武漢工程大學(xué)考研《數(shù)值分析》考研大綱

1、2006 年武漢工程大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研大綱 課程編號(hào) 英文名稱(chēng) ： Mathematical Analysies 課程性質(zhì) ：基礎(chǔ)課 適用專(zhuān)業(yè) ：計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù) 要求先修課程，高等代數(shù)，空間解析幾何 考試時(shí)間 ：3 小時(shí) 滿(mǎn)分：150 分 教材：陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，歐陽(yáng)光中，數(shù)學(xué)分析上，下冊(cè)，高等教育 出版社， 參考書(shū) ： 1、劉玉璉，傅沛仁，數(shù)學(xué)分析講義，上下冊(cè)，高等教育出版社。 2、劉玉鏈等，數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(shū)，上下冊(cè)，高等教育出版社 考題類(lèi)型：客觀(guān)題50分，其中填空題 30分，選擇題 20分，主觀(guān)題 100分 考試內(nèi)容 第二章 1、數(shù)列的極限。 2、函數(shù)的根限。 3、函數(shù)的連續(xù)性。

2、 4、無(wú)窮小與無(wú)窮大。 基本要求： (1) 掌握極限的定義，會(huì)用N, S語(yǔ)言證明極限存在。 (2) 會(huì)求極限，掌握關(guān)于極限的性質(zhì)。 (3) 掌握函數(shù)連續(xù)的概念，會(huì)判斷函數(shù)的連續(xù)性，會(huì)判斷間斷點(diǎn)及類(lèi)型， 熟悉連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和局部性質(zhì)。 ( 4)會(huì)比較無(wú)窮小的階，并會(huì)使用等價(jià)無(wú)窮小求極限。 ( 5 )熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 第三章 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理 1 、實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理。 2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。 基本要求： (1) 熟悉六個(gè)實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的條件與結(jié)論，這六個(gè)定理是：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù) 列必有極限，確界原理，閉區(qū)間套定理，有界無(wú)窮數(shù)列必有收斂子列，有限覆蓋 定理， cauchy 收斂

3、準(zhǔn)則。 (2) 了解六個(gè)定理之間的邏輯關(guān)系。 (3) 掌握函數(shù)一致連續(xù)的概念。 (4) 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)使用這些性質(zhì)證明一些較簡(jiǎn)單的 命題 （5）熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明過(guò)程。 第四章 導(dǎo)數(shù)與微分 1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義與求導(dǎo)公式。 2、求導(dǎo)法則： （1）四則運(yùn)算法則，（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。 （3）隱函數(shù)及參數(shù)分程表示的函數(shù)的求導(dǎo)法則。 3、高階導(dǎo)數(shù) 4、微分及其運(yùn)算 基本要求 （1）掌握導(dǎo)數(shù)，左、右導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)用左、右導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)或證明導(dǎo)數(shù)的 存在。 （2）熟練掌握求導(dǎo)法則，會(huì)求導(dǎo)數(shù)，包含高階導(dǎo)數(shù)。 （3）理解導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，會(huì)求微分 。 第五章 微分中值定理及其應(yīng)

4、用 1、中值定理。 2、泰勒公式。 3、函數(shù)的單調(diào)性，凸性，極值。 4、LHospital 法則。 基本要求： （1）掌握三個(gè)中值定理特別是拉格朗日中值定理的應(yīng)用。 （2）熟悉泰勒公式及其余項(xiàng)的兩種形式：拉格朗日余項(xiàng)和皮亞諾余項(xiàng)。 （3）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，凸性，求拐點(diǎn)。 （4）會(huì)求函數(shù)的極值，最值。 （5）會(huì)使用 L Hospital 法則求極限。 第六章 不定積分 1、不定積分的概念與運(yùn)算法則。 2、不定積分的計(jì)算。 基本要求： （1）熟練運(yùn)用積分公式。 （2）掌握換元積分法，分部積分法。 （3）掌握有理函數(shù)積分法，簡(jiǎn)單有理函數(shù)和三角有理式的積分法。 第七章 定積分 1、定積分的概

5、念。 2、定積分的可積性質(zhì)。 3、定積分的性質(zhì)。 4、定積分的計(jì)算。 基本要求： （1）掌握定積分的定義。 (2) 熟悉定積分存在的充要條件，并能證明函數(shù)可積性。 (3) 會(huì)運(yùn)用定積分的性質(zhì)，特別是變限函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。 (4) 會(huì)計(jì)算定積分(N L公式，換元積分與分部積分等)。 第八章 定積分的應(yīng)用 1、平面圖形面積的計(jì)算。 2、曲線(xiàn)的孤長(zhǎng)。 3、 體積的計(jì)算：旋轉(zhuǎn)體，截面面積已知。 4、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積。 5、平均值。 下冊(cè) 第九章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性和基本性質(zhì)。 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)。 3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。 4、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。 基本要求： ( 1)掌握收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

6、和 cauchy 收斂準(zhǔn)則。 ( 2 )掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的以下的判斷法： 收斂的充要條件， 比較判斷法， 比值判別法，根式判別法，積分判別法，掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的判別法，任意級(jí)數(shù) 轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法，掌握狄利克萊，阿貝爾判別法。 ( 4)了解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。 第十章 廣義積分 1、無(wú)窮限的廣義積分。 2、無(wú)界函數(shù)的廣義積分。 基本要求： ( 1)廣義積分的計(jì)算。 ( 2)掌握廣義積分收斂的判別法。 第十一章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和一致收斂。 2、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，和函數(shù)。 3、將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)。 基本要求：( 1)掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的概念，會(huì)判斷一致收

7、斂，主 要是M 判別法。 ( 2)掌握一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的三個(gè)分析性質(zhì)：逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分、 函數(shù)的連續(xù)性。 ( 3)會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)域。 ( 4)會(huì)求和函數(shù)以及將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)。 第十二章 Fourier 級(jí)數(shù) 1、函數(shù)展成 Fourier 級(jí)數(shù)。 2、 Fourier 級(jí)數(shù)的收斂性。 基本要求： (1)會(huì)求周期為 2T 的函數(shù)的函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)。 (2) 會(huì)將定義于 O、T 的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)。 (3)掌握函數(shù)f (x)的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理。 第十三章 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 1、平面點(diǎn)集。 2、多元函數(shù)的極限。 3、多元函數(shù)的連續(xù)。 基本要求

8、： ( 1 )熟悉距離，鄰域，聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、開(kāi)集、閉集、區(qū)域的概念。 ( 2)了解平面點(diǎn)集連續(xù)性定理。 (3) 掌握多元函數(shù)極限的概念 (主要是二元函數(shù)的極限) ，熟悉重極限與累 次極限的關(guān)系。 (4) 熟悉多元函數(shù)連續(xù)的概念，掌握極限的運(yùn)算法則，連續(xù)函數(shù)的局部性 質(zhì)。 (5) 熟悉有界閉區(qū)域連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 第十四章 偏導(dǎo)數(shù)和含微分 1、偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念。 2、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的法則。 3、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。 4、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面方程。 5、空間曲面的切平面與法線(xiàn)方程。 6、方向?qū)?shù)與梯度。 基本要求： ( 1)會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)。 (2) 掌握隱函數(shù)(一個(gè)方程，兩個(gè)方程)的求導(dǎo)法則。 (3

9、) 會(huì)求空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)法平面方程。空間曲面的切面與法線(xiàn)方程。 ( 4)會(huì)求方向?qū)?shù)和梯度。 第十五章 極值 1、極值與最值的求法。 2、條件極值的求法(拉格朗日乘子法) 。 第十六章 隱函數(shù)存在定理 1、隱函數(shù)存在定理。 2、函數(shù)行列式的性質(zhì)。 基本要求： (1) 掌握隱函數(shù)(一個(gè)方程，多個(gè)方程)存在定理的條件與結(jié)論。 (2) 熟悉函數(shù)行列式的性質(zhì)。 第十七、十八章 含參變量的積分 1、含參變量的定積分。 2、含參變量的無(wú)窮限積分。 3、含參變量的無(wú)界函數(shù)的積分。 基本要求： （ 1）掌握含參量定積分的分析性質(zhì)。 （2）掌握含參變量廣義積分的一致收斂性的概念，一致收斂性的判別法， 主要是控制收

10、斂定理即魏爾斯特拉斯判別法。 （3）掌握一致收斂積分的分析性質(zhì)，連續(xù)性、積分號(hào)下求導(dǎo)，積分號(hào)下積 分。 第十九章 重積分，第一類(lèi)曲線(xiàn)積分，第一類(lèi)曲面積分的定義與性質(zhì) 基本要求： （1）掌握二重，三重積分，第一類(lèi)曲線(xiàn)積分和曲面積分的定義。 （2）理解重積分的幾何意義，第一類(lèi)曲線(xiàn)積分和曲面積分的物理意義。 （3）掌握以上三種積分的性質(zhì)。 第二十章 重積分的計(jì)算及應(yīng)用 1、二重、三重積分化為累次積分法。 2、二重積分、三重積分的換元積分法。 基本要求： （1）掌握二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分的方法。 （2）掌握二重積分的極坐標(biāo)變換，三重積分球面坐標(biāo)變換的積分法。 （3）了解二重積分、三重積分的一般變換的積

11、分方法。理解Jacobi 行列式 的作用。 第二十一章 曲線(xiàn)積分與曲面積分的計(jì)算 1、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分，曲面積分的計(jì)算。 2、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義與計(jì)算。 3、第二類(lèi)曲面積分的定義與計(jì)算。 4、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分，兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系。 第二十二章 各種積分之間的關(guān)系 1、格林公式。 2、奧高公式。 3、斯托克斯公式。 4、曲線(xiàn)積分與路徑的關(guān)系。 基本要示： （1）掌握以上主要公式的應(yīng)用。 （2）掌握曲線(xiàn)積分與路徑的關(guān)系的條件。 考試內(nèi)容基本要求： 1、 計(jì)算方面 （1）會(huì)求極限（ 2）會(huì)求導(dǎo)數(shù)，含偏導(dǎo)和高階導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)，梯度。 （3） 會(huì)求積分（含不定積分， 定積分、廣義積分、重積分、 曲線(xiàn)積分、 曲面積分）（4） 會(huì)求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和與收斂區(qū)間，會(huì)將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)或 Fourier 級(jí)數(shù)。 2、證明方面 （1）用& N, & S語(yǔ)言證明極限或函數(shù)的連續(xù)性。 （ 2）會(huì)運(yùn)用連續(xù)函數(shù)性質(zhì) （含閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)和極限性質(zhì)如局部有界性， 保號(hào)性或保序性等）以及函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,證明有關(guān)命題。 （3）會(huì)用微分中值定理和定積分性質(zhì)證明有關(guān)命題。 （4）可積性（含重積分）的證明。 （5）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),含參變量積分（廣義）的一致收斂性的證明,以及運(yùn)用 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 含參變量積分一致收斂的分析性質(zhì)證明有關(guān)命題, 熟練掌