矢量基本概念講解

1、（一）矢量基本概念定 義 既有大小又有方向的量稱為矢量（或向量） 表示法，記做 |aB，a。定 義 有向線段的長度，稱為向量的模（或向量的長度） 特殊的向量零矢量：長度為0的向量。零向量的方向是不確定的。 單位矢量：長度為1的矢量。向量之間的關(guān)系兩矢量相等：長度相等，方向相同，與起點無關(guān)。反矢量：長度相同，方向相反的矢量。共線矢量：平行于同一直線的一組矢量。共面矢量：平行于同一平面的一組矢量。關(guān)于向量之間的關(guān)系，有下面結(jié)論：零矢量與共線（共面）的矢量組均共線（共面）；共線矢量必共面；兩矢量必共面；三矢量中若有兩矢量共線，則這三矢量一定共面。（二）矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法則）

2、設(shè)已知矢量a， b，以空間任意一點 o為始點接連作矢量 OA = a， AB=b得一折線OAB，從折線的端 點o到另一端點B的矢量OB _ c，叫做兩矢量 a與b矢量的和（平行四邊形法則） 如圖示，有c = a b。R般地：矢量的加法還滿足多邊形法則:OAn =OA + AA + + AnAn運算規(guī)律:1） 1） 交換律：a b = b a ；2）2） 結(jié)合律：(a b) c 二 a (b c)。矢量的差若b亠c = a，則稱c為矢量a與b的差，并記作c = a b 。由定義，得矢量減法的幾何作圖法:矢量加法的性質(zhì)（1）a -b = a （-b）（2）| a b $|a | |b |（3）|

3、a -b a| |b |（4） 丨耳a2 an |乞6丨心2 g I（二）矢量的數(shù)乘定義（數(shù)量乘矢量）實數(shù)與矢量a的乘積，a是一個矢量，（1）（1） 其模為 | a hL I I a | ；（2）（2） 其方向由下列規(guī)則決定：當/ 0時， a與a方向相同；當:0時，a與 或a = 0時，是零向量，方向不定。定義如果a0與a同向，而且為單位向量，那么稱a0為與2同向的單位向量，或 a的單位向量。a方向相反；當，=00由定義，；a =| a | a|a|數(shù)量乘法的運算規(guī)律1 ）結(jié)合律： （a） = C）a2） 第一分配律：C；E：）a 二aia-V-F-*3）第二分配律： （a b） a ，b由矢

4、量加法與數(shù)乘運算規(guī)律知，對于矢量也可以象實數(shù)及多項式那樣去運算。例如:、i（a 叫b） -、2（“ tb）I-I-=；和ia 叫b - ； 2 2a - ； 2 2b*1 1 i 2 2）a - C ji -、j2）b（二）兩矢量的數(shù)性積、數(shù)性積的定義與性質(zhì)定義| a| J b | CosZ（a ,b），叫做矢量a與b的數(shù)性積（也稱內(nèi)積或點積），記為a b 。即：a b =|a | | b | C o s （a ,b）。性質(zhì)1) a b =| a | |b | Cos/(a ,b) = | a | Pr jab = |b | Pr jba。2) a a =| a |2，叫做a的數(shù)量乘方，并記作

5、 a2。Cos(a,b)3) a _ b ：= a b = 0。矢量數(shù)性積的運算規(guī)律1)1)交換律：a b = b a。2)2)結(jié)合律：( a) b - Ir *a _ b：= a b = 0 二 Ex? y2 zz? =0。(四)兩矢量的矢性積一、一、矢量積的定義與運算性質(zhì)定義兩個矢量a與b的矢性積(又叫外積，叉積) a b是這樣一個矢量：(1)(1) 模長為|a bH|a| |b|Si (a,b) ；( 2)方向為：與a,b均垂直且使(a,b,a b)成右手系。性質(zhì)1) 1)若a,b中有一個為0，則a b=0。2) 2)a b=0= a, b共線或平行。3) 3)幾何意義：|2沢6|表示以

6、a ,b為鄰邊的平行四邊形的面積。矢性積的運算規(guī)律1) 1)反交換律：a b =-ba。2) 2)結(jié)合律：-(a b)=(a)b= a (b)。-+-FPFFFfFfFFF3) 3)分配律：(a十b)匯c=a匯c+b漢cc漢(a+ b)= c漢a + c漢b。同矢量的加，減，數(shù)乘運算一樣，矢量的數(shù)性積運算，也可以象多項式的乘法那樣去展開。坐標計算矢量的矢性積在右手系直角坐標系中,定理a =(為1,乙)，b =(X2,y2,Z2)，i則a漢b = x1X2j k-一-y2Z2% 乙=卜憶2 yzzji +(zm2 Z2X1) j+(x2 X2%)k。證明:a(x1iy1 jz1k)(x2iy2j

7、z2k)二 x1x2ii xy2ijz z2 kk又 i i=j j=k k=0， i j=k,j k=i,k i = j，+&-fra b =(丫憶2 - yzzji (Z1X2 - Zzxjj (x2 -Xzyjk，用行列式可記成i j ka,e3不共面，則空間任意矢量r均可以由矢量 ,e2,e3線性表示，即r =xei y2 ze3，且系數(shù)x, y,z被 r， 0(2(3唯一確定。定義0；ei，e，e3 叫做空間中的一個標架，稱作仿射標架。- =若ei,e2 ,e3是單位矢量，則 O；ei，e2，e3叫做笛卡兒標架。若ei，e2，e3是相互垂直的笛卡兒標架，則叫做笛卡兒直角標架，簡稱直角

8、標架。定義(坐標)J * * 1*f * * X取定標架O； ei ,e2, e3 ，若 r= xqye2 ze3，稱(X, y, Z)為 r 關(guān)于標架O；ei，e2, e3 的坐標。取定標架 0冷(2(3 :，P為任意一點，OP稱為點P的徑矢，則OP關(guān)于標架的坐標X，y，Z?稱為點P的坐標。由標架決定坐標系，則由仿射標架決定的坐標系叫做仿射坐標系，今后我們用的通常是空間右手直角坐標系， 并記i, j,k為特定的坐標矢量。O稱為坐標原點，x,Oy,Oz稱為坐標軸，xOy,xOz, yOz稱為坐標面。三個坐標面把整個空間分成八個部分，稱為八個卦限。二、二、坐標表示矢量的線性運算1 1.矢量的坐標

9、等于其終點坐標減去其起點坐標。已知 A(Xi,yi,zJ,B(X2,y2,Z2)，證明 AB =(X2 - Xi, y? - yi,Z2 - 乙)。證明：由定義，0A = (Xi, yi,zJ,OB = (X2,y2,Z2),二 AB = 0B - OA = (x2 xi, y2 yi,勺zi)。1 B* 2. 2 .若 a = (Xi,yi,Zi),b = (X2,y2,Z2),貝 yb + a=(x2 + N，y? + yi,z2 + W)b a =(x2 Xi, y2 yi,Z2 Z) ,，a =Xi, yi, Z ?o根據(jù)坐標的定義既可證明。推論:兩非零矢量 a =(Xi,yi,Zi)

10、,b =(X2,y2,Z2)，則 a,b 共線X? Xi 三點 A(Xi,yi,Zi),B(X2,y2,Z2),C(X3,y3,Z3)共線_ x? - XiX2yy2y2 - yiy3 - y2證明:ZiZ2 oZ2 - ZiZ3 _ Zi o三非零矢量a = (Xi, yi , Zi), b = ( X2 , y2 , Z2), C = ( X3, y3 , Z3)，則 a, b, c 共面fc-f*共面二 a= 0=系數(shù)行列式D = 0。XiX2X3X4yiy2y3y4ZiZ2Z3Z4iiii-05. 5.線段的定比分點坐標定義對有向線段RP2(R H P2)，若存在點P滿足RP =九PF

11、2，則稱點P分線段RF2成定比& o定理設(shè)(Xi,yi,Zi),F2 (X2 , y2 , Z2)，則分有向線段P P2成定比人的分點P的坐標是x x2 y2乙：rz2x, y, z =ii + ki + k oX _ % = (x2 _ x)_“y yi=*(y2y)證明：PiP = PP2，用坐標表示，即 二乙=X(Z2 z)，解出x, y, Z即得。例對于平行四邊形ABCD，求A,D, AD,DB在仿射標架C;AC,BD中的坐標。解：作圖如下11 1 111-A( -1, 0) D (, ) AD = ( , ) B - (,) DB - (0廠 1)22 2 222例 用坐標法證明：四

12、面體對棱中點的連線交于一點。（略）矢量在軸上的射影定義（點在軸上的射影）已知一點A及一軸l，過A作垂直于l的平面，該平面與軸l的交點A稱為點A在軸l上的射影。定義（射影矢量）AB的始點A與終點B在軸丨上的射影為點A ,B，則AB就定義為矢量AB在軸丨上的射影矢量，記為射影矢定義（射影）矢量AB在軸丨的長度，稱為 矢量AB在軸丨上的射影，記為射影i AB（ Prjl AB）| AB|AB與I同方向。即：射影i AB（ Prjl AB）一廠|AB|AB；與l方向相反。射影定理Prjl AB =| AB| Co，其中二為 l , AB 的夾角。證明略。推論相等矢量在同一軸上的射影相等。定理 *Prj

13、i(a b) = Pr jia Pr jl b定理*Prj| a = Prjla 。(五)典型例題例試證明：點M在線段AB上的充要條件是：存在非負實數(shù)，使得0M二 OA OB , 其中O是任意取定的一點。證明：(先證必要性)設(shè)M在線段AB上，則AM與AB同向，且0引AM F|AB|，所以 AM =kAB，0 空 k 1。任取一點 O,所以 0M - 0A = k(OB-0A)所以，0M =(1 _k)OA kOB，取 =1 _k，=k，y=1， _o，-0 o(必要性)若對任一點O有非負實數(shù)，使得OM = OA -OB，且卜丄二1 ,則 AM =OM -OA 二 COAOB)-C)OA =(O

14、B - OA)工亠 AB所以AM與AB共線，即M在直線AB上。又 - 1，所以M在線段AB上。例證明三角形的三條高線交于一點。證明：如圖，設(shè) UBC的兩條高線BE,CF交于點m，連結(jié)AM 。貝BE _ AC . BM AC = 0 二(AM - AB) AC 二 0二 AM AC 二 AB ACCF _ AB . CM AB = 0 = (AM - AC) AB 二 0= AM AB 二 AC AB .AM AC 二 AM AB = AM BC 二 o= am _ bc延長AM , BC交于D，則AD為BC邊上的高。即三條高線交于一點 M 。已知三點M(1,1,1)小門，2,1), b(2,1

15、,2)，求.AMB并且求MA在MB上的射影。解： MA =(1,1,0) ,MB = (1,0,1) . MA MB=1 , | MA h 2 , | MB h 2Cos_ AMBMA MB1 丄|MA| | MB |.2、22MB MA =| MA | Cos AMB 射影例證明矢量a(b c) -b(a c)與c相互垂直。證明：(a(b c) b(a c) c= (b c)(a c) -(a c)(b c)=例已知空間三點 A(1,2,3) , B(2, -1,5) ,C(3,2,-5)，解試求(1)ABC的面積。(2)：ABC的AB邊上的高。AB=(1,-3 2) ,AC =(2,0,-

16、8) S.abc1 | AB AC 戶2j-3= (24,12,6)-8.|AB AC |= 6 21BC的面積為21。3 6。|AB|14又ABC的AB邊上的高為21若a b = 0 ,則a b=b c = c a，且說明其幾何意義。*+*+*Hb亠證明：a(a b c) = a0= 0,又a (a b c) = a a a b a c ,*+FFPa b= ca。同理可證明ab =bc。aiXB.a.Ba2b2設(shè)a,b為兩不共線矢量，證明u=aia+bb , v = a2a + b2b共線的充要條件是bi證明：u,v共線二u,v線性相關(guān)，即存在不全為 o的實數(shù)，使得Uv-0，即（aal）a

17、 （b b2）b = 0。a + a2卩=0a1a2又因為a,b不共線=a,b線性無關(guān) 二衛(wèi)1九+ b2卩=0有唯一零解二bib2-0例對于平行四邊形ABCD，求A,D,AD,DB在仿射標架C；AC,BD中的坐標。解：作圖如下DB 二（0,-1）。1 1 1 1A（-1,0）Dqq AD用坐標法證明：四面體對棱中點的連線交于一點。（略）2002 2003年應(yīng)數(shù)02級空間解析幾何復(fù)習(xí)試題一一填空：（每題6分）1 .向量a =也,-3,4在向量b =乜2,1上的投影是2.已知0A = i 3k,OB二j 3k,則厶oab的面積為3.4.2 2x zJ =1a c曲線.y =0x -1L1 :=求直

18、線1繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周之曲面方程為y z 3 x y 2L 2: _41 和 2-2z-1的夾角為2 25.二次曲線6x -xy-y 3xy-1=0的漸近線為（8分）證明：若一個平面與三個坐標軸均相交，則三個截距倒數(shù)的平方和等于原點到此平面距離的倒數(shù)平方。0分）證明：二次曲線8x2 4xy 5y216x4 0表示一個橢圓，并寫出其標準形。四.0分）rL :丿求直線x y -z -1 = 0（X _ y + z +1 = 0在平面兀：x + y + z = 0上的投影直線的方程。五.0分）已知兩垂直的直線h：4x3y-7=0與l2：3x-4y，1=0，取h為x軸，I2為y軸，求坐標變換公式，并求|3

19、 ：3x-y 2二0在原坐標系中的方程。六.x _ y 2 _ z -1（12分）判別兩直線2-2X -1-1與直線 4-1的位置關(guān)系，并求兩直線間的距離。七.面,（10分）已知一柱面的準線是球面 求它的一般方程。x2y2z2=1和平面X y 0的交線，母線垂直于準線所在的平八.X26xy y2 3x- 4 = 0（ 1）有唯一的中心；（2）無2002 2003年應(yīng)數(shù)02級空間解析幾何復(fù)習(xí)試題二一填空：（每題6分）1 .向量a =也,-3,4在向量b =乜2,1上的投影是2.已知0A = i 3k,OB二j 3k,則厶oab的面積為3.4.2 2x zJ =1a c曲線.y =0x -1L1

20、:=求直線1繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周之曲面方程為y z 3 x y 2L 2: _41 和 2-2z-1的夾角為2 25.二次曲線6x -xy-y 3xy-1=0的漸近線為（8分）證明：若一個平面與三個坐標軸均相交，則三個截距倒數(shù)的平方和等于原點到此平面距離的倒數(shù)平方。0分）證明：二次曲線8x2 4xy 5y216x4 0表示一個橢圓，并寫出其標準形。四.0分）rL :丿求直線x y -z -1 = 0（X _ y + z +1 = 0在平面兀：x + y + z = 0上的投影直線的方程。五.0分）已知兩垂直的直線h：4x3y-7=0與l2：3x-4y，1=0，取h為x軸，I2為y軸，求坐標變換公式，

21、并求|3 ：3x-y 2二0在原坐標系中的方程。六.x _ y 2 _ z -1（12分）判別兩直線2-2X -1-1與直線 4-1的位置關(guān)系，并求兩直線間的距離。七.面,（10分）已知一柱面的準線是球面 求它的一般方程。x2y2z2=1和平面X y 0的交線，母線垂直于準線所在的平八.X26xy y2 3x- 4 = 0（ 1）有唯一的中心；（2）無茁i K.解析幾何的產(chǎn)生十六世紀以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航 海等方面都對幾何學(xué)提出了新的需要。 比如，德國天文學(xué)家開普 勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗著

22、拋物線運動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)1637年，法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家 笛卡爾發(fā)表了他的著作方法論，這本書的后面有三篇附錄, 一篇叫折光學(xué)，一篇叫流星學(xué)，一篇叫幾何學(xué)。當時的這個“幾何學(xué)”實際上指 的是數(shù)學(xué)，就像我國古代“算術(shù)”和“數(shù)學(xué)”是一個意思一樣。笛卡爾的幾何學(xué)共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的幾何學(xué)作為解析幾何的起點。從笛卡爾的幾何學(xué)中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”

23、的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到 去解一個方程式。為了實現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對（x,y）的對應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數(shù)對相對應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變 數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方 法解決，而且還把變量、函數(shù)

24、以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫幾何學(xué)以前，就有許多學(xué)者研究過用兩條相交直線作為一種坐標系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個“坐標”（經(jīng)度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。在數(shù)學(xué)史上，一般認為和笛卡爾同時代的法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一，應(yīng)該分享這門學(xué)科創(chuàng)建的榮譽。費爾馬是一個業(yè)余從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)者，對數(shù)論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表幾何學(xué)以前，就已寫了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發(fā)表。笛卡爾的幾何學(xué)，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數(shù)學(xué)新園地做出了貢獻。解析幾何的基本內(nèi)容在解析幾何中，首先是建立坐標系。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個直角坐標系 oxy。利用坐標系可以把平面內(nèi)的點和一對實數(shù) （x,y）建立 起一一對應(yīng)的關(guān)系