從梯子的傾斜角說起講訴

1、九年級下北師版教材 1、1 從梯子的傾斜程度談起（第 1 課時(shí)）棗莊市第四中學(xué) 孫玫玉教學(xué)目標(biāo)：1. 經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程 . 理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系 .2. 能夠用 tanA 表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等， 能夠用正切進(jìn)行簡單的計(jì)算 . 體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：（ 1）理解正切的意義，能夠用 tanA 表示直角三角形中兩邊的比 .（ 2）會(huì)利用正切刻畫物體的傾斜程度、 山的坡度等， 并能夠根據(jù)直角三角形中的邊角 關(guān)系進(jìn)行簡單的計(jì)算 .難點(diǎn)： 理解正切的意義，能夠用 tanA

2、表示直角三角形中兩邊的比 .教法及學(xué)法指導(dǎo)：本節(jié)課中，從引入、探究、歸納、應(yīng)用都充分利用了“梯子的傾斜程度”這一活生生的 現(xiàn)實(shí)情景， 在具體活動(dòng)中， 我先讓學(xué)生通過對情景問題的討論產(chǎn)生困惑， 再引導(dǎo)學(xué)生共同探 究梯子的傾斜角與直角三角形邊的比之間的關(guān)系 . 通過層層深入的探究，把每個(gè)知識點(diǎn)都落 實(shí)到實(shí)處后， 再水到渠成地讓學(xué)生利用正切來刻畫梯子的傾斜程度、 山的坡度等， 這樣使學(xué) 生接受新知識水到渠成，簡單易懂 .課前準(zhǔn)備：課件，直尺，課本，練習(xí)本 .教學(xué)過程:創(chuàng)設(shè)情境、引入新課教師多媒體課件展示圖片 , 學(xué)生感受梯子的諸多作用生活小幫手 梯子【師】（多媒體課件展示）頑皮的小明忘記了家里 的鑰

3、匙，他找來了一把梯子，怎樣放置梯子，才會(huì) 更安全的進(jìn)入家中拿到鑰匙？【生 1】 別把梯子放的太陡峭【生 2】 把梯子放的平緩一些【師】 我們也經(jīng)常聽人們說這個(gè)梯子放的“陡”那個(gè)梯子放的“平緩” ，該如何判斷梯子的“陡”或“平緩”呢，這節(jié)課我們就來研究這個(gè)問題（板書課題： 1.1 從梯子的傾斜程度談起（ 1）設(shè)計(jì)意圖： 從生活中有關(guān)梯子的實(shí)例入手， 設(shè)制了小明爬梯子拿鑰匙的動(dòng)漫情景， 以新穎、 有趣的問題情景， 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 從而自然引出課題， 并且為學(xué)生探究梯子的傾斜程 度埋下伏筆，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，又將為生活服務(wù)。二、探究新知、合作交流探究一圖 1-1【師】 （ 用多媒體演

4、示 ） 圖中的三個(gè)梯子，那個(gè)更陡峭為什么？【生】第三個(gè)梯子更陡峭 因?yàn)榈谌齻€(gè)梯子與地面的 傾斜角 比第一個(gè)梯子與地面的 傾斜角 大，也比第二個(gè)梯子與地面的 傾斜角 大，所以第一個(gè)梯子更陡峭 .【師】 由此，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 【生】梯子與地面傾斜角越大，梯子越陡峭；傾斜角越小，梯子越平緩 .過渡語： 這位同學(xué)總結(jié)的很準(zhǔn)確，發(fā)現(xiàn)梯子與地面的傾斜角越大， 梯子越陡峭若梯子與地 面的傾斜角不知道，你能判斷梯子的陡峭程度嗎？探究二1 米5米5 5米【生 1】測量梯子與地面的 傾斜角，發(fā)現(xiàn)：在圖 1-2 中第一個(gè)梯子與地面的 傾斜角 比第二個(gè) 梯子與地面的 傾斜角 大，所以第一個(gè)梯子更陡峭； 在圖 1-3

5、中第二個(gè)梯子與地面的 傾斜角 比 第一個(gè)梯子與地面的 傾斜角 大，所以第二個(gè)梯子更陡峭；【生 2】在圖 1-2 中，這兩個(gè)梯子頂端的高度相等，而第一個(gè)梯子的底部距離墻是1 米，第二個(gè)梯子的底部距離墻是 5 米，所以第一個(gè)梯子更陡峭 .【師】很好，這個(gè)同學(xué)抓住了梯子的底部與墻的距離這個(gè)量， 也判斷出了第一個(gè)梯子更陡峭 . 可是這個(gè)方法只能判斷 等高 的兩個(gè)梯子，對于圖 1-3 中的兩個(gè)梯子能不能用這種方法判 斷哪個(gè)梯子更陡峭嗎？若能，說一說你的方法【生 3】 不能用，因?yàn)檫@兩個(gè)梯子不等高 .【生 5】上面兩個(gè)梯子雖然不等高， 但是它們的底部到墻的距離相等， 第一個(gè)梯子的高 4 米， 第二個(gè)梯子的

6、高 6 米，所以第二個(gè)梯子更陡峭 .【師】 這個(gè)同學(xué)很棒！他抓住了梯子的高度這個(gè)量，并且判斷出了第二個(gè)梯子更陡峭 . 可是這個(gè)方法只能判斷 與墻距離相等 的兩個(gè)梯子，對于下面的梯子能不能用這種方法 呢？探究三【師】 （ 用多媒體演示）【生 1】 這兩個(gè)梯子的高不等，底部到墻的距離也不相等，所以以上兩種方法都不能用.【生】可以通過測量梯子與地面傾斜角的大小來判斷梯子的陡峭程度 . 測量第一個(gè)梯子與 地面的傾斜角為 68，測量第二個(gè)梯子與地面的傾斜角為37， 所以第一個(gè)梯子比第二個(gè)梯子陡峭過渡語： 同學(xué)們表現(xiàn)的棒極了，我為你們感到自豪！可是測量梯子與地面傾斜角比較麻煩， 有沒有更簡單的方法？請看下

7、面的挑戰(zhàn)探究四【師】 觀察下面三個(gè)梯子，并填寫下表：4 米4米 2 米梯子梯子高度 (h)梯子底部與墻的距離 (a)梯子與地面傾斜角 ( )h a2米4 米27124米4米4514米2米642師】 1. 梯子與地面傾斜角有什么變化？2. 梯子的陡峭程度有什么變化？3. h 的值有什么變化？ a生 1】 梯子與地面傾斜角越來越大生 2】 梯子越來越陡峭 .生 3】 h 的值越來越大 .a師】 由此，你有什么發(fā)現(xiàn)？生 4】 梯子與地面傾斜角越大，梯子越陡峭，同時(shí)h 的值也來越大 .a生 5】當(dāng)斜角不易測量時(shí)， 我們可以通過計(jì)算傾斜角的對邊與鄰邊的比值來比較梯子的傾 斜程度 .師】 讓我們?yōu)檫@個(gè)同學(xué)

8、的精彩發(fā)現(xiàn)而鼓掌！ 生】 鼓掌 .師】那么對于既然我們可以通過計(jì)算傾斜角的對邊與鄰邊的比值來比較梯子的傾斜程度，生】 1. 第一個(gè)梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值是2.5，2. 第二個(gè)梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值是 0.75， 所以第一個(gè)梯子更陡峭 .設(shè)計(jì)意圖： 通過五個(gè)逐層深入的問題， 讓學(xué)生經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜、 由特殊到一般的探究過程， 既對已學(xué)知識和生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了回味和運(yùn)用， 也讓學(xué)生的思想逐步向本節(jié)課的中心 “兩直角 邊之比”靠近。從而強(qiáng)化了對“正切”概念的生成化理解。三、提煉升華、歸納概念（課件展示）想一想：如圖 ,小明想通過測量 B1C1及 AC1,算出它們的比 ,來說明梯子 AB1

9、的傾斜程度 ; 而小亮則 認(rèn)為,通過測量 B2C2及 AC2,算出它們的比 也能說明梯子 AB1 的傾斜程度 . 你同意小 亮的看法嗎 ?（） Rt AB1C1和 RtAB2C2有什么關(guān)系?2 B1C1和 B2C2 有什么關(guān)系 ?AC1AC2（3）如果改變 B2 在梯子上的位置呢 ? 由 此你能得出什么結(jié)論 ?【生 1】（1） B2AC2=B1AC1, B2C2A=B1C1A=90,Rt AB1C1RtAB2C2 【生 2】：由（ 1）知 Rt AB1C1 Rt AB2C2B1C1 B2C2AC1 AC2生】（思考后獨(dú)立解決第 1、2 問，但第 3問在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上， 分小組織討論交流

10、. ）生】 改變 B2 在梯子上的位置，鉛直高度與水平寬度的比始終相等師】 由次，我們可以得到怎樣的結(jié)論？師】 對于直角三角形中銳角A的對邊與鄰邊的比，我們有如下定義：用多媒體演示）生】 梯子的傾斜角一定時(shí)，傾斜角的對邊與鄰邊的比值一定 . 生】在直角三角形中的銳角 A 確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定 A 的對邊A 的鄰邊如圖，在 Rt ABC 中，如果銳角 A 確定，那么 A 的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個(gè) 比叫做 A 的正切 (tangent) ，記作 tanA，即tanA=師】 對于正切的定義和表示需要注意 (用多媒體演示)1. 初中階段，正切是在直角三角形中定義的A 是一個(gè)銳

11、角 .2. tanA是一個(gè)完整的符號，它表示 A 的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號 “”， 但BAC 的正切表示為 tanBAC ，1 的正切表示為 tan13. tanA0 且沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中銳角A 的對邊與鄰邊的比 . tanA 的大小只與 A 的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).設(shè)計(jì)意圖： 通過證明加強(qiáng)對正切函數(shù)概念的理解， 教師的強(qiáng)調(diào)講解既深化對正切函數(shù)概念的認(rèn)識，同時(shí)對正切函數(shù)的書寫、表示進(jìn)行規(guī)范，為下一步運(yùn)用正切函數(shù)做了鋪墊。1) tanA=()(2)tanA=() ( 3 ) tanA=(4)tan A=0.7m ()(5) tanB=()鞏固練習(xí)：.判斷

12、對錯(cuò) : 如圖，. 在 RtABC 中，三邊都同時(shí)擴(kuò)大 100 倍，則銳角 A 的正切值( )B7C第題圖A.擴(kuò)大 100 倍B. 縮小 100 倍C.不變D.不能確定設(shè)計(jì)意圖： 設(shè)計(jì)這兩個(gè)題目的是矯正學(xué)生在表示正切函數(shù)中容易犯的錯(cuò)誤， 與上面學(xué)習(xí)正切的定義時(shí)教師的規(guī)范強(qiáng)調(diào)相輔相成，便于在下一步的運(yùn)用中能正確的理解和運(yùn)用正切函數(shù)， 防患于未然。四、學(xué)以致用、例題示范【師】 有了“正切”這個(gè)數(shù)學(xué)工具我們就可以更容易比較梯子的陡峭程度了， 下面我們看例 題.例 1 下圖表示兩個(gè)自動(dòng)扶梯 , 哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡 ?甲乙乙梯中， tan =因?yàn)?tan tan，所以乙梯更陡 .分析 ：比較甲、乙兩個(gè)

13、自動(dòng)電梯哪一個(gè)陡，只需分別求出 越大，扶梯就越陡 .tan 、tan 的值，比較大小，解：甲梯中，.tan=設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)的這個(gè)例題目的就是讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用”正切 ”這一數(shù)學(xué)工具判斷梯子的 傾斜程度，同時(shí)規(guī)范學(xué)生好學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣。過渡語：如圖 ,正切也經(jīng)常用來描述山坡的坡度，坡與平面的夾角稱為坡角 例如，有一山坡在水平方向上每前進(jìn) 100m 就升高 60m,那么山坡的坡度 i（即 tan 就）是60m 100例 2 某人沿一斜坡的底端 B 走了 10 米到達(dá)點(diǎn) A ，此時(shí)點(diǎn) A 到地面 BC 的垂直高度 AC 為 6 米，則斜坡 AB 的坡度 i 為多少？分析 ：坡面的鉛直

14、高度與水平寬度的比稱為坡度i（或坡比 ）,即坡度等于坡角的正切 . 注意坡RtABC度 i（或坡比 ）是兩數(shù)之比，不是度數(shù) 中再求出 B 的正切 .解：在 RtABC 中， AB=10cm ，BC= 102-6 =8m63 tanB=84由勾股定理得所以斜坡 AB 的坡度為 3 （或 3 4）4設(shè)計(jì)意圖： 在學(xué)生正確理解正切定義， 并且會(huì)用正切判斷梯子陡峭程度的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)理解 坡度水到渠成，坡度就是一個(gè)角的正切，坡度是對正切應(yīng)用的拓展延伸。通過例 2 的學(xué)習(xí) 讓學(xué)生進(jìn)一步理解坡度或坡比不是度數(shù)而是兩數(shù)之比。鞏固練習(xí)： 1在 RtABC中, C=90, AB=3,BC=1,則 tanA= .2

15、如圖 , ACB =90 ， CDAB，則 tanACD =，tanB=六、歸納總結(jié)、盤點(diǎn)收獲【師】 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們有哪些收獲？【生】 正切的定義 .【生】 梯子的傾斜程度與 tanA 的關(guān)系 .（ A 和 tanA 之間的關(guān)系）【生】 坡度（或坡比）的定義 .【生】 數(shù)形結(jié)合的思想 .【生】 運(yùn)用正切函數(shù)時(shí)要找準(zhǔn)直角三角形或構(gòu)造直角三角形 .設(shè)計(jì)意圖： 采用開放式小結(jié)， 讓學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)、 升華知識， 師生共 同分享收獲。七、布置作業(yè)、鞏固提高1.鞏固性作業(yè)：課本 P6知識與技能 第 1、2題.2.提高性作業(yè)：助學(xué) P168 自主評價(jià) .設(shè)計(jì)意圖：“鞏固性作業(yè)” 可以鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容， “提高性作業(yè)”可以供學(xué)有余力的同學(xué) 進(jìn)一步提高成績，使不同層次的同學(xué)得到最大限度的發(fā)展八、達(dá)標(biāo)檢測、小組 PK（A組）1一個(gè)直角三角形兩邊長分別為3、 4，則較小的銳角的正切值是 2在 ABC中， C=90，