第五章-閉環(huán)頻率特性

1、5.5 5.5 閉環(huán)頻率特性和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的關(guān)系閉環(huán)頻率特性和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的關(guān)系 the relationship between the Frequency characteristics of the closed-loop system and step response 5.5.1 則其頻率特性為：則其頻率特性為： 其中，其中， () () () ( ) ( ) 1( ) j ja j Ae Me Ae M（ ）為閉環(huán)幅頻，）為閉環(huán)幅頻， ( )為閉環(huán)相頻為閉環(huán)相頻 。 )()(jM sin ( )( ) 20lg( )20lg sin( ) A 和和 22 2 cos ( )cos(

2、 )1 20lg( )20lg 1 M A M 令令 ( )為常數(shù)，就能得到以為常數(shù)，就能得到以 ( )為參變量的為參變量的 開環(huán)對數(shù)幅頻和相頻特性間的關(guān)系曲線。開環(huán)對數(shù)幅頻和相頻特性間的關(guān)系曲線。 令令M( )為常數(shù)，就能得到以為常數(shù)，就能得到以M( )為參變量為參變量 的開環(huán)對數(shù)幅頻和相頻特性間的關(guān)系曲線。的開環(huán)對數(shù)幅頻和相頻特性間的關(guān)系曲線。 經(jīng)過變換可得到如下關(guān)系式經(jīng)過變換可得到如下關(guān)系式: 由這兩個公式可做出尼柯爾斯圖由這兩個公式可做出尼柯爾斯圖: : 如果如果A( )1時，則有時，則有 j j j e ( )e1 1e A M A 這意味著，當(dāng)開環(huán)對數(shù)幅頻這意味著，當(dāng)開環(huán)對數(shù)幅頻2

3、0lgA( )30 dB 時，對應(yīng)的閉環(huán)對數(shù)頻率特性為：時，對應(yīng)的閉環(huán)對數(shù)頻率特性為： 20lgM( )=0 dB 和和 ( )=0 如果如果A( ) 1時，則有時，則有 j jj j e ( )ee 1e A MA A 這說明，當(dāng)開環(huán)對數(shù)幅頻這說明，當(dāng)開環(huán)對數(shù)幅頻20lgA( )-25 dB 時，閉環(huán)幅頻和相頻特性可近似用開環(huán)幅時，閉環(huán)幅頻和相頻特性可近似用開環(huán)幅 頻和相頻代替。頻和相頻代替。 所以，一般查圖的取值范圍為所以，一般查圖的取值范圍為 -25 dB20lgA( )30 dB 例例 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試應(yīng)用尼柯爾斯圖，畫出試應(yīng)用尼柯爾斯圖

4、，畫出閉環(huán)幅頻特性曲線。閉環(huán)幅頻特性曲線。 1 10.51 G s s ss 解：解： 首先做出系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖首先做出系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖 根據(jù)伯德圖根據(jù)伯德圖 查出不同頻查出不同頻 率對應(yīng)的率對應(yīng)的 20lgA( ) 和和 ( )值。值。 在尼柯爾斯圖中，查出對應(yīng)的在尼柯爾斯圖中，查出對應(yīng)的20lgM( )和和 ( )值，從而做出系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性圖。值，從而做出系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性圖。 系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性圖系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性圖 amplitude-frequency characteristics of closed- loop system 5.5.2 閉環(huán)頻域性能指標(biāo)閉環(huán)頻域性能指標(biāo) Cl

5、osed-loop frequency domain performance 諧振峰值諧振峰值 Resonance peak ：系統(tǒng)閉環(huán)頻率：系統(tǒng)閉環(huán)頻率 特性幅值的最大值特性幅值的最大值 r M 峰值頻率峰值頻率 Peak frequency ：系統(tǒng)閉環(huán)頻率特：系統(tǒng)閉環(huán)頻率特 性幅值出現(xiàn)最大性幅值出現(xiàn)最大 值時的頻率。值時的頻率。 r r大，表明系統(tǒng)的快大，表明系統(tǒng)的快 速性好。對于二階系速性好。對于二階系 統(tǒng)，統(tǒng)， 2 rn 12 1 1峰值峰值MMr r是指幅頻特性是指幅頻特性MM( ( ) )的最大值。的最大值。 MMr r大，表明閉環(huán)系統(tǒng)對某個頻率的正弦輸大，表明閉環(huán)系統(tǒng)對某個頻率的

6、正弦輸 入信號反應(yīng)強(qiáng)烈，有共振傾向。這意味著入信號反應(yīng)強(qiáng)烈，有共振傾向。這意味著 系統(tǒng)的平穩(wěn)性差，階躍響應(yīng)將有大的超調(diào)系統(tǒng)的平穩(wěn)性差，階躍響應(yīng)將有大的超調(diào) 量。一般要求量。一般要求MMr r1.51.5MM(0)(0)。 對于二階系統(tǒng)，當(dāng)對于二階系統(tǒng)，當(dāng) 0.7070.707時，系統(tǒng)具有峰時，系統(tǒng)具有峰 值，有其明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式值，有其明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式 ， 且是且是 的單值衰減函數(shù)。的單值衰減函數(shù)。 2 1 21 r M | )( )( | )(| jX jY jA1| )(|jA | )(| )(|jXjY 2 1 | )(|,| )(| ,jAjA當(dāng) dBjAjXjXjY01. 3| )(

7、|log20|,)(|707. 0| )(| 2 1 | )(|即 b 系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率System bandwidth and the frequency bandwidth 設(shè)設(shè) 為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，當(dāng)幅頻特性為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，當(dāng)幅頻特性 下降到下降到 ，即，即0.707M(0)0.707M(0)時，對應(yīng)的頻率時，對應(yīng)的頻率 稱為帶寬頻率。頻率稱為帶寬頻率。頻率 范圍范圍 稱為系統(tǒng)帶寬。稱為系統(tǒng)帶寬。 jMjM 0 2 2 M b , 0 b 對于二階系統(tǒng)，若傳遞函數(shù)為對于二階系統(tǒng)，若傳遞函數(shù)為 2 n 22 n 2 s ss 系統(tǒng)幅頻特性系統(tǒng)幅頻特性 2 22

8、2 22 nn 1 14 M 根據(jù)帶寬頻率定義，可以得到根據(jù)帶寬頻率定義，可以得到 1/2 2 22 bn 12121 當(dāng)當(dāng) =0.707時，時， bn 根據(jù)調(diào)節(jié)時間根據(jù)調(diào)節(jié)時間 s n 3.5 t 因此，因此， nbs t )0()(lim 1 )(lim)(lim)( 00 M s sstcc st 在單位階躍輸入信號時，根據(jù)終值定理，可得系統(tǒng)時域的響在單位階躍輸入信號時，根據(jù)終值定理，可得系統(tǒng)時域的響 應(yīng)終值應(yīng)終值 系統(tǒng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差(Steady-state error)為為 )0(1Messr 所以對單位反饋系統(tǒng)而言，可根據(jù)閉環(huán)頻率特性的零頻值所以對單位反饋系統(tǒng)而言，可根據(jù)

9、閉環(huán)頻率特性的零頻值M(0) 來確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。來確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 5零頻值零頻值 M(0)：零頻率（零頻率（ 0）時的振幅比。）時的振幅比。 M(0)越接近于越接近于1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高。，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高。 頻帶頻帶 b b大，峰值大，峰值MMr r小，小， MM(0)(0) 1 1 ，則系統(tǒng)，則系統(tǒng) 的品質(zhì)好，這是由頻率特性分析系統(tǒng)性的品質(zhì)好，這是由頻率特性分析系統(tǒng)性 能品質(zhì)的重要準(zhǔn)則。能品質(zhì)的重要準(zhǔn)則。 利用一些統(tǒng)計公式和圖線，可以由閉環(huán)幅利用一些統(tǒng)計公式和圖線，可以由閉環(huán)幅 頻頻M( ) 曲線直接估算出階躍響應(yīng)的性能曲線直接估算出階躍響應(yīng)的性能 指標(biāo)指標(biāo) %和和ts。 5

10、.5.3 時域性能指標(biāo)的估算時域性能指標(biāo)的估算 5.5.3.1時域性能指標(biāo)時域性能指標(biāo) 的估算的估算 %, s t 0 M r M 即即 峰值峰值 衰減至衰減至 0.707M0處的角頻率，處的角頻率， 即頻帶即頻帶 衰減至衰減至 0.5M0處的角頻率處的角頻率 過峰值后過峰值后 又衰減至又衰減至M0值所對應(yīng)的值所對應(yīng)的 角頻率角頻率 (0)M b 0.5 1 ( )M ( )M ( )M 5.6 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性三頻段的概念系統(tǒng)開環(huán)頻率特性三頻段的概念 ( ) ( ) 1( ) G s s G s 型系統(tǒng)開環(huán)對型系統(tǒng)開環(huán)對 數(shù)幅頻三頻段曲數(shù)幅頻三頻段曲 線如圖所示線如圖所示 c (10) c

11、5.6.1 低頻段低頻段Low-frequency band 如果開環(huán)幅頻特性最低的轉(zhuǎn)折頻率是如果開環(huán)幅頻特性最低的轉(zhuǎn)折頻率是 ，則低于，則低于 的頻率區(qū)的頻率區(qū) 段稱為低頻段。在低頻段，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：段稱為低頻段。在低頻段，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 1 1 ( )( ) K G s H s s 低頻段的對數(shù)幅頻特性低頻段的對數(shù)幅頻特性20lg|()()| 20lg20 lgG jH jK 從上式可以看出為一直線方程，斜率為從上式可以看出為一直線方程，斜率為 ，直，直 線通過線通過 點；同時直線或其延長線在點；同時直線或其延長線在 處處 通過通過 線。所以，由低頻部分的頻率和直線位置可求

12、出線。所以，由低頻部分的頻率和直線位置可求出 系統(tǒng)型別或串聯(lián)積分環(huán)節(jié)個數(shù)系統(tǒng)型別或串聯(lián)積分環(huán)節(jié)個數(shù) 和開環(huán)放大系數(shù)和開環(huán)放大系數(shù) 。 20/dB dec (1,20lg)K K 0dB K c 20/dB dec 20/dB dec ( ) c K G s ss ( )1 ( ) 1( )1 1 c c c sG s s s G ss 3/ sc t c s t 40/dB dec 40/dB dec 2 22 ( ) c K G s ss 2 22 2222 ( ) ( ) 1( )1 cc cc sG s s G sss 40/dB dec % s t c 20/dB dec c 2 22 2222 ( ) ( ) 1( )1 cc cc sG s s G sss 系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線中頻段斜率小于系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線中頻段斜率小于-60-60， 則很難使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若等于則很難使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若等于-40-40，所占頻，所占頻 率區(qū)間不宜過寬，則閉環(huán)系統(tǒng)可能穩(wěn)定，即使率區(qū)間不宜過寬，則閉環(huán)系統(tǒng)可能穩(wěn)定，即使 穩(wěn)定，其相穩(wěn)定裕度也較小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性較穩(wěn)定，其相穩(wěn)定裕度也較小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性較 差；如果中頻段斜率為差；如果中頻段斜率為-20-20，且占據(jù)較寬的頻，且占據(jù)較寬的頻 段區(qū)間，一般說來，不僅可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，段區(qū)間，一般說來，不僅可以