平行四邊形講義新打印版

1、平邊四邊形知識(shí)點(diǎn) .知識(shí)框架 .知識(shí)概念 平行四邊的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點(diǎn) 連成的線段叫做它的對(duì)角線。 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等,對(duì)角線互相平分。 平行四邊形的判別方法： 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。 矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。 矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角

2、。（矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形, 有兩條對(duì)稱(chēng)軸） 矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形 （根據(jù)定義）。 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。 四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。 推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且四條邊都相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角 線平分一組對(duì)角。 菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱(chēng)軸。 菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 四條邊都相等的四邊形是菱形。 S菱形=1/2X ab （a b為兩條對(duì)角線）或底x高 正方形的定義：

3、一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。 正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有 四條對(duì)稱(chēng)軸） 正方形常用的判定： 有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形; 鄰邊相等的矩形是正方形； 對(duì)角線互相垂直的矩形；對(duì)角線相等的菱形； 梯形的定義： 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。 直角梯形的定義：有一個(gè)角是直角的梯形 等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。 等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。 等腰梯形判定定理：同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。 梯形常用輔助線： 平行四邊形的判定及性質(zhì)鞏固練習(xí)題 1、如圖，已知在四邊形 AB

4、CD中, AD=BC/ D=Z DCE求證：四邊形 ABCD是平行四邊形. 2、 3、有一個(gè)四邊形的四邊長(zhǎng)分別是 a, b, c, d,且有a2+b2+c2+d2=2 （ac+bd）.求證：此四邊形是平行四邊 形. 4、 ABCD中 ,AC、BD交于點(diǎn) O, AE=CF 求證：BE=DF 5、（變式練習(xí) 2） ABCD中 ,AC、 BD交于點(diǎn)O, AE=CF BM=DN求證：四邊形 MFNE!平行四邊形 如圖，在 口ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且 AE / CF , AE與CF相等嗎？說(shuō)明理由 6、（變式練習(xí)3）如圖，平行四邊形 ABCD中, E、F是AC上兩點(diǎn)，且 AE=CF又

5、點(diǎn)M N分別在AB CD上 , 且MF/ EN MN交AC于O。求證：EF與MN互相平分。 7、（變式練習(xí)4）如圖所示，口ABCD的對(duì)角線 AC、BD交于O, EF過(guò)點(diǎn)0交AD于E，交BC于F , G是 0A的中點(diǎn)，H是0C的中點(diǎn)，四邊形 EGFH是平行四邊形，說(shuō)明理由 AEB MGNP是平行四邊形嗎？為什么? 8 （變式練習(xí)）口 ABCD中, DE平分/ ADC交BC的延長(zhǎng)線于 E, BF平分 / ABC交AB的延長(zhǎng)線于F,求證：四邊形 DEBF是平行四邊形 9、（變式練習(xí)1）如圖所示，平行四邊形 ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，連結(jié)AN、DN、BM、CM , 且AN、BM交于點(diǎn)P

6、, CM、DN交于點(diǎn)Q.四邊形 10、（變式練習(xí)2）如圖，E、F分別為口 ABCD的邊AD BC的中點(diǎn)。求證：（1） BE=DF （2） O為GH的中點(diǎn)。 11、 ABCD中, E在 AB上, F 在 CD上，且 AE=CF,M為 DE中點(diǎn)，N為 FB 中點(diǎn)，求證：FM=NE ME=NF C 12、已知如圖：在 _ABCD中，延長(zhǎng) AB到E,延長(zhǎng)CD到F,使BE=DF , 則線段AC與EF是否互相平分？說(shuō)明理由. DF/ BE,EF/ AB,證明：AE、DF 13、如圖所示，已知點(diǎn) D是厶ABC的邊AB上的中點(diǎn)，點(diǎn) E是AC上的一點(diǎn), 互相平分 14、如圖, 結(jié)AE, 已知人。是厶ABC的邊B

7、C上的中線， 求證：DE=AC ，點(diǎn)E、F分別在 CD AB的延長(zhǎng)線上，且 AE=AD CF=CB 15、如圖，在 口ABCD中，/ DAB=60 求證：四邊形 AFCE是平行四邊形. 16、如圖所示，某城市部分街道示意圖，AF / BC , EC丄BC, BA / DE , BD / AE , EF=FC，甲、乙兩人同 時(shí)從B站乘車(chē)到F站，甲乘1路車(chē)，路線是 BtAtEtF,乙乘2路，路線是 B宀D宀C宀F,假設(shè)兩車(chē)速 度相同，途中耽誤時(shí)間相同，那么誰(shuí)先到達(dá)F站，請(qǐng)說(shuō)明理由 17、在平行四邊形 ABCD中，BN = DM , BE = DF，求證：四邊形 MENF是平行四邊形 18、如圖，在

8、一 ABCD 中，AB=2AD，延長(zhǎng) AD至U F,使DF=AD,再延長(zhǎng) DA至U E,使AE=AD,求證:BF丄CE. B F 19、如圖19- 1 30,分別以 ABC的三邊為邊長(zhǎng)，在 BC的同側(cè)作等邊三角形 等邊三角形ACF，連接DE , EF。求證：四邊形 ADEF是平行四邊形。 20、如圖3，在 ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn) , E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)， CF / BE ,連結(jié) BF, CE，試判斷四邊形 BECF是何種特殊四邊形，并說(shuō)明理由。 21、如圖2,平行四邊形 ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點(diǎn)，且 AE = CF, BG = DH，試說(shuō)明: EF與GH相

9、互平分. JTK H 圉2 矩形拓展題 1、如圖，四邊形 ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（） A . AB = CDB. AD = BCC. AB= BCD . AC= BD D 2、如圖，矩形 ABCD AB=12cm AD=16cm現(xiàn)將其按下列步驟折疊： （1）將厶BAD對(duì)折，使AB落在AD上, 得到折痕AF,如圖（2）將厶AFB沿BF折疊，AF與DC交點(diǎn)G,如圖則所得梯形 BDGF勺周長(zhǎng)等于（） D.12+4 A.12+2 . 2B.24+2,2C.24+4 3、如圖，邊長(zhǎng)為（m+3）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個(gè)矩形 （不

10、重疊 無(wú)縫隙），若拼成的矩形一邊長(zhǎng)為3,則另一邊長(zhǎng)是（） A . 2m+3B . 2m+6C. m+3D. m+6 C B 4、如圖，矩形 ABCD 中，AB AD , AB=a, AN 平分/ DAB , DM 丄 AN 于 點(diǎn)M , CN丄AN于點(diǎn)N .貝U DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示）（） 4 w 23 A. a BaC.a D. a 5 22 5、如圖，已知矩形紙片 ABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn), BEG 60 ,現(xiàn)沿直線EG AB= 3, AD = 4,將紙片折疊，使點(diǎn) B落在邊CD上的B處，折痕為AE .在折痕 將紙片折疊，使點(diǎn) B落在紙片上的點(diǎn) H處，

11、連接AH，則與 BEG相等的角的個(gè)數(shù)為 D.1 AE上存在一點(diǎn)P到邊CD的距離與到點(diǎn)B的距離相等，則此相等距離為 7小明嘗試著將矩形紙片 ABCD （如圖，ADCD）沿過(guò)A點(diǎn)的直線折疊，使得 B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F 處，折痕為AE （如圖）；再沿過(guò)D點(diǎn)的直線折疊，使得 C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N處，E點(diǎn)落在AE邊上 的點(diǎn)M處，折痕為DG （如圖）.如果第二次折疊后， M點(diǎn)正好在/ NDG的平分線上，那么矩形 ABCD 長(zhǎng)與寬的比值為 M 8如右上圖，將矩形ABCD紙片沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D重合，若BC=8 , CD=6，則CF= 9、如圖2,在矩形 ABC中, AD =4, DC =3

12、,將厶ADC按逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn) A旋轉(zhuǎn)到 AEF （點(diǎn)A B E在同 一直線上），連結(jié)CF,則CF = 圖2 10、如圖矩形紙片 ABCD , AB = 5cm, BC = 10cm , CD 上有一點(diǎn) E, ED = 2cm, AD 交于Q點(diǎn), 過(guò)P作PF丄AD交BC于F,將紙片折疊，使 P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕與 PF 上有一點(diǎn) P, PD = 3cm, 則PQ的長(zhǎng)是 =Z BPD = 90 .求證：平行四邊形 ABCD是矩形. cm. 11、把一張矩形紙片（矩形 ABCD按如圖方式折疊，使頂點(diǎn) B和點(diǎn)D重合， 折痕為EF若AB = 3 cm , BC = 5 cm，則重疊部分 DEF的面積是

13、_cm 2 12、如圖所示，已知平行四邊形ABCD , AC、BD相交于點(diǎn)O, P是平行四邊形 13、如圖自矩形 ABCD的頂點(diǎn)C作CE丄BD,E為垂足，延長(zhǎng)CE至F使CF=BD, 連接AF,求/ BAF的大小 1、下列四邊形中不一定為菱形的是 A 對(duì)角線相等的平行四邊形 C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形 2下列命題中錯(cuò)誤的是 （ A.平行四邊形的對(duì)邊相等 C.矩形的對(duì)角線相等 菱形的性質(zhì)及判定鞏固練習(xí)題 B 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形 D 用兩個(gè)全等的等邊三角形拼成的四邊形 E.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 3如圖，下列條件之一能使平行四邊形 ABCD

14、是菱形的為（ AC BD BAD 90o AB BC AC BD A . B . C. D . 4菱形的周長(zhǎng)為32cm, 個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 60 則兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是（ A . 8cm 和 4 3 cm B . 4cm 和 8 3 cm C . 8cm 和 8、3 cm 4cm和 4.3 cm 5如圖，菱形 ABCD 中，/ B = 60, AB = 2, E、F分別是 BC、 CD 連接 的周長(zhǎng)為（ B. 3.3C .4.3 D .3 6如右圖，四邊形 ABCD是菱形，過(guò)點(diǎn) A作BD的平行線交 CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，則下列式子不成立 的是（ A. DA DE B. BD CE C. EAC

15、90 7如右圖，在菱形 ABCD中，對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn)0, 則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（ 的中點(diǎn), AE、EF、AF，則 AEF ) C A. 16a B. 12a C. 8a D. 4a 8如圖，菱形ABCD中，AE垂直平分 BC，垂足為E , AB 4cm .那么，菱形ABCD 的面積是 ，對(duì)角線BD的長(zhǎng)是 2 9、已知菱形ABCD的面積是12cm ，對(duì)角線AC 4cm,則菱形的邊長(zhǎng)是 A D cm 10、如圖，矩形 ABCD中，AB = 2, BC = 3,對(duì)角線 AC的垂直平分線分別交 AD , BC于點(diǎn)E、F,連接CE,貝U CE的長(zhǎng) 11、如圖所示，兩個(gè)全等菱形的邊長(zhǎng)為 1厘

16、米，一只螞蟻由A點(diǎn)開(kāi)始按 順序沿菱形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)，行走2008厘米后停下，則這只螞蟻停在 E 則BD 12、如圖，菱形 ABCD中，0是對(duì)角線AC, BD的交點(diǎn)，AB 5cm , AO 4cm , 13、如圖所示，已知 口 ABCD, AC, BD相交于點(diǎn) O, ?添加一個(gè)條件使平行四邊形為菱形, 添加的條件為 .(只寫(xiě)出符合要求的一個(gè)即可) 13題圖 12題圖 14、 如圖所示, D, E, F分別是 ABC的邊BC, CA , AB 上的點(diǎn)，且 DE / AB , DF / CA，要使四邊形 AFDE是菱形，則要增加的條件是 .(只寫(xiě)出符合要求的一個(gè)即可) 15、菱形 ABCD 的周長(zhǎng)為

17、48cm, / BAD : ?/ABC=?1 : ?2, ?則 BD=?. ,?菱形的面積是 16、在菱形ABCD中，AB=4 , AB邊上的高DE垂直平分邊AB，貝U BD= ,AC= 17、如圖，四邊形 ABCD是菱形，DE丄AB交BA的延長(zhǎng)線于 E, DF丄BC ,交BC的延長(zhǎng)線于F。請(qǐng)你猜 想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想 18、已知：如圖， AD 平分/ BAC , DE / AC 交 AB 于 E, DF / AB 交 AC 于 F. 證：四邊形AEDF 是菱形. 19、如圖，四邊形 ABCD 中，AB / CD , AC 平分 BAD , CE / AD 交 AB 于

18、 E . (1)求證：四邊形 AECD是菱形; (2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷 ABC的形狀，并說(shuō)明理由. 20、如圖8,在平行四邊形 ABCD中，E, F分別為邊AB, CD的中點(diǎn)，連接DE, BF, BD . (1)求證： ADE CBF . (2 )若 AD BD , 則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論 D F 、 C A E 一 B 21、如圖，在 ABC 中，/ BAC=90 , AD 丄 BC 于 D, CE 平分/ ACB，交 AD 于 G,交 AB 于 E, EF丄 BC于F,四邊形AEFG是菱形嗎？ 22、如圖，三角形 ABC中，AD是/ BAC的平分線，E是

19、AC上一點(diǎn)，AE=AB,EF / BC交AD于F, BE 與AD交與G,求證：四邊形 BDEF是菱形。 23、如圖、在三角形 ABC中，/ A=90 o，/ B的平分線交 AC于D,交高 AH于E, DF丄BC,F為垂足, 求證：四邊形AEFD為菱形。 24、如圖，菱形 ABCD中，對(duì)角線 AC BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作AH丄BC,交BD于E，垂足為H,已知CH=4 AH=8 (1 )求菱形的周長(zhǎng); (2) 求OE的長(zhǎng)度. 25、如圖，在 RtA ABC中，/ B=90, BC=5.3，/ C=30。點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒 2個(gè)單位 長(zhǎng)的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方

20、向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t 0) 過(guò)點(diǎn)D作DF丄 BC于點(diǎn)F，連接DE、EF. (1) 求證：AE=DF ; (2) 四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由 (3) 當(dāng)t為何值時(shí)， DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由 正方形練習(xí)題 1、 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，它的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) 0,則厶ABO的周長(zhǎng)為，面積為 2、 如圖，E是正方形 ABCD 邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， EC=AC，AE交CD于F,則/ AFC= 2題圖 3題圖 6題圖 D 3、如圖，在正方形 ABCD

21、 中，AB=8 , AE=2, EF= 2丿5 點(diǎn) E 在 AB 上，點(diǎn) F 在 AD 上，貝U CF= 4、在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE把正方形分成兩部分，且 S abe : S梯形aecd 1： 5 , AB=6,則 AE= 1 5、 若正方形面積縮小為原來(lái)的-，則它的邊長(zhǎng)是原來(lái)邊長(zhǎng)的 3 6、 如圖，ABCD是正方形，M是BC中點(diǎn)，將正方形折起，使點(diǎn) A與點(diǎn)M重合，設(shè)折痕為 EF,若正方形 面積為64,那么 AEM的面積是 7、 如圖，以正方形 ABCD的對(duì)角線 BD為邊作正三角形 BDE,過(guò)E作EF丄AD,交DA的延長(zhǎng)線于 F,則/ AEF=; 若正三角形 BDE的周長(zhǎng)是1

22、2 J2，正方形面積為 D C B F 7題圖 8、如圖，在正方形 ABCD中, 8題圖10題圖 P是AD上任一點(diǎn)，PE丄AC,PF丄BD,點(diǎn)E、F分別是垂足, BD+AC=14 則 PE+PF= 9、正方形 ABCD邊長(zhǎng)為8, M在DC上，且DM=2,N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，貝U DN+MN勺最小值為 10、如圖，已知邊長(zhǎng)為 1的正方形ABCD E為AD中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，貝U S BPD = 11、在厶ABC 中，AB=AC , D 是 BC 中點(diǎn)，DE丄AB,DF丄AC,垂足 分別為 E,F,只添加一個(gè)條件 ,使四邊形AEDF為正方形（寫(xiě)出一個(gè)條件即可） 12、如圖，將邊長(zhǎng)為 1的正方形A

23、BCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60 ，至正方形 ABCD,則旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)正 方形重疊部分的面積是 13、如圖，在正方形 ABCD中，M為BC上任一點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，且 AM=DC+CM 求證：AN平分/ DAM 14、已知正方形 ABCD中, M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， MNL DM且交/ CBE的平分線于 N.求證: MD=MN.若M是AB上任意一點(diǎn)，MD=MNE成立嗎？若成立，請(qǐng)證明之；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。 15、如圖，在正方形 ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) G.求證：BE=BG+CF E作AE的垂線分別交 CD、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、 F 16、如圖，在正方形 ABCD

24、中， PAQ是正三角形，設(shè) AB=10,求PB的長(zhǎng) B 17、如圖，在正方形 ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線 AC上任一點(diǎn)，BF丄EF,求證：BF=EF F移到什么位置時(shí), 18、如圖，正方形 ABCD邊長(zhǎng)為1 , E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上移動(dòng)試判斷當(dāng)點(diǎn) AE是/ DAF的平分線？ 19、如圖，在正方形 ABCD中, E是DB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且/ ECB=15 .求證：EC=BD 四邊形綜合培優(yōu)題 1、以厶ABC的邊AB、AC、BC為邊作等邊 ABD、等邊 ACE和等邊 BCF。 (1) 求證四邊形 ADFE是平行四邊形. (2) 當(dāng)厶ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形 ADFE是矩形； (3) 當(dāng)厶

25、ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，平行四邊形ADFE不存在； (4) 當(dāng)厶ABC分別滿(mǎn)足什么條件時(shí)，平行四邊形是菱形、正方形. 2、如圖：正方形ABCD的對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O, E是AC上的一點(diǎn)，連接EB,過(guò)點(diǎn)A作AM丄BE , 垂足M , AM交BD于點(diǎn)F. 求證OE=OF 如圖2所示，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM丄EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其他條件 都不變，則結(jié)論 OE=O”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由. C ,AB/CD,M,N 分別是 AB,CD 3、如圖，在梯形 ABCD中，/ A+ / B=90 1 的中點(diǎn)，求證：MN= (AB CD).

26、4、已知：如圖，在厶ABC 中, AB=AC, AD丄BC,垂足為點(diǎn) D , AN是厶ABC外角/ CAM的平分線，CE丄AN , 垂足為點(diǎn)E, (1) 求證：四邊形 ADCE為矩形； (2) 當(dāng) ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形 ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明. M N 5、在口ABCDK/ BAD的平分線交直線 BC于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)F. (1)在圖1中證明CE= CF； (2)若/ ABC= 90 , G是EF的中點(diǎn)(如圖2),求/ BDG勺度數(shù) F 圖2 圖3 (3)若/ ABC= 120, FG/ CE F*CE 分別連結(jié) DB DG(如圖 3),求/ BDG勺度數(shù). 6、已知正方

27、形 ABCD點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E在DC邊所在直線上，且始終保持 PE= PD 7、如圖，梯形 ABCDK AD/ BC / DCB= 45, CD= 2, BD丄 CD 過(guò)點(diǎn) C作 CEL AB于 E,交對(duì)角線 BD于 F, 點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連結(jié) EG AF. （1 ）求EG的長(zhǎng)；（2）求證：CF= AB+ AF.（用兩種方法證明） （1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，觀察、猜想 PE與PB有怎樣的關(guān)？并證明你的結(jié)論。 （2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果 不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的

28、反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖3畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形, 并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系？并證明你的結(jié)論。 8以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為 G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH . (1) 如圖1,當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為 矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形 EFGH的形狀并說(shuō)明理由； (2) 如圖3,當(dāng)四邊形 ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)/ ADC= (0 V 90, 試用含 的代數(shù)式表示/ HAE : 求證：HE=HG : 四邊形EFGH是什么四邊形？并說(shuō)明理由. 9、如圖，在

29、梯形 ABCD中，AD / BC, E、F分別是 AB、DC邊的中點(diǎn)，AB=4，/ B=60 (1)求點(diǎn)E到BC邊的距離； (2)點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P作PM丄BC,垂足為M，過(guò)點(diǎn)M作MN / AB交線段AD于點(diǎn)N , 連接PN、探究：當(dāng)點(diǎn) P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)， PMN的形狀是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出厶 PMN的面 積和周長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由. 10、將一副三角尺如圖拼接：含30角的三角尺( ABC的長(zhǎng)直角邊與含 45角的三角尺( ACD的 斜邊恰好重合已知 AB= 2 .,3 , P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). （1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到/ ABC的平分線上時(shí)，連接 DP求DP的長(zhǎng)； （2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn) PD= BC時(shí)，求此時(shí)/ PDA勺度數(shù)； Q恰好在邊BC上？求出此時(shí)口 （3） 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以 D, P,