數(shù)列綜合題目講義

1、數(shù)列綜合題 1設無窮等比數(shù)列an的公比為q，且an0(nN*),an表示不超過實數(shù)an的最大整數(shù) (如 2.52),記bnan，數(shù)列an的前n項和為S“，數(shù)列0的前n項和為人. 1 (I)若 q 4, q ，求 Tn; 2 2 (n)若對于任意不超過2014的正整數(shù)n,都有Tn二2n 1，證明：(-)2012 q 1 . 3 (川)證明：Sn Tn( n123,)的充分必要條件為a N, q?N. Jt 1 (I)解：由等比數(shù)列an的a14 , q -, 2 得 a1 4, a2 2, a3 1,且當 n3時，0an1. 所以 b4, a2, b31，且當 n3時，tnlsn。. 4,n 1,

2、 即 Tn6,n 2, 7, n 3. (n)證明：因為 Tn 2n 1(nw2014), 所以 4二二3, bn Tn Tn 1 2(2w nw 2014). 因為bjan,所以 a13,4) , an2,3)(2 w nW 2014). 由 q魚，得q 1.因為 a2014a2q20122,3), a1 1 所以 q2012 -，所以-q20121，即(2嚴 q 1 . a2333 (川)證明：(充分性)因為 aN；, n1廣 所以 an-sqN , 所以bn .an .an對一切正整數(shù)n都成立. 因為$二耳+曲匕,人二b+d + |-bn , 所以Sn_Tn. （必要性）因為對于任意的

3、nN：, （Tn, 當 n 1 時，由 a1S|, b ，得 a1 d ； 當 n 2 時，由anSnSn 1,bnTnTn1，得 3nbn . 所以對一切正整數(shù) n都有an bn. 由bnZ，an0，得對一切正整數(shù) n都有外f N， 所以公比q色為正有理數(shù). ai 假設qN，令q.E，其中p,rN,r1，且p與r的最大公約數(shù)為1. 因為4是一個有限整數(shù)， 所以必然存在一個整數(shù) k（kN），使得a能被rk整除，而不能被rk 1整除. k 1 k 1 a1 p 又因為ak 2丁廠，且p與r的最大公約數(shù)為1. r 所以a2 Z，這與吐N（ n N）矛盾. 所以q N . 因此耳N，q N . 2.

4、為了響應政府的“節(jié)能減排”的號召，某政府決定用“對社會貢獻率”對企業(yè)進行評價， 用an表示某企業(yè)第n年投入的治理污染的環(huán)保費用，用bn表示該企業(yè)第n年因治理污染所 增的產(chǎn)值。設a1 a（萬元），且以后治理污染環(huán)保費用每年都比上一年增加2a （萬元）； a b 又設D b（萬元），且企業(yè)所增的產(chǎn)值每年均比上一年增長10%用Pn表示企業(yè)第 100ab n年“對社會貢獻率”。 （1）求該企業(yè)第一年和第二年的“對社會貢獻率”； （2 ）試問：從第幾年起該企業(yè)“對社會貢獻率”不低于20% （參考數(shù)據(jù)： 1.15 1.611.16 1.771.17 1.95） 20.本題主要琴查應用講中的等比等差數(shù)列阿b

5、解決濟何題的能九 ab =1 地 = S1 皿=3 眼 解析：由題意知叮成等差甑列，直成#比數(shù)列二色二口 +帥-1)-勿=(勿一 l)e 只= 1 WOah“100(3 即該企業(yè)第一年和第二年的乍寸社會貢獻牽/分別育1%和13% 咅S空匸sm。% 00ab 100 由于眄尺為遞增數(shù)列 2-1 又當卑=6時，斥=11x1句 20% . 7 100 3數(shù)列；J嗆嘰叫TX二lg弋刖*,設數(shù)列血門即的前n項和 分別為An和Bn。 (1)若數(shù)列團是等差數(shù)列，求An和Bn； (2)若數(shù)列伸是公比/廠卄為等比數(shù)列： 求A2013； 是否存在實數(shù) m使 2 a1 a2 HI ak (ak ak 2 即Sk 2

6、Sk a1 a2 ak ak 1 a1 2(k S1 a2 a2 川ak hl ak 1,2,3,1,n). a1 a2 a3 ak 1 ak a4 ak S3 S4 1 (n N ,n k an ), 2n 1). ak 2 an III an ak 2 bl an HI an1 an 產(chǎn)III Sn Sn 2 n 1 Sn 1 n 2 1 2 2 Sn n 3 1 2 11111111m, 22233445 川 1 1 2 2n 8.對于實數(shù)x，將滿足“ 0 y 1且x y為整數(shù)” 的實數(shù)y稱為實數(shù)x的小數(shù)部分，用記 號；：x表示例如1.2 0.2,：； 12 1 7對于實數(shù)a，無窮數(shù)列1

7、滿足如下 條件: 0 a1a ,an 1 an 0,其中n 1,2,3,川. an 0, (I)若a ,2，求數(shù)列 的通項公式; N ,都有an a,求符合要求的實數(shù)a構成的集合A ; 1 (n)當a 丄時，對任意的 4 (川)若a是有理數(shù)，設a -(p是整數(shù), q q是正整數(shù)，p , q互質(zhì))，對于大于q (I) ai 1 i 21，則 ak 的任意正整數(shù)n,是否都有an 0成立，證明你的結論. 右ak 2 1 -2 1 ak 所以an 1 所以丄a 1 ，從而 4 1 當丄 2 1，即1 2時, 1 1 a a 所以a2 解得: .5 1 當丄 3 1 i1 ，舍去) 3時, 所以a2 2

8、a 10 解得ai2(a2 1 時，即3 4時, 解得a 3.13 2 13 11 43 綜上，集合A a i2 （川）結論成立. 由a是有理數(shù)，可知對一切正整數(shù) Pn 可設an-（ Pn是非負整數(shù), qn P臼，可得0 qq1 Pi 若 Pn 0，設 qnPn （o 1 2 ，舍去） a2 舍去） 3、13 2 n , an為o或正有理數(shù), qn是正整數(shù)，且Pn,qn互質(zhì)） pn， 是非負整數(shù)） ，故 an 巴得丄 qn an Pn 1， qn Pn qn 1Pn，可得 0 Pn 1Pn 若a ,a2, a3, ,aq均不為0，則這q正整數(shù)pn（n 1,2,3，川，q）互不相同且都小于q，

9、但小于q的正整數(shù)共有q 1個，矛盾. 故印 & , a3, ,aq中至少有一個為0,即存在m（1 m q)，使得 am 0 從而數(shù)列 an中am以及它之后的項均為 0, 所以對于大于q的自然數(shù)n，都有an 9.已知數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，且 a a2川 an， 則i 1,0,1，所以 X宀，即Sn0 設集合Ak x|x ia, 1 或 i 0,或 i 1(1 k n)。 i 1 k 性質(zhì)1若對于x Ak，存在唯一一組i (i 1,2, , k)使xjaj成立，則稱數(shù)列an i 1 為完備數(shù)列，當k取最大值時稱數(shù)列an為k階完備數(shù)列。 k 性質(zhì)2若記mk1 k n),且對于任意 x mk, x

10、 Z，都有x A成立，則稱數(shù) i 1 列an為完整數(shù)列，當k取最大值時稱數(shù)列an為k階完整數(shù)列。 性質(zhì)3若數(shù)列an同時具有性質(zhì)1及性質(zhì)2，則稱此數(shù)列an為完美數(shù)列，當k取最大值 時a*稱為k階完美數(shù)列； (I)若數(shù)列an的通項公式為an 2n 1，求集合A?，并指出a.分別為幾階完備數(shù) 列，幾階完整數(shù)列，幾階完美數(shù)列； (n)若數(shù)列an的通項公式為an 10n 1，求證：數(shù)列務為n階完備數(shù)列，并求出集 合A中所有元素的和Sn ； (川)若數(shù)列an為n階完美數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式。 (I) A 4, 3, 2, 1,01,2,3,4 ； an為2階完備數(shù)列，n階完整數(shù)列，2階完美數(shù) 列； (

11、n)若對于 x An，假設存在 2組 i 及 i (i 1,2 ,n )使 x n iai成立, i 1 則有 1100 2102 n10n1 1100 2102 n10n1， 即 (11)100 (2 2)101 (n n)10n1 0，其中 i , i 1,0,1, 必有 1 1 , 2 2 nn， 所以僅存在唯一 組 i ( i 1,2 ,n ) n 使xi i 1 ai成立， 即數(shù)列an為n階完備數(shù)列； Sn0，對 x / n ， xi W 3i，則 n x n iai(i )ai， 因為i 1,0,1, （川）若存在n階完美數(shù)列，則由性質(zhì) 1易知An中必有3n個元素，由（n）知 代中

12、元素 3 3n 1 一, n 丄 31 , mn 2 成對出現(xiàn)（互為相反數(shù)），且o An，又an具有性質(zhì)2，則An中3“個元素必為 A 3133 川“門 “ m3n 人 丁，丁，川他1川二 F面用數(shù)學歸納法證明 an 3n 1 顯然n 1,2時命題成立，假設當 n 1,k N）時命題成立，即 3k 1 3k 3 Ak ：,寧 1,0,1, 3k 2 3 3k 當n k 1時，只需證 Ak 1 |,p. 3k (3k 2) . 3k 2,川2 4 川Ln,3 k 1(3k2)川 3k 1 1 2 川, 由于對稱性只寫出了 乓1元素正的部分, 其中1 2 既Ak中正的部分的 31個元素統(tǒng)一為 2 31，其中 i 1,3,5, 2 ,3k k k k ，到3一3一2這3一