圓錐曲線解題方法技巧歸納

1、圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備:1. 直線方程的形式(1) 直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。(2) 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容 傾斜角與斜率k tan ,0,)夾角公式：k21 點到直線的距離dA/ By0_C tan(3) 弦長公式 直線 y kx b上兩點 A(xi, yj, B(X2, y2)間的距離：AB| Ji k2|x X2J(1 k2)(Xi X2)24沁或 AB Ji *|yi y2(4) 兩條直線的位置關(guān)系 l1 l2 k1k2=-1 l1 /12k1 k2且b1 b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1) 、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)標(biāo)準方程

2、：2 2匚 1(m 0, n 0且 m n) m n距離式方程:.(x c)2 y2. (x c)2 y2 2a參數(shù)方程：x a cos , y bsin(2) 、雙曲線的方程的形式有兩種2 2標(biāo)準方程：-1(m n 0)m n距離式方程：| ；(x c)2 y2. (x c)2 y2 | 2a(3) 、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓：近；雙曲線：玄；拋物線：2paa(4) 、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如:已知F,、2 2F2是橢圓勻七1的兩個焦點,平面內(nèi)一個動點 M足MF!MF22則動點M的軌跡是(A、雙曲線;B、雙曲線的一支；C、兩條射線;D、一條射線(5)、焦點三角形面積公式：P在橢

3、圓上時，SFlPF2設(shè) A x；, y；2仝1的弦AB中點則有3b2 tan 2P在雙曲線上時，S fPf b cot|PFi| | PF? |(其中 F,PF2,cos|PFi丄P2 .4c，PF ?Pf2 | pF； |忌 |cos(6)、 記住焦 半 徑公式： (1)橢圓焦點在x軸上時為a exg；焦點在y軸上時為a ey，可簡記為“左加右減，上加下減”(2) 雙曲線焦點在x軸上時為e| x01 a(3) 拋物線焦點在x軸上時為| x； | -|,焦點在y軸上時為| y | *(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ _第二、方法儲備1、點差法(中點弦問題)2B X2,y2，M a,

4、b 為橢圓42 2 2 2 2222仝生1,空空1 ;兩式相減得二竺 上上 0434343xi X2 捲 X2yi y2 yi y23a43kAB-不2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式 0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦 長公式，設(shè)曲線上的兩點A(X!, yi), B(X2, y2)，將這兩點代入曲線方 程得到兩個式子，然后 -，整體消元,若有兩個字母未知數(shù)，貝S要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點， 則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)

5、系，則尋 找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線 為y kx b，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓4x2 5y2 80上，且點A 是橢圓短軸的一個端點(點 A在y軸正半軸上).(1) 若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線 BC的方程；(2) 若角A為900 , AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點 弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為90可得 出AB丄AC,從而得X1X2 yy 14(y1山16 0，然后利用聯(lián)立消元 法及交軌法求出點D的軌跡方程；解：(1)設(shè) B

6、 ( X1,y1) ,C(X2,y2 ),BC 中點為(x。, y。),F(2,0)則有2 2 2 2Xl Xl 1Xl Xi20 16 120 16兩式作差有(1)(捲 X2XX1 X2) (yi y2)(yi y?)0 衛(wèi)20165F（2,0）為三角形重心，所以由X1 X2 2，得X0 3，由y1 y2 所以所求點D的軌跡方程是x2 （y 0得33y2，代入（1）得k -5直線BC的方程為6x 5y 28 02)由 AB 丄 AC 得 x1x2 y1 y214( y1 y2) 16 0(2)設(shè)直線BC方程為2 2y kx b,代入 4x 5y 80(4 5k2)x2 10bkx 5b280

7、010kbX1X24 5k2， X1X25b2804 5k28ky1y24 5k2,y1 y24b280k24 5k2代入（2）式得29b 32b164 5k20 ,解得b 4（舍）或b4y _直線過定點（0 ,4)，設(shè) D ( x,y)，則一分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點坐標(biāo)公式、雙曲線的概念 以 1，即9x x和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建2 2立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè)C 2,h，代入右 缶1，求得h |,進而求得xE建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0 ,此運算量可見是難上加難我們對h可米取設(shè)而不求的解題策略，建立目標(biāo)函數(shù)f(

8、a,b,c, ) 0 ,整理f(e, ) 0,化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸,建立直角坐標(biāo)系xOy ,則CD丄y軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知依題意，記A c，0 , C f，h曲線的半焦距，h是梯形的高,2 2設(shè)雙曲線的方程為冷篤a bC、D關(guān)于y軸對稱Xa由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標(biāo)和e -代入雙曲線方 a程得由式得h2b2h2b22e_1 ,4將式代入式，整理得e24412132 e1扌得，213332 e24解得7 e ,10所以雙曲線的離心率的取值范圍為.7,J0分析：考慮AE , AC為焦半徑，可用焦半徑公

9、式,AE,AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計算，達到設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,Xecc 22_C1 2 1AEa exE , ACexC ,斧，由題設(shè)t 得，站 解得-7 e JO所以雙曲線的離心率的取值范圍為一 7, JO4、判別式法例3已知雙曲線c：x! 1，直線I過點A ,2,0，斜率為k，當(dāng)0 k 1 2 2時，雙曲線的上支上有且僅有一點 B到直線I的距離為2，試求k的值及此時點B的坐標(biāo)。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有” 這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點 B作與I平行的直線，必

10、與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0.由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路:I: y k(x .2)0 k 1直線I在I的上方且到直線I的距離為J 21 FI: y kx . 2k22 2k把直線I的方程代入雙曲線方程，消去 y,令判別式01 F解得k的值分析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線I的距離為運”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：簡解：設(shè)點M(x, .2 x2)為雙曲線C上支上任一點，則點 M至U直 線I的距離為：kx V2x7 x 2k腫1-于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.由于0 k 1，所以

11、2 x2x kx，從而有kx V2 x2 V2kkx V2 x2 227k 6 9k 59 k24所以APPB生=9k 2(9k25 =1x2 9k 2.9k2 518k9k 219k25189295k2由所以(54 k)2180 9k240,解得 k2181 1 9 2 9 5k2丄，綜上559，APPB分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式,則應(yīng)該考慮到：判別式因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮k 0的情當(dāng)k 0時,27k 69k25xi9k2 4， X2往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定 k的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來.一般來說，韋達定

12、理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達定理，原因在于AP也不是關(guān)于Xi,X2的對稱關(guān)系式.原因找到后，解決問題的X2方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于 Xi,X2的對稱關(guān)系式.簡解2:設(shè)直線I的方程為：y kx 3，代入橢圓方程，消去y得9k24 x2 54kx 450（ *）54kXi X22則9k4令魚，則，丄2 324k2X245k220在（*）中，由判別式0,可得k2 5，9從而有324 k236 所以442丿丿1匕丿、45k2055.結(jié)合01 得 1 1.5綜上， AP 11 .PB545X1X229k 41536，解得點評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，

13、均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能 說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有 見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里 .第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基 本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、 公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達到解題目標(biāo)， 得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題 之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推

14、理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為A,B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點， 且AF FB 1 , |6|1.( I)求橢圓的標(biāo)準方程；(H)記橢圓的上頂點為M ,直線I交橢圓于P,Q兩點，問：是否 存在直線I，使點F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線I的方程； 若不存在，請說明理由。思維流程：(I)由 aF?fb 1, 16| 1(a c)(a c) 1 , c 1l寫出橢圓方程a J2,b 1由F為PQM的重心* PQ MF,MP FQk PQ(n)3x224mx 2m兩根之和, 兩根之積0得出關(guān)于m的方程解出m解題過程:(I)如圖建系，設(shè)橢圓方

15、程為X2a2y2b21(a b 0)則 c 1a2又 AF FB 1 即(a c) (a c)故橢圓方程為f y2 1(H)假設(shè)存在直線I交橢圓于P,Q兩點，且F恰為PQM的垂心，則設(shè) P(X1,yJ,Q(X2,y2)，丁 M(0,1),F(1,0)，故 kpQ 1 ,于是設(shè)直線1為yx m ,由2 X2m得X2 2y223x2 4mx 2m220i1/ MP FQ0Xi(X21)y2(yii)又yXi m(i 1,2)得 x1(x2 1)(x2! m)(x!m 1)0 即2x-X2 (x-! x2)(m 1) m2 m 0 由韋達定理得22m 2 4m22(m 1) m m 033解得m 4

16、或m 1 (舍) 經(jīng)檢驗m4符合條件.33點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩 向量乘積為零.例7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(|,0)、昭0)、C1,!三點.(I)求橢圓E的方程:(H)若點D為橢圓E上不同于A、B 的任意一點，F(xiàn)( 1,0), H (1,0),當(dāng)厶DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求DFH內(nèi)心的坐標(biāo);思維流程:由橢圓經(jīng)過A、B、C三點設(shè)方程為mx2 ny21 得到m,n的方程解出m,n由 DFH內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大DFH面積最大值為V3S DFH周長r內(nèi)切圓 | r內(nèi)切圓轉(zhuǎn)化為點D的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大D為橢圓短

17、軸端點得出D點坐標(biāo)為0,33解題過程：(I)設(shè)橢圓方程為mx2 ny21 m0,nA( 2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入橢圓E的方程，得4m 1,229 解得m -,n -.二橢圓E的方程 m n 143434(H) |FH | 2，設(shè)ADFH邊上的高為Sdfh1 22當(dāng)點D在橢圓的上頂點時，h最大為.3，所以Sdfh的最大值為-3 .設(shè)ADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因為 DFH的周長為定值6.所以,S DFHR 62所以R的最大值為至.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(迢33點石成金：1 /s的內(nèi)切圓的周長r的內(nèi)切圓2例8已知定點C( 1,0)及橢圓x 2 2 (k 1)x1x2 (k m)(x

18、1 x2) k 3y2 5 ,過點C的動直線與橢圓 相交于A, B兩點.(I)若線段AB中點的橫坐標(biāo)是 -，求直線AB的方程；2(H)在x軸上是否存在點M，使MA MB為常數(shù)？若存在，求出 點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.思維流程：y k(x 1),(I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為將 y k(x 1)代入 x2 3y2 5 ,消去y整理得(3k21)x2 6k2x3k2 5 0.設(shè) A% yj, B(x2，y2),36k4 4(3k2 1)(3k2 5)6k23k2 1.0,(1)X2白線段AB中點的橫坐標(biāo)是得 x1X23k23k21彳，解得k，符合題意。30.所以直

19、線AB的方程為x 3y 1(H)解：假設(shè)在X軸上存在點M (m,0)，使MA MB為常數(shù). 當(dāng)直線AB與 x軸不垂直時，由(I )知6k23k21 所以MA MB (為x-ix23k25X2 3k2 1m)(X2 m) y2(為 m)(x2 m)仏 1)(X2 1)m2.將代入，整理得鈕駕晉ma 2b1214(2m -)(3k2 1) 2m ；333k2 1m22m6m 143(3k21)注意到MA MB是與k無關(guān)的常數(shù),7 - 3m7o41當(dāng)直線AB與x軸垂直時，此時點A, B的坐標(biāo)分別為1,2 當(dāng)3，當(dāng)m亦有MA MB綜上，在x軸上存在定點M7,0，使MA MB為常數(shù).3點石成金:(6m

20、1)k2 53k2 1(2m g)(3k2 1) 2m 聲3k2 1m22m6m 143(3k21)例9、已知橢圓的中心在原點，焦點在 x軸上，長軸長是短軸長的2 倍且經(jīng)過點M (2，1)，平行于OM的直線I在y軸上的截距為m (m工0),1交橢圓于A、B兩個不同點。(I)求橢圓的方程;求m的取值范圍;(皿)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程：解:(1)設(shè)橢圓方程為2 x2a2b2 1(a b 0)橢圓方程為解得81b2 2(H)v直線|平行于OM，且在y軸上的截距為m又Kom=il的方程為：y1x m22iyx m由222x(xi 2)(X2 2)故直線MA、MB與x軸

21、始終圍成ki k20一個等腰三角形.點石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形ki k2 0 2Q T例i0、已知雙曲線 篤 篤i的離心率e ，過A(a,0), B(0, b)的直a b322mx 2m40xyi82V直線1與橢圓交于A、 B兩個不同點，(2m)24(2m24)0,解得 2 m2,且m0(皿)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為ki, k2,只需證明ki+k2=0即可設(shè) A(xyj B(X2, y2),且XiX22m,xix2 2m24則kiyi i,k2y2 i由x2 2mx2m2 40可得xi2x22xix22m,xix22m2 4而kyi iy2 i(yii) (X22

22、) (y2i)(xi 2)x1 2x2 2(x-i 2)( x22)ii(2% m 1)(x2 2)(尹2m i)(xi 2)(Xi2)(X2 2)xi x2 (m 2)(xi x2) 4( mi)(xi 2)(X22)2m24 (m 2)( 2m) 4(m 1)(Xi 2)(X22)2m24 2m2 4m 4m 40線到原點的距離是/(求雙曲線的方程;C, D且C，D都(2)已知直線y kx 5(k 0)交雙曲線于不同的點Xok BEXiX215 k3k 2yokX 053k 2y。 1Xo在以B為圓心的圓上，求k的值.思維流程：解：-(1)c2、3原點到直線AB:y 1的a3，a b距離d

23、abab、3、a 2b2c2 .b1, ax 3.故所求雙曲線方程為X23y21.(2 )把y kx5代入2 X3y23中消去y ,整理得(1 3k2)x230kx780.設(shè) C(Xi,yJD(X2,y2),CD 的中點是 Eg y。),則Xo kyo k 0,15 k5k3k 23k 2o,又 k o, k 27故所求k= 士 . 7 .點石成金：C, D都在以B為圓心的圓上 BC=BD BE丄CD;例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在 X軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(I)求橢圓C的標(biāo)準方程； (II)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B 不

24、是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證：直 線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo).思維流程：解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準方程為22a2 b2 1(a b 0)，由已知得：a c 3, a c 1,a 2, c 1,b2a2c23橢圓的標(biāo)準方程為(II )設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2)y聯(lián)立x24kx2y3m,1.得(3 4k2)x2 8mkx24(m3)0,則2 22264m k 16(3 4k )(m8mkx1 x22，3 4k4( m23)X1X22 .3 4k3)0,即 32 24k m 0,又 yy (kxi m)(kx2m) k2x1x2 mk(x1X2)m23(m2 4k2)3 4k2因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),kAD kBD1，即力 2x12 x22y”2 X1X22(X1亦年十性4 0 .4k 3 4k 3 4k27m 16mk4k20 .解得:mi2k, m2爭，且均滿足 3 4k2 m2 0 .2k時，I的方程y k(x 2)，直線過點(2,0),與已知矛盾;當(dāng)m2辛?xí)r，的方程為y kx 7，直線過定點2 ,0 .7所以,