第十章概率全章總結(jié)精講（原卷版）

第十章概率全章總結(jié)(精講）一、知識脈絡(luò)二、重點(diǎn)題型精講1、互斥事件、對立事件與相互獨(dú)立事件2、古典概型3、相互獨(dú)立事件概率的計算4、概率的綜合應(yīng)用5、高考真題感悟一、知識脈絡(luò)二、重點(diǎn)題型精講1、互斥事件、對立事件與相互獨(dú)立事件1．(多選）（2022·湖南永州·三模）已知事件與事件為互斥事件，是事件的對立事件，是事件的對立事件，若，，則（

）A． B．C． D．事件與事件不獨(dú)立2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)M，N為兩個隨機(jī)事件，給出以下命題：①若M，N為互斥事件，且，，則；②若，，，則M，N為相互獨(dú)立事件；③若，，，，則M，N為相互獨(dú)立事件；④若，，，則M，N為相互獨(dú)立事件；⑤若，，，則M，N為相互獨(dú)立事件．其中正確命題的個數(shù)為______．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）某居民小區(qū)有兩個相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)，簡稱系統(tǒng)A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p．(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)求系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率．4．（2022·重慶·模擬預(yù)測）冰壺被喻為冰上的“國際象棋”，是以團(tuán)隊為單位在冰上進(jìn)行的投擲性競賽項(xiàng)目，每場比賽共10局，在每局比賽中，每個團(tuán)隊由多名運(yùn)動員組成，輪流擲壺、刷冰、指揮．兩邊隊員交替擲壺，可擊打本方和對手冰壺，以最終離得分區(qū)圓心最近的一方冰壺數(shù)量多少計算得分，另外一方計零分，以十局總得分最高的一方獲勝．冰壺運(yùn)動考驗(yàn)參與者的體能與腦力，展現(xiàn)動靜之美，取舍之智慧．同時由于冰壺的擊打規(guī)則，后投擲一方有優(yōu)勢，因此前一局的得分方將作為后一局的先手?jǐn)S壺．已知甲、乙兩隊參加冰壺比賽，在某局中若甲方先手?jǐn)S壺，則該局甲方得分概率為；若甲方后手?jǐn)S壺，則該局甲方得分概率為，每局比賽不考慮平局．在該場比賽中，前面已經(jīng)比賽了六局，雙方各有三局得分，其中第六局乙方得分．(1)求第七局、第八局均為甲方得分的概率；(2)求當(dāng)十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地進(jìn)行某項(xiàng)技能測試，已知甲能通過測試的概率是，甲、乙、丙三人都能通過測試的概率是，甲、乙、丙三人都不能通過測試的概率是，且乙通過測試的概率比丙大．求乙、丙兩人各自通過測試的概率．6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，甲獲得比賽勝利或平局的概率為0.7，乙獲得比賽的勝利或平局的概率為0.4．(1)求甲獲得比賽勝利的概率；(2)求甲、乙兩人獲得平局的概率.7．（2022·內(nèi)蒙古通遼·二模（理））盲盒，是指消費(fèi)者看不見里邊所裝物品的盒子，具有隨機(jī)屬性，只有打開才會知道自己抽到了什么．現(xiàn)有9個盲盒，每一個都裝有1個商品，里邊商品價值不超過10元的有5個，超過10元的有4個．現(xiàn)有甲、乙兩人輪流取出1個盲盒拆開，甲先取，取后拆開不放回，直到兩人中有一人取到裝有超過10元商品的盲盒時終止，每個盲盒每一次被取出的機(jī)會是均等的．(1)求取盲盒3次即終止的概率；(2)求甲取到裝有超過10元商品的盲盒的概率．8．（2022·福建龍巖·高二期中）在箱子中有大小相同，僅顏色不同的小球共6個，其中紅色小球2個，白色小球4個．現(xiàn)從箱子中每次隨機(jī)取出一個小球，若取出的是白球，放回，并繼續(xù)從箱子中隨機(jī)取出一個小球；若取出的是紅色小球，不放回，并繼續(xù)從箱子中隨機(jī)取出一個小球．直到取出2個紅色小球結(jié)束．(1)若在第一次取出的小球是紅球的條件下，求取球4次結(jié)束的概率；(2)求取球結(jié)束時，取球次數(shù)不超過3次的概率．2、古典概型1．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））針對長江經(jīng)濟(jì)帶河湖保護(hù)中存在的突出問題，水利部門出臺了一系列指導(dǎo)和保護(hù)措施，取得了積極成效.為了解當(dāng)?shù)鼐用駥﹂L江及沿岸生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識，分別從長江沿岸的兩地居民中各隨機(jī)抽取了20位居民進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查問卷的成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：甲地得分：79，60，80，96，89，54，74，72，65，52，61，85，61，81，79，74，53，68，68，53.乙地得分：80，86，73，60，52，96，77，93，75，99，81，67，55，77，74，97，85，77，99，78.(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制莖葉圖并大致判斷甲?乙兩地哪個地區(qū)居民的環(huán)保意識相對較高，并說明理由；(2)現(xiàn)從90分以上的調(diào)查問卷中隨機(jī)抽取2份進(jìn)行分析，求這2份問卷中至少有1份來自甲地的概率.2．（2022·廣西梧州·高一期中）為進(jìn)一步加強(qiáng)中華傳統(tǒng)文化教育，提高學(xué)生的道德素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的民族精神，更好地讓學(xué)生傳承和發(fā)揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化和傳統(tǒng)美德，某校組織了一次知識競賽．現(xiàn)對參加活動的1280名學(xué)生的成績(滿分100分)做統(tǒng)計，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．請大家完成下面問題：(1)求參賽同學(xué)的平均數(shù)與中位數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后保留2位)(以每個區(qū)間的中點(diǎn)作為本區(qū)間的取值)；(2)若從該校80分至100分之間的同學(xué)按分層抽樣抽取一個容量為7的樣本，再從該樣本任選2人參加與其他學(xué)校之間的比賽，求抽到的兩人至少一人來自90分至100分的概率．3．（2022·四川德陽·三模（文））第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會于2022年2月4日在中國北京開幕，簡稱“北京冬奧會”.某媒體通過網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)采訪了某市100名關(guān)注“北京冬奧會”的市民，其年齡數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)已知[30，40）?[40，50）?[50，60）三個年齡段的人數(shù)依次成等差數(shù)列，求的值；(2)該媒體將年齡在[30，50）內(nèi)的人群定義為高關(guān)注人群，其他年齡段的人群定義為次高關(guān)注人群，為了進(jìn)一步了解其關(guān)注項(xiàng)目.現(xiàn)按“關(guān)注度的高低”采用分層抽樣的方式從參與采訪的100位關(guān)注者中抽取5人，并在這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電視訪談，求此2人中恰好來自高關(guān)注人群和次高關(guān)注人群各一人的概率.4．（2022·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎(chǔ)，全民積極維護(hù)飲用水水源安全，保障安全飲水.同時，國家提倡節(jié)約用水，各地積極開展節(jié)水?用水安全活動.為了提高節(jié)水用水意識，蘇州市某校開展了了“節(jié)約用水，從我做起”主題競賽活動，從參賽的學(xué)生中隨機(jī)選取100人的成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計該校此次參賽學(xué)生成績的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)點(diǎn)值代表）；(2)在該樣本中中，若采用分層抽樣方法，從成績低于65分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人調(diào)查他們的答題情況，再從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行深入調(diào)研，求這3人中至少有1人的成績低于55分的概率.5．（2022·全國·高二單元測試）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI，為整數(shù)）的不同，可將空氣質(zhì)量分級如下表：AQI級別一級二級三級四級五級（A）五級（B）現(xiàn)對某城市30天的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，獲得30個AQI數(shù)據(jù)（每個數(shù)據(jù)均不同），統(tǒng)計繪得頻率分布直方圖如圖所示．(1)請由頻率分布直方圖來估計這30天AQI的平均數(shù)；(2)若從獲得的“一級”和“五級（B）”的數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取2個數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)查，求“一級”和“五級（B）”數(shù)據(jù)恰均被選中的概率；(3)假如企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元）與AQI（記為）的關(guān)系式為．若將頻率視為概率，在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，試估計這天的經(jīng)濟(jì)損失S不超過600元的概率．6．（2022·貴州·遵義四中高一期末）2021年秋季學(xué)期，某省在高一推進(jìn)新教材，為此該省某市教育部門組織該市全體高中教師在暑假期間進(jìn)行相關(guān)學(xué)科培訓(xùn)，培訓(xùn)后舉行測試（滿分100分），從該市參加測試的數(shù)學(xué)老師中抽取了100名老師并統(tǒng)計他們的測試分?jǐn)?shù)，將成績分成五組，第一組[65，70），第二組[70，75），第三組[75，80），第四組[80，85），第五組[85，90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值以及這100人中測試成績在[80，85）的人數(shù)；(2)估計全市老師測試成績的平均數(shù)（同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替）和第50%分?jǐn)?shù)位（保留兩位小數(shù)）；(3)若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學(xué)習(xí)心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔(dān)當(dāng)分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率．7．（2022·天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)高一階段練習(xí)）樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查，現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出20人的樣本，并將這20人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示(1)求樣本中第3組人數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計參與調(diào)查人群的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和第80百分位數(shù)；(3)若從年齡在的人中隨機(jī)抽取兩位，求至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.3、相互獨(dú)立事件概率的計算1．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）一只不透明的口袋內(nèi)裝有大小相同，顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個球．試分別判斷（1）（2）中的A，B是否為相互獨(dú)立事件．(1)“從口袋內(nèi)有放回地抽取2個球，第一次抽到紅球”記為事件A，“從口袋內(nèi)有放回地抽取2個球，第二次抽到黃球”記為事件B.(2)“從口袋內(nèi)無放回地抽取2個球，第一次抽到紅球”記為事件A，“從口袋內(nèi)無放回地抽取2個球，第二次抽到黃球”記為事件B.2．（2022·廣東茂名·高二期末）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機(jī)抽取2道題作答，若甲每道題答對的概率為，乙每道題答對的概率為，且甲乙答對與否互不影響，各題的結(jié)果也互不影響.求：（1）甲至少抽到1道填空題的概率；（2）甲答對的題數(shù)比乙多的概率.3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）甲?乙兩名跳高運(yùn)動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7?0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：（1）甲試跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲?乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率.4．（2022·全國·高二學(xué)業(yè)考試）計算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機(jī)考試“合格”，并頒發(fā)合格證書甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響.（1）假設(shè)甲、乙、丙三人同時進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰獲得合格證書的可能性最大？（2）這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用設(shè)備相互獨(dú)立，（1）求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；(2)實(shí)驗(yàn)室計劃購買k臺設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.4、概率的綜合應(yīng)用1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是()A．對事件A的概率P(A)必有0<P(A)<1B．若事件A的概率P(A)=0.999,則事件A是必然事件C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療,結(jié)果有380人有明顯的療效,現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥,則估計其會有明顯療效可能性為76%D．某獎券中獎率為50%,則某人購買此獎券10張,一定有5張中獎2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是______3．（2022·廣西百色·高二期末（文））為了解某校今年高一年級女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項(xiàng)目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間．(1)求實(shí)數(shù)的值及參加“擲鉛球”項(xiàng)目測試的人數(shù)；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率．4．（2022·貴州·六盤水市第一中學(xué)模擬預(yù)測）對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，所得情況如下頻率分布直方圖.（1）圖中縱坐標(biāo)處刻度不清，根據(jù)圖表所提供的數(shù)據(jù)還原；（2）根據(jù)圖表的數(shù)據(jù)按分層抽樣，抽取個元件，壽命為之間的應(yīng)抽取幾個；（3）從（2）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個元件，求事件“恰好有一個壽命為，一個壽命為”的概率.5．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高一階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為的方框表示第場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第場比賽的勝者稱為“勝者”，負(fù)者稱為“負(fù)者”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同.（Ⅰ）求甲獲得冠軍的概率；（Ⅱ）求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.5、高考真題感悟1．（2020·海南·高考真題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（

）A．62% B．56%C．46% D．42%2．（2019·全國·高考真題（文））兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是A． B． C． D．3．（2019·全國·高考真題（文））生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．4．（2020·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.5．（2019·全國·高考真題（文））我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10