計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)第3章剖析

1、北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院1 第三章第三章 數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì) v3.2 離散時(shí)間系統(tǒng) 3.2.1 采樣信號(hào) 3.2.2 差分與差商 3.2.3 z變換 3.2.4 離散系統(tǒng)的傳輸函數(shù) 參考書(shū)籍： 陳炳和，計(jì)算機(jī)控制原理與應(yīng)用，北京航空航天大學(xué)出版社， 2008 席愛(ài)民，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，高等教育出版社，2004 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院2 1信號(hào)的基本形式信號(hào)的基本形式 控制系統(tǒng)中信號(hào)的基本形式分為控制系統(tǒng)中信號(hào)的基本形式分為5種類(lèi)型，如圖所示。種類(lèi)型，如圖所示。 1）連續(xù)信號(hào)）

2、連續(xù)信號(hào) 連續(xù)信號(hào)是指時(shí)間上連續(xù)的、幅值上連續(xù)的信號(hào)。連續(xù)信號(hào)是指時(shí)間上連續(xù)的、幅值上連續(xù)的信號(hào)。 2）離散信號(hào)）離散信號(hào) 離散信號(hào)是指分開(kāi)的和可以區(qū)分的數(shù)據(jù)表示。離散信號(hào)是指分開(kāi)的和可以區(qū)分的數(shù)據(jù)表示。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院3 3）采樣信號(hào)）采樣信號(hào) 它是時(shí)間上離散、幅值上連續(xù)的信號(hào)。它是時(shí)間上離散、幅值上連續(xù)的信號(hào)。 4 4）數(shù)字信號(hào)）數(shù)字信號(hào) 數(shù)字信號(hào)是指以有限個(gè)數(shù)位來(lái)表示一個(gè)連續(xù)變化的物數(shù)字信號(hào)是指以有限個(gè)數(shù)位來(lái)表示一個(gè)連續(xù)變化的物 理量的信號(hào)。理量的信號(hào)。 5 5）采樣保持信號(hào)）采樣保持信號(hào) 采樣信號(hào)在時(shí)間上是離散的，在控制過(guò)程

3、中無(wú)法工作。采樣信號(hào)在時(shí)間上是離散的，在控制過(guò)程中無(wú)法工作。 需要將采樣點(diǎn)的采樣信號(hào)保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻。需要將采樣點(diǎn)的采樣信號(hào)保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院4 v判斷下列信號(hào)是離散信號(hào)還是連續(xù)信號(hào)？判斷下列信號(hào)是離散信號(hào)還是連續(xù)信號(hào)？ v地圖上的等高線(xiàn)地圖上的等高線(xiàn) v房間的溫度房間的溫度 v數(shù)字時(shí)鐘顯示結(jié)果數(shù)字時(shí)鐘顯示結(jié)果 v籃球比賽的比分籃球比賽的比分 1.擴(kuò)音器的輸出擴(kuò)音器的輸出 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院5 2.2.控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu) 控制系統(tǒng)按其

4、所包含的信號(hào)形式可分為控制系統(tǒng)按其所包含的信號(hào)形式可分為4 4種類(lèi)型。典型結(jié)種類(lèi)型。典型結(jié) 構(gòu)圖如圖構(gòu)圖如圖5-35-3所示。所示。 1 1）連續(xù)控制系統(tǒng)）連續(xù)控制系統(tǒng) 該系統(tǒng)中各處均為連續(xù)信號(hào)。該系統(tǒng)中各處均為連續(xù)信號(hào)。 2 2）離散控制系統(tǒng)）離散控制系統(tǒng) 該系統(tǒng)中各處均為離散信號(hào)。該系統(tǒng)中各處均為離散信號(hào)。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院6 3 3）采樣控制系統(tǒng)）采樣控制系統(tǒng) 該系統(tǒng)中既包含有連續(xù)信號(hào)又包含有離散信號(hào)。該系統(tǒng)中既包含有連續(xù)信號(hào)又包含有離散信號(hào)。 4 4）數(shù)字控制系統(tǒng)）數(shù)字控制系統(tǒng) 該系統(tǒng)中一處或幾處的信號(hào)具有數(shù)字代碼的形式。該系

5、統(tǒng)中一處或幾處的信號(hào)具有數(shù)字代碼的形式。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院7 3.3.采樣過(guò)程采樣過(guò)程 所謂采樣過(guò)程，就是利用所謂采樣過(guò)程，就是利用采樣開(kāi)關(guān)采樣開(kāi)關(guān)將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成 離散信號(hào)的過(guò)程。離散信號(hào)的過(guò)程。 如下圖所示，采樣開(kāi)關(guān)每隔一定時(shí)間如下圖所示，采樣開(kāi)關(guān)每隔一定時(shí)間T T閉合一次，每閉合一次，每 次閉合持續(xù)時(shí)間次閉合持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)小于采樣周期采樣周期T T，也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)中，也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)中 連續(xù)部份的時(shí)間常數(shù)，因此在分析采樣系統(tǒng)時(shí)，可近連續(xù)部份的時(shí)間常數(shù)，因此在分析采樣系統(tǒng)時(shí)，可近 似忽略不計(jì)。于是，原來(lái)在時(shí)間上連續(xù)的信

6、號(hào)就變成似忽略不計(jì)。于是，原來(lái)在時(shí)間上連續(xù)的信號(hào)就變成 了離散的信號(hào)。了離散的信號(hào)。 因此，采樣過(guò)程可視為單位理想脈沖序列被輸入的因此，采樣過(guò)程可視為單位理想脈沖序列被輸入的 連續(xù)信號(hào)進(jìn)行幅值調(diào)制的過(guò)程，采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述連續(xù)信號(hào)進(jìn)行幅值調(diào)制的過(guò)程，采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述 為：為： 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院8 *對(duì)單位脈沖序列的調(diào)制 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院9 采樣信號(hào)表示法采樣信號(hào)表示法 以數(shù)學(xué)公式形式給出，一般有以下以數(shù)學(xué)公式形式給出，一般有以下3 3種形式。種形式。 直接寫(xiě)出離散點(diǎn)的值時(shí)，

7、有通式直接寫(xiě)出離散點(diǎn)的值時(shí)，有通式 定義離散單位脈沖為定義離散單位脈沖為 整個(gè)單位脈沖序列為整個(gè)單位脈沖序列為 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院10 任意離散信號(hào)序列可表示為任意離散信號(hào)序列可表示為 采樣單位脈沖表示為采樣單位脈沖表示為 單位脈沖序列為單位脈沖序列為 對(duì)連續(xù)信號(hào)的采樣信號(hào)，用對(duì)連續(xù)信號(hào)的采樣信號(hào)，用“* *”表示為表示為 )2()2()()()() 0 (TtTfTtTftf 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院11 4.4.采樣定理（香農(nóng)采樣定理（香農(nóng)(shannon)(shannon)定理）

8、定理） v由采樣信號(hào)由采樣信號(hào) 完全無(wú)失真地恢復(fù)原信號(hào)完全無(wú)失真地恢復(fù)原信號(hào) 的條件是采樣速度要滿(mǎn)足下式：的條件是采樣速度要滿(mǎn)足下式： 其中：其中： ，為采樣角速度；，為采樣角速度；T T為采樣周期；為采樣周期； 為原信號(hào)為原信號(hào) 頻譜中最高角頻率；頻譜中最高角頻率； 為為 的各種信號(hào)分量中最小的時(shí)間常數(shù)。的各種信號(hào)分量中最小的時(shí)間常數(shù)。 )( * tf)(tf smax min 2 1 2 T 或 s 2 /T max min )(tf )(tf 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院12 1 1采樣周期的上下限采樣周期的上下限 每次采樣間隔不應(yīng)小于設(shè)備

9、輸入每次采樣間隔不應(yīng)小于設(shè)備輸入/ /輸出及計(jì)算機(jī)執(zhí)行程序輸出及計(jì)算機(jī)執(zhí)行程序 的時(shí)間，這是采樣周期的下限值的時(shí)間，這是采樣周期的下限值T Tmin min。故采樣周期應(yīng)滿(mǎn)足 。故采樣周期應(yīng)滿(mǎn)足 T Tmin minTT TTmax max 采樣周期的選擇要兼顧系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)、抗干擾能力、采樣周期的選擇要兼顧系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)、抗干擾能力、 計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度及給定值的速率、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)作快慢計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度及給定值的速率、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)作快慢 等因素綜合考慮。等因素綜合考慮。 2 2以給定值的變化頻率選擇采樣周期以給定值的變化頻率選擇采樣周期 3 3以執(zhí)行機(jī)構(gòu)的類(lèi)型選擇采樣周期以執(zhí)行機(jī)構(gòu)的類(lèi)

10、型選擇采樣周期 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院13 4 4以被控參量的性質(zhì)選擇采樣周期以被控參量的性質(zhì)選擇采樣周期 在工程實(shí)踐中，一般可根據(jù)系統(tǒng)被控對(duì)象的慣性大小和加在工程實(shí)踐中，一般可根據(jù)系統(tǒng)被控對(duì)象的慣性大小和加 在該對(duì)象上的預(yù)期干擾程度及性質(zhì)來(lái)選擇采樣周期。在該對(duì)象上的預(yù)期干擾程度及性質(zhì)來(lái)選擇采樣周期。 5 5以復(fù)現(xiàn)信號(hào)誤差選擇采樣周期以復(fù)現(xiàn)信號(hào)誤差選擇采樣周期 零階保持器的復(fù)現(xiàn)信號(hào)誤差為零階保持器的復(fù)現(xiàn)信號(hào)誤差為 當(dāng)信號(hào)為正弦信號(hào)時(shí)當(dāng)信號(hào)為正弦信號(hào)時(shí) 被控量流量壓力液面溫度位置電流環(huán)速度環(huán) 采樣周期15s310s68s1020s1050ms

11、15ms520ms 表5-3 采樣周期經(jīng)驗(yàn)參考值 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院14 保持器的復(fù)現(xiàn)信號(hào)誤差與采樣次數(shù)或采樣頻率有關(guān)，N越 大，采樣保持誤差就越小。 可以根據(jù)期望的誤差值來(lái)選擇采樣頻率。 每周期采樣次數(shù)N25102050100200500 零階保持1.50.60.30.150.060.030.0150.006 表5-4 采樣頻率的采樣保持誤差 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院15 6以開(kāi)環(huán)剪切頻率c選擇采樣周期 選擇采樣頻率為剪切頻率的1015倍可得到滿(mǎn)意的效果。即 即 式中， N1=101

12、5 7以閉環(huán)振蕩頻率d選擇采樣周期 在工程上，常將d作為輸出信號(hào)的最高頻率分量，則采樣頻 率為 式中，N2為每個(gè)振蕩周期內(nèi)的采樣次數(shù)，通常取N2=620 。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院16 8以相角穩(wěn)定裕量選擇采樣周期 若允許的相角穩(wěn)定裕量減小515， 則 故采樣周期為 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院17 9以被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)選擇采樣周期 設(shè)被控對(duì)象由多個(gè)環(huán)節(jié)組成，其傳遞函數(shù)為 由采樣定理知，采樣周期的最大值應(yīng)為環(huán)節(jié)中最小時(shí)間常 數(shù)的1/2，即 而在實(shí)際工作中，選擇采樣周期為最大采樣周期的1/2，

13、 即 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院18 10以控制算法選擇采樣周期 PI控制器典型的經(jīng)驗(yàn)公式為 PID控制器典型的經(jīng)驗(yàn)公式為 式中，N3是微分增益系數(shù)，N3=320，常取N3=10。 11以控制回路數(shù)選擇采樣周期 采樣周期需不小于所有回路執(zhí)行時(shí)間的總和，即 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院19 第三章第三章 數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì) v3.2 離散時(shí)間系統(tǒng) 3.2.1 采樣信號(hào) 3.2.2 差分與差商 3.2.3 z變換 3.2.4 離散系統(tǒng)的傳輸函數(shù) 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)

14、算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院20 v差分的定義差分的定義 一一階后向差分定義為本次值階后向差分定義為本次值 與前一次值的差。與前一次值的差。 二階差分就是對(duì)一階差分再取一次差分。二階差分就是對(duì)一階差分再取一次差分。 n階后向差分階后向差分 nkTkfkTfkf,.,1 , 0,) 1()()( ()f kT )2() 1(2)( )2() 1() 1()( ) 1()()()( 2 TkfTkfkTf TkfTkfTkfkTf TkfkTfkTfkTf 11 ()()(1) nnn f kTf kTfkT 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院21

15、差分差分在離散系統(tǒng)中的地位與在離散系統(tǒng)中的地位與微分微分在連續(xù)系統(tǒng)中的地位相同。當(dāng)兩個(gè)采在連續(xù)系統(tǒng)中的地位相同。當(dāng)兩個(gè)采 樣點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，差分就變成了微分。樣點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，差分就變成了微分。 v 一階差商為一階差分除以采樣周期的商一階差商為一階差分除以采樣周期的商 v 差商差商在離散系統(tǒng)中的地位與在離散系統(tǒng)中的地位與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在連續(xù)系統(tǒng)中的地位相同。當(dāng)兩個(gè)采在連續(xù)系統(tǒng)中的地位相同。當(dāng)兩個(gè)采 樣點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，差商就變成了導(dǎo)數(shù)。樣點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，差商就變成了導(dǎo)數(shù)。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院22 v 差分方程是確定時(shí)間序列的方程差分方程是確定時(shí)間序列的

16、方程 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) 22 ( )/( )/( )( )d c tdtadc tdtbc tkr t 微分用差分代替微分用差分代替 222 ( )/( )(2)2 (1)( )d c tdtc tc kc kc k ( )/(1)( )dc tdtc kc k (2)2 (1)( ) (1)( )( )( )c kc kc ka c kc kbc kkr k (2)(2) (1)(1) ( )( )c kac kab c kkr k 12 (2)(1)( )( )c ka c ka c kkr k 一般離散系統(tǒng)的差分方程：一般離散系統(tǒng)的差分方程： 12 ()(1)(2)( ) n c kna

17、 c kna c kna c k 1 ()(1)( ) om b r kmbr kmb r k 差分方程還可用向后差分表示為：差分方程還可用向后差分表示為： 12 ( )(1)(2)() n c ka c ka c ka c kn 01 ( )(1)() m b r kbr kb r km mn mn ( )c k代替代替 ( )c t 代替代替( )r k( )r t 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院23 v迭代法迭代法 例例 已知差分方程已知差分方程 ( )0.5 (1)( )c kc kr k (0)0c ( )1r k ( )c k，試求試求

18、 ( )( )0.5 (1)c kr kc k 解：采用遞推迭代法，有：解：采用遞推迭代法，有： 1,(1)(1)0.5 (1 1)10.5 (0)1kcrcc 2,(2)(2)0.5 (2 1)1 0.5 (1)1 0.51.5kcrcc 3,(3)(3)0.5 (3 1)1 0.5 (2)1 0.5 1.51.75kcrcc 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院24 v Z變換法變換法 在離散系統(tǒng)中用在離散系統(tǒng)中用Z Z變換求解差分方程，也使得求變換求解差分方程，也使得求 解運(yùn)算變成代數(shù)運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化和方便了離散解運(yùn)算變成代數(shù)運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化和方便了離

19、散 系統(tǒng)的分析和綜合。系統(tǒng)的分析和綜合。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院25 第三章第三章 數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì) v3.2 離散時(shí)間系統(tǒng) 3.2.1 采樣信號(hào) 3.2.2 差分與差商 3.2.3 z變換 3.2.4 離散系統(tǒng)的傳輸函數(shù) 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院26 Z變換法變換法 采樣信號(hào)采樣信號(hào) 0 *( )() () k ftf kTtkT 0 *( )*( )() ksT k FsL ftf kT e 0 ( )() k k F zf kT z sT ze ln /sz T 1

20、ln *( )( ) sz T FsF z 采樣信號(hào)的采樣信號(hào)的z變換變換 注意：注意：z變換中，變換中，z-1代表信號(hào)滯后一個(gè)采樣周期，可代表信號(hào)滯后一個(gè)采樣周期，可 稱(chēng)為單位延遲因子。稱(chēng)為單位延遲因子。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院27 v 在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)控制工程中多數(shù)信號(hào)，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)控制工程中多數(shù)信號(hào)，z z變換所表示的變換所表示的 無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的，并可寫(xiě)成閉和形式。無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的，并可寫(xiě)成閉和形式。 vz z的有理分式的有理分式： v z z-1 -1的有理分式 的有理分式: v 零、極點(diǎn)形式：零、極點(diǎn)形式： 1 110 1

21、110 () ( ) mm m nn n K zdzd zd F z zczc zc mn 11 110 11 110 (1) ( ) 1 lmm m nn n Kzdzd zd z F z czc zc z lnm 1 1 ()()( ) ( ) ( )()() m n K zzzzKN z F z D zzpzp mn 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院28 v線(xiàn)性性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì) 設(shè)設(shè) ，a a和和b b為常數(shù)，則為常數(shù)，則 v位移性質(zhì)位移性質(zhì) 設(shè)為時(shí)間設(shè)為時(shí)間t t 的函數(shù)，且的函數(shù)，且 F(z)=Zf(t)F(z)=Zf(t) 滯后性質(zhì)：滯后性質(zhì)

22、： 超前性質(zhì)：超前性質(zhì)： v初值定理初值定理 當(dāng)當(dāng)zz時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(z)F(z)的極限存在，則的極限存在，則 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院29 v終值定理終值定理 若若F(z)F(z)在單位圓外無(wú)極點(diǎn)，在單位圓上無(wú)重極點(diǎn)和共軛極點(diǎn)，則在單位圓外無(wú)極點(diǎn)，在單位圓上無(wú)重極點(diǎn)和共軛極點(diǎn)，則 v復(fù)域微分定理復(fù)域微分定理 設(shè)設(shè)f f* *(t)(t)函數(shù)的函數(shù)的Z Z變換為變換為F(z) F(z) ，則，則 v復(fù)域積分定理復(fù)域積分定理 當(dāng)當(dāng)zz時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(z)F(z)的極限存在，則的極限存在，則 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算

23、機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院30 v實(shí)數(shù)卷積定理實(shí)數(shù)卷積定理 設(shè)設(shè)f1f1* *(t)(t)、 f2f2* *(t)(t)函數(shù)的函數(shù)的Z Z變換分別為變換分別為F1(z)F1(z)、 F2(z) F2(z) ， 且且t0t0時(shí)，時(shí)，f1(t)=f2(t)=0f1(t)=f2(t)=0，則，則 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院31 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法( (根據(jù)定義根據(jù)定義) ) n例：求單位階躍例：求單位階躍1(t)1(t)函數(shù)的函數(shù)的z z變換。變換。 解解 令令f(t)=1(t)f(t)=1(t)，由，由z z變換定義有變換定義有 00 21 1)( 1)()

24、( kk kk zzzkTzkTfzF 將上式兩端同時(shí)乘以將上式兩端同時(shí)乘以z-1z-1有有 3211 )(zzzzFz (1) (2) 式（式（1 1）減式（）減式（2 2）得）得 1 (1) ( )1zF z 1 1 1( )( ) 1 ZtF z z 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院32 部分分式法部分分式法 利用利用s域中的部分分式展開(kāi)法域中的部分分式展開(kāi)法 ( )f t * ( )ft （L反變換）反變換） ( )F s)(zF (z變換變換) 12 12 ( ) in in CCCC F s ssssssss n例例 試求試求的的z z變

25、換。變換。 ) 1( 1 )( ss sF 解：解： 111 ( ) (1)1 F s s sss 1 11 ( )1 1 t f tLe ss (1) ( ) ( )1 1(1)() T t TT zzze F zZ F sZe zzezze 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院33 根據(jù)根據(jù)F(z)F(z)求采樣函數(shù)求采樣函數(shù)f f* *(t)(t)或離散函數(shù)或離散函數(shù)f(nT)f(nT)的過(guò)程的過(guò)程 稱(chēng)為求稱(chēng)為求Z Z反變換，記為反變換，記為 Z Z反變換得到一個(gè)離散序列。求反變換得到一個(gè)離散序列。求Z Z反變換的方法有：反變換的方法有： 長(zhǎng)除法，

26、部分分式法等。長(zhǎng)除法，部分分式法等。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院34 v 由由z z變換的定義變換的定義 可以看出序列可以看出序列 f f( (kTkT) )值是上述冪級(jí)數(shù)中值是上述冪級(jí)數(shù)中z z- -k k的系數(shù)，對(duì)于的系數(shù)，對(duì)于 用有理函數(shù)表示的用有理函數(shù)表示的z z變換，可以直接用分母去除分子，得變換，可以直接用分母去除分子，得 到冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式，如果級(jí)數(shù)是收斂的，則級(jí)數(shù)中到冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式，如果級(jí)數(shù)是收斂的，則級(jí)數(shù)中z z- -k k的的 系數(shù)就是系數(shù)就是 f f( (kTkT) ) 的值。在用長(zhǎng)除法求系數(shù)時(shí)，的值。在用長(zhǎng)除法求系數(shù)時(shí)

27、，F(xiàn) F( (z z) )的分的分 子和分母都必須寫(xiě)成子和分母都必須寫(xiě)成z z-1 -1的升冪形式。 的升冪形式。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院35 求下式的求下式的z z反變換反變換 解：解： 長(zhǎng)除格式長(zhǎng)除格式 由長(zhǎng)除結(jié)果得由長(zhǎng)除結(jié)果得 12 2 )( 2 2 zz zz zF 21 1 2 2 21 21 12 2 )( zz z zz zz zF 32 321 21 21 21 121 47 484 4 21 741 2121 zz zzz zz zz zz zzz )2(7)(4)()( * TtTtttf 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大

28、學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院36 v類(lèi)似拉普拉斯變換的部分分式法類(lèi)似拉普拉斯變換的部分分式法 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院37 （1 1）求共軛復(fù)根的系數(shù)）求共軛復(fù)根的系數(shù) （2 2）求重根的系數(shù)）求重根的系數(shù) （3 3）求單根的系數(shù)）求單根的系數(shù) 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院38 求下式的求下式的z z反變換反變換 解：解： 故故 查表得：查表得： 131112 22 ( ) (1) (2)(1)(1)2 cccF zz zzzzzz 22 11111 2 2 12111 2 1

29、322 2 ( ) (1)(1)1 (1) (2)(2) ( )2 (1)2 (2)(2) ( ) (2)2 (1) zzz zzz zz F zzz czz zzzz dF zdz cz dzzdzzz F zz cz zz 22 22 ( ) (1) (2)(1)(1)2 zzzz F z zzzzz 1 ()22 222(0) nn f nTnnn 2 32 ( ) 452 z F z zzz 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院39 v原則原則 v用用Z Z變換求解差分方程，主要用到了變換求解差分方程，主要用到了Z Z變換的實(shí)數(shù)位移變換的實(shí)數(shù)位移

30、 定理定理 ()( ) k Z f tkTzF z 1 0 ()( )() k kkn n Z f tkTz F zzf nT z 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院40 v 求解差分方程求解差分方程 (2) 4 (1) 3 ()0c kTc kTc kT (0)0, ( )1cc T 解解 對(duì)差分方程作對(duì)差分方程作Z Z變換變換 22 ( )(0)( )4( )4(0)3 ( )0z C zz czc TzC zzcC z 求求Z Z反變換反變換 2 0.50.5 ( ) 4313 zzz C z zzzz ()0.5( 1)0.5( 3) kk c

31、 kT 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院41 第三章第三章 數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì) v3.2 離散時(shí)間系統(tǒng) 3.2.1 采樣信號(hào) 3.2.2 差分與差商 3.2.3 z變換 3.2.4 離散系統(tǒng)的傳輸函數(shù) 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院42 v零階保持器：零階保持器： 把階梯信號(hào)各線(xiàn)段的中點(diǎn)光滑把階梯信號(hào)各線(xiàn)段的中點(diǎn)光滑 地連接起來(lái)，得到一條形狀與地連接起來(lái)，得到一條形狀與 原連續(xù)信號(hào)原連續(xù)信號(hào)f f ( (t t) )基本一致但在基本一致但在 時(shí)間上滯后時(shí)間上滯后T T/2/2的響應(yīng)曲線(xiàn)，的響

32、應(yīng)曲線(xiàn)， 如圖如圖5-95-9所示。所示。 0 11 ( )1 sTsT ee HzZZ sss 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院43 v定義定義： 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院44 對(duì)離散系統(tǒng)可用差分方程描述對(duì)離散系統(tǒng)可用差分方程描述 對(duì)上式兩邊進(jìn)行對(duì)上式兩邊進(jìn)行Z Z 變換，并應(yīng)用實(shí)數(shù)位移性質(zhì)，在零初變換，并應(yīng)用實(shí)數(shù)位移性質(zhì)，在零初 始條件下，得始條件下，得 定義脈沖傳遞函數(shù)為定義脈沖傳遞函數(shù)為 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院45 例例 設(shè)線(xiàn)性離散系統(tǒng)的

33、差分方程為設(shè)線(xiàn)性離散系統(tǒng)的差分方程為 且初始條件為零。試求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。且初始條件為零。試求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。 解：對(duì)差分方程求解：對(duì)差分方程求z z變換，得變換，得 系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 )2(3) 1(2)()3(8)2(4) 1(2)(krkrkrkykykyky 21321 )(3)(2)()(8)(4)(2)( zzRzzRzRzzYzzYzzYzY 321 21 8421 321 )( )( )( zzz zz zR zY zG 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院46 離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可以看作是系統(tǒng)輸入為單

34、位脈沖時(shí)，其脈沖離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可以看作是系統(tǒng)輸入為單位脈沖時(shí)，其脈沖 響應(yīng)的響應(yīng)的z z變換。變換。 若已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)若已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)G G( (s s) )，當(dāng)其輸出端加，當(dāng)其輸出端加 入虛擬開(kāi)關(guān)變?yōu)殡x散系統(tǒng)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)可按下述步驟求?。喝胩摂M開(kāi)關(guān)變?yōu)殡x散系統(tǒng)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)可按下述步驟求?。?（1 1）對(duì)）對(duì)G G( (s s) )做拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng)做拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng) 1 ( ) ( )g tLG s ( )g t（2 2）對(duì)）對(duì) 采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應(yīng)為采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應(yīng)為 0 *( )() () k gtg kTt

35、kT （3 3）對(duì)離散脈沖響應(yīng)做）對(duì)離散脈沖響應(yīng)做z z變換，即得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為變換，即得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 0 ( ) *( )() k k G zZ gtg kT z 幾種脈沖傳遞函數(shù)的表示法均可應(yīng)用幾種脈沖傳遞函數(shù)的表示法均可應(yīng)用 ( ) *( ) ( ) ( )G zZ gtZ g tZ G s 脈沖傳遞函數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性，脈沖傳遞函數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性， 并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院

36、計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院47 為了便于應(yīng)用為了便于應(yīng)用Z Z傳遞函數(shù)求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，可在輸傳遞函數(shù)求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，可在輸 出虛設(shè)一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，使系統(tǒng)變?yōu)殡x散系統(tǒng)，如圖所出虛設(shè)一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，使系統(tǒng)變?yōu)殡x散系統(tǒng)，如圖所 示。示。 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院48 采樣系統(tǒng)中連續(xù)部分的結(jié)構(gòu)形式采樣系統(tǒng)中連續(xù)部分的結(jié)構(gòu)形式 ( )( ) ( )C sG s R s *( ) ( ) ( )*CsG s R s ( ) ( ) ( )( )C zZGs RsGR z ( )( ) ( )CzGz Rz ( )( ) ( )CzGz Rz 并不是所有結(jié)構(gòu)都

37、能寫(xiě)出環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)并不是所有結(jié)構(gòu)都能寫(xiě)出環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院49 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)實(shí)際是由各個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)實(shí)際是由各個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的。 1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)情況串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)情況 * 1 * 2 ( )( )( ) ( )( )( ) X sR s G s C sXs G s 取離散化取離散化 * 1 * 2 ( )( )( ) ( )( )( ) XsR s Gs CsXs Gs * 12 12 ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) CsGs Gs R s C zG z G z

38、 R z 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 12 12 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) G z G z R zC z G z G z R zR z 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院50 2.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)情況串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)情況 兩端取離散化兩端取離散化 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) * 1212 ( )( )( )( )( )( )C sR s G s G sR s GG s 其中式其中式 1212 ( )( )( )GG sG s G s * 12 12 ( )( )( ) ( )( )( ) CsR s GG s C zR z GG

39、z 12 12 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) GG z R zC z GG z R zR z 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院51 v一個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)或系統(tǒng)只要其輸入是離散信號(hào)，則不論一個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)或系統(tǒng)只要其輸入是離散信號(hào)，則不論 其輸出端有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，都可以等效為一個(gè)離散環(huán)節(jié)其輸出端有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，都可以等效為一個(gè)離散環(huán)節(jié) 或系統(tǒng)，而且其輸出與輸入之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可用或系統(tǒng)，而且其輸出與輸入之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可用z傳傳 遞函數(shù)來(lái)描述；若連續(xù)環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的輸入是連續(xù)信號(hào)，遞函數(shù)來(lái)描述；若連續(xù)環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的輸入是連續(xù)信號(hào)， 則不論其輸出環(huán)節(jié)有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，不可等效為離散環(huán)則不論其輸出環(huán)節(jié)有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，不可等效為離散環(huán) 節(jié)或系統(tǒng)，其輸出與輸入之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系也不能用節(jié)或系統(tǒng)，其輸出與輸入之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系也不能用z 傳遞函數(shù)描述，而且也不存在傳遞函數(shù)描述，而且也不存在z傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。 1212 ( )( )( )GGzG z Gz 北京理工大學(xué)珠海學(xué)院北京理工大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)