有： 3 X( -2 )+ 3 X( 2) - 3 X( 2) = 0 ?C 3X(2)所以有： 3 X( -2)= ?C 3 X( 2)類(lèi)比以上過(guò)程：由：( -3 )X(-2 ) +( -3 ) X(2)= ( -3 )X (-2 )+ 2 =( -3 )X0 = 0所以有：(-3)X( -2 )+( -3 )X(2)=0移項(xiàng)有：

11、(-3)X( -2 )+( -3 )X(2)-(-3) X2) = 0 ?C ( -3) X(2)所以有：(3)X( -2 )?C (-3)X(2)因?yàn)椋??C ( -3 ) X( 2) = 3 X 2所以最終有：(一3) x( -2 ) = 3 X 2由此得出結(jié)論：使用分配律證明負(fù)負(fù)得正。可以看出，證 明過(guò)程通過(guò) “保持”運(yùn)算律從而得到法則，與正常教學(xué)中運(yùn)算 應(yīng)先規(guī)定法則再驗(yàn)證運(yùn)算律不同。方法五：使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正 導(dǎo)入：據(jù)華師版，人教版教材，使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正。相反數(shù)的定義賦予了其在“負(fù)負(fù)得正”數(shù)學(xué)推理中的簡(jiǎn)便， 是最 常見(jiàn)的數(shù)理邏輯解釋方法。通過(guò)舉例特殊情況下：3 X 2= 3

12、+ 3 =6 ；( -3 )X2 =( -3 )+(-3)= -6 ；通過(guò)：( -3 )X2 =( -3 ) +( -3 ) = -6 ；( -2 )X3 =( -2 )+ (-2)+ ( -2 ) = -6- (2X3) =- 6 ；由以上三式有結(jié)論：( -3 )X 2 =( -2 ) X 3 = -( 2 X 3)；對(duì)負(fù)負(fù)得正的情況： ( -3 )X(-2)= - 3 X(-2) =- -6 = 6一般情況下， m、n 均為正整數(shù)下，類(lèi)比特殊情況可以寫(xiě)出：m X n = m + m + m+ + m 共計(jì) n 項(xiàng)= mn；( -m) X n = ( -m) + ( -m)+ + ( -m) 共計(jì) n 項(xiàng)通過(guò)：( -mxn =( -m +( -m+ +( -m 共計(jì)n項(xiàng)= -mn ；( -nx m =( -n+( -n+( -n共計(jì)m項(xiàng)= -mn ；-(n xm- mn ；由以上三式有結(jié)論：(-m x n( -nx m=-(n xm ；對(duì)負(fù)負(fù)得正的情況：( -m x( -n= - m