全等三角形證明中考題(有答案)

1、D恰好落在AB邊上時，填空:團(tuán)1區(qū)2新人教版八年級上學(xué)期全等三角形證明題一.解答題（共10小題）1. （泉州）如圖，已知 AD是厶ABC的中線，分別過點 B、C作BE丄AD于點E, CF丄AD交AD的延長 線于點F,求證：BE=CF .2. （河南）如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定 ABC，使 DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點線段DE與AC的位置關(guān)系是 設(shè)厶BDC的面積為S1, AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是（2）猜想論證當(dāng)厶DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分 別作出了 BDC和厶AEC中BC、CE邊上的

2、高，請你證明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ ABC=60 點D是角平分線上一點，BD=CD=4 , DE / AB交BC于點E （如圖4）.若在射線 BA上存在點F,使dcf=Sa bde，請直接寫出相應(yīng)的 BF的長.3. (大慶)如圖，把一個直角三角形 ACB (/ ACB=90 繞著頂點B順時針旋轉(zhuǎn)60使得點C旋轉(zhuǎn)到 AB邊上的一點 D，點A旋轉(zhuǎn)到點E的位置.F, G分別是BD，BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交 于點H.(1) 求證：CF=DG ;(2) 求出/ FHG的度數(shù).4. (阜新)(1)如圖，在 ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= /

3、DAE=90 當(dāng)點D在AC上時，如圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論； 將圖1中的 ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角(0 1),按上述操作方法，得到圖 ，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/ MAN 與/ BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明.6. （四川）CD經(jīng)過/ BCA頂點C的一條直線，CA=CB . E, F分別是直線 CD上兩點，且/ BEC= / CFA= / a.（1）若直線CD經(jīng)過/ BCA的內(nèi)部，且E, F在射線CD上，請解決下面兩個問題： 如圖 1,若/ BCA=90 / =90 則 BECF; EF|BE - AF| （填 ”， Z ”或

4、=”）； 如圖2,若0 1）, Z AOB= Z COD= a,貝 U AC 與BD間的等量關(guān)系式為; Z APB的大小為10. （南寧）（A類）如圖，DE丄AB、DF丄AC .垂足分別為E、F.請你從下面三個條件中，再選出兩個 作為已知條件，另一個為結(jié)論，推出一個正確的命題（只需寫出一種情況） AB=AC ; BD=CD ; BE=CF 已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分別為 求證：BE=CF已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分別為 求證：BD=CDE、F, AB=AC , BD=CDE、F, AB=AC , BE=CFE、F, BD=CD , BE=CF已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足

5、分別為 求證：AB=AC（B類）如圖，EG/ AF，請你從下面三個條件中，再選兩個作為已知條件，另一個為結(jié)論，推出一個正 確的命題（只需寫出一種情況） AB=AC ; DE=DF ; BE=CF已知：EG / AF , AB=AC , DE=DF犬求證：BE=CF/新人教版八年級上學(xué)期全等三角形證明題參考答案與試題解析一.解答題（共10小題）1. （泉州）如圖，已知 AD是厶ABC的中線，分別過點 B、C作BE丄AD于點E, CF丄AD交AD的延長 線于點F,求證：BE=CF .2考點：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：根據(jù)中線的定義可得 BD=CD，然后利用 角角邊”證明 BDE和

6、厶CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng) 邊相等即可得證.解答：證明：/ AD是厶ABC的中線， BD=CD ,/ BE 丄 AD , CF丄 AD , / BED= / CFD=90 在厶BDE和厶CDF中，ZBED=ZCKD=90ZBDE=ZCDF ,BD=CD BDE CDF （ AAS ）, BE=CF.點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形全等證明邊相等是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運(yùn)用.2. （河南）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中/ C=90 / B= / E=30（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定 ABC，使 DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點 D恰好落在AB

7、邊上時，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是DE / AC3C AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1=S2(2) 猜想論證當(dāng)厶DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想(1)中Si與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分 別作出了 BDC和厶AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.(3) 拓展探究已知/ ABC=60 點D是角平分線上一點， BD=CD=4 , DE / AB交BC于點E (如圖4).若在射線 BA 上存在點F,使S dcf=Sa bde，請直接寫出相應(yīng)的 BF的長.考點：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1) 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 AC=C

8、D，然后求出 ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可 得/ ACD=60 然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得 AC=AD，再根據(jù)直角三角形 30。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C到AB的距離等于點D到AC2的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；(2) 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 BC=CE , AC=CD ,再求出/ ACN= / DCM ,然后利用 角角邊”證明 ACN 和厶DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；(3) 過點D作DF1 / BE，

9、求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF 1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點 D作DF2丄BD，求出/ F1DF2=60從而得到 DF1F2是等邊三角形，然后求出 DF1=DF2，再求出/ CDF1=Z CDF2，利用 邊角邊”證明 CDF1和厶CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后在等腰 BDE中求出BE的長，即可得解.解答：解：(1)/ DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上， AC=CD ,/ / BAC=90 - / B=90 - 30=60 ACD是等邊三角形， / ACD=60 又/ / CDE= / BA

10、C=60 / ACD= / CDE, DE / AC ；/ / B=30 / C=90 1 CD=AC= =AB , BD=AD=AC ,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)， ACD的邊AC、AD上的高相等， BDC的面積和 AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等) 即S仁S2;故答案為：DE / AC ; S仁S2；(2) 如圖，/ DEC是由 ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到， BC=CE , AC=CD ,/ / ACN+ / BCN=90 / DCM+ / BCN=180 - 90 90 / ACN= / DCM ,在 ACN和厶DCM中，.I-,AC=CD ACN DCM (AAS ), AN=DM ,

11、 BDC的面積和 AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等) 即 S1=S2；(3) 如圖，過點 D作DFi / BE,易求四邊形 BEDF1是菱形， 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時 SdcF=SaBDE ,過點D作DF2丄BD ,/ / ABC=60 / F1DF2=Z ABC=60 DF1F2是等邊三角形， DF 1=DF2, BD=CD , / ABC=60 點D是角平分線上一點， / DBC= / DCB=2 60=30 / CDF1=180 - 30150/ CDF2=360 - 150- 60150 / CDF1= / CDF2,在 CDF1 和厶CDF2 中

12、,m 二 dl“ ZCEFZCDFlcd=cd CDF1BA CDF2 ( SAS),點F2也是所求的點 / ABC=60 點D是角平分線上一點， DE / AB , / DBC= / BDE= / ABD=2 60=30 又/ BD=4 ,bfi=； bf2=bfi+F1F2=_ ；+；=：3 333 ?故bf的長為或：;.33C(3 )題圜點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，(3)要注意符合條件的點 F有兩個.3. (大慶)如

13、圖，把一個直角三角形ACB (/ ACB=90 )繞著頂點B順時針旋轉(zhuǎn)60,使得點C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點 D，點A旋轉(zhuǎn)到點E的位置.F, G分別是BD , BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交 于點H.(1) 求證：cf=dg ；(2) 求出/ FHG的度數(shù).考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：(1)在厶CBF和厶DBG中，利用SAS即可證得兩個三角形全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等 即可證得；(2)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，即可證得/ DHF= / CBF=60 )從而求解.解答：(1)證明：在 CBF和厶DBG中，rBCBD ZCBF=ZBDG=60 ,血BG CBF DBG (SA

14、S), cf=dg ；(2)解：/ CBF DBG , / BCF= / BDG ,又/ / CFB= / DFH , / DHF= / CBF=60 ) Z FHG=180。- Z DHF=180。- 60=120點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵.4. (阜新)(1)如圖，在 ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= / DAE=90 當(dāng)點D在AC上時，如圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論； 將圖1中的 ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角(0 1）,按上述操作方法，得到圖 ，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、

15、/ MAN 與/ BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明.考點：全等三角形的判定.專題：壓軸題；探究型.分析：（1） 根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 AEC ADB，所以BD=CE ; 根據(jù)題意可知 / CAE=BAD , AB=AC , AD=AE ,所以得到 BAD CAE ,在厶ABM 和厶ACN 中，DM=：BD , EN=CE，可證 ABM ACN，所以 AM=AN，即/ MAN= / BAC .2 2（2）直接類比（1）中結(jié)果可知 AM=k ?AN , / MAN= / BAC .解答：解：（1）BD=CE ; AM=AN , / MAN= / BAC ,/ / DAE= / BA

16、C , / CAE= / BAD , 在厶BAD和 CAE中AE 二 ADZCAE=ZBAD CAE BAD ( SAS),AC=AB / ACE= / ABD ,DM=-BD , EN=-CE,2 2 BM=CN ,在厶ABM和厶ACN中，ZACN=Z ABMAB 二 AC ABM ACN (SAS), AM=AN , / BAM= / CAN，即 / MAN= / BAC ;(2) AM=k ?AN , / MAN= /BAC .點評：本題考查三角形全等的判定方法和性質(zhì).判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定

17、三角形，然后再根據(jù)三角形 全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件本題還要會根據(jù)所求的結(jié)論運(yùn)用類比的方法求 得同類題目.6. （臺州）CD經(jīng)過/ BCA頂點C的一條直線，CA=CB . E, F分別是直線 CD上兩點，且/ BEC= / CFA= / a.考點：直角三角形全等的判定；三角形內(nèi)角和定理.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：由題意推出Z CBE- Z ACF，再由AAS定理證 BCECAF，繼而得答案.解答：解：(1)/ Z BCA=90 Z a=90 Z BCE+ Z CBE=90 Z BCE+ Z ACF=90 , Z CBE= Z ACF ,/ CA=CB , Z BEC=

18、Z CFA; BCE CAF , BE=CF ; EF=|BE - AF| . 所填的條件是：Z a+Z BCA=180 證明：在 BCE 中，Z CBE+ Z BCE=180。- Z BEC=180。- Z a./ Z BCA=180 - Z a, Z CBE+ Z BCE= Z BCA .又/ Z ACF+ Z BCE= Z BCA , Z CBE= Z ACF ,又 BC=CA , Z BEC= Z CFA , BCE CAF ( AAS ) BE=CF, CE=AF ,又 EF=CF - CE , EF=|BE - AF| .(2) EF=BE+AF .點評：本題綜合考查全等三角形、等

19、邊三角形和四邊形的有關(guān)知識.注意對三角形全等，相似的綜合應(yīng)用.（不要求證明）7.（紹興）課外興趣小組活動時， 許老師出示了如下問題： 如圖1 ,己知四邊形ABCD中，AC平分/ DAB , / DAB=60 Z B與/ D互補(bǔ)，求證：AB+AD= .；AC .小敏反復(fù)探索，不得其解.她想，若將四邊形 ABCD 特殊化，看如何解決該問題.（1） 特殊情況入手添加條件：Z B= Z D”如圖2，可證AB+AD3AC ;（請你完成此證明）（2） 解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖3,過C點分別作AB、AD的垂線， 垂足分別為E、F.（請你補(bǔ)全證明）（1）若直線CD經(jīng)過/BCA

20、的內(nèi)部，且E, 如圖 1,若/ BCA=90 / =90 則 BE = CF; EF = |BE - AF| （填 如圖2,若0v / BCA V 180請?zhí)砑右粋€關(guān)于 / a與/ BCA關(guān)系的條件 / a / BCA=180 ，使 中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立.（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過/ BCA的外部，/ a= / BCA，請?zhí)岢鯡F, BE , AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合 理猜想F在射線CD上，請解決下面兩個問題:考點：直角三角形全等的判定.專題：證明題；壓軸題；開放型.分析：(1) 如果： 2 B= / D ”，根據(jù) / B 與/D 互補(bǔ)，那么 / B= / D=90 又因

21、為 / DAC= / BAC=30 因此我們可在直角三角形 ADC和ABC中得出AD=AB=3aC ,那么AD+AB=.2(2) 按(1)的思路，作好輔助線后，我們只要證明三角形CFD和BCD全等即可得到(1)的條件.根據(jù)AAS可證兩三角形全等，DF=BE .然后按照(1)的解法進(jìn)行計算即可.解答：證明：(1) / 2 B 與/ D 互補(bǔ)，2 B= 2 D, 2 B= 2 D=90 2 CAD= 2 CAB=2 2 DAB=30 2ATI在 ADC 中，cos30=,AC在厶ABC中,COS30 盂， AB=:AC，AD=(2)由(1)知，AE+AF= . 1AC,/ AC為角平分線，CF丄C

22、D, CE丄AB , CE=CF.而/ ABC與/ D互補(bǔ)，/ ABC與/ CBE也互補(bǔ)， / D= / CBE .在 RtA CDF 與 Rt CBE 中，rZCEB=ZCFDZD=ZCBEtCE=CT Rt CDF 也 Rt CBE . DF=BE . AB+AD=AB+ (AF+FD ) = (AB+BE ) +AF=AE+AF= 一 _;AC .點評：本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；通過輔助線來構(gòu)建全等三角形是解題的常用方法，也是解決本題的關(guān)鍵.& (常德)如圖，已知 AB=AC ,(1)若 CE=BD，求證：GE=GD ;（2）若CE=m?BD （m為正數(shù)），試猜想GE與GD有

23、何關(guān)系.（只寫結(jié)論，不證明）考點：全等三角形的判定與性質(zhì). 專題：證明題；壓軸題；探究型.分析：(1)要證GE=GD，需證 GDFGEC，由已知條件可根據(jù) AAS判定.(2)若 CE=m?BD ( m 為正數(shù))，那么 GE=m?GD .解答：證明：(1)過D作DF / CE,交BC于F,貝U / E=Z GDF ./ AB=AC , / ACB= / ABC/ DF / CE, / DFB= / ACB , / DFB= / ACB= / ABC . DF=DB ./ CE=BD , DF=CE ,在厶GDF和厶GEC中，ZE二 Z GDFZDSF=ZEGC ,DF=EC GDF GEC (A

24、AS ). GE=GD .點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.本題的輔助線是解決題目的關(guān)鍵.9. (泰安)(1)已知：如圖 ，在 AOB 和厶COD 中，OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=60 求證: AC=BD ; / APB=60 度;(2)如圖，在 AOB和厶COD中，若 OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD= a,貝U AC與BD間的等量 關(guān)系式為 AC=BD ; / APB的大小為_;(3)如圖 ，在 AOB 和厶 COD 中，若 OA=k?OB, OC=k?OD ( k

25、 1), / AOB= / COD= a,貝 U AC 與BD間的等量關(guān)系式為AC=k ?BD ; / APB的大小為 180 圈2團(tuán)圖考點：全等三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理.專題：探究型.分析：(1)分析結(jié)論AC=BD可知，需要證明 AOC BOD，圍繞這個目標(biāo)找全等的條件；(2) 與圖 比較，圖形條件發(fā)生了變化，仍然可以證明 AOC BOD，方法類似；(3) 轉(zhuǎn)化為證明 AOC BOD .解答： 解：(1)/ Z AOB= / COD=60 , Z AOB+ Z BOC= Z COD+ Z BOC .即: Z AOC= Z BOD .又/ OA=OB , OC=OD , AOC 也厶 BOD . AC=BD .由得：Z OAC= Z OBD ,/ Z AEO= Z PEB, Z APB=180 ( Z BEP+ Z OBD ), Z AOB=180 ( Z OAC+ Z AEO ), Z APB= Z AOB=60 (2) AC=BD , a(3) AC=k ?BD , 180 a.AO圖點評：三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根 據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的