1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)[優(yōu)教課堂]

1、 動(dòng) 力 學(xué) 一、一、 動(dòng)力學(xué)的任務(wù)動(dòng)力學(xué)的任務(wù) 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué) 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué) 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系一群具有某種聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)，剛體可以看成不變形的質(zhì)點(diǎn)系。一群具有某種聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)，剛體可以看成不變形的質(zhì)點(diǎn)系。 質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)點(diǎn)具有一定質(zhì)量但可以忽略其尺寸大小的物體。具有一定質(zhì)量但可以忽略其尺寸大小的物體。 研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間關(guān)系的科學(xué)。研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間關(guān)系的科學(xué)。 二、二、 動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)的形成與發(fā)展是和生產(chǎn)的發(fā)展密切聯(lián)系的，特別是在現(xiàn)代動(dòng)力學(xué)的形成與發(fā)展是和生產(chǎn)的發(fā)展密切聯(lián)系的，特別是在現(xiàn)代 工業(yè)與科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，對(duì)動(dòng)力學(xué)提出

2、了更加復(fù)雜的課題。工業(yè)與科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，對(duì)動(dòng)力學(xué)提出了更加復(fù)雜的課題。 例如：高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的動(dòng)力計(jì)算、航空航天高技術(shù)、動(dòng)強(qiáng)度分析、例如：高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的動(dòng)力計(jì)算、航空航天高技術(shù)、動(dòng)強(qiáng)度分析、 機(jī)械手、機(jī)器人、系統(tǒng)的動(dòng)力穩(wěn)定性等都需要?jiǎng)恿W(xué)理論。機(jī)械手、機(jī)器人、系統(tǒng)的動(dòng)力穩(wěn)定性等都需要?jiǎng)恿W(xué)理論。 三、三、 動(dòng)力學(xué)的分類動(dòng)力學(xué)的分類 緒論 動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué) 1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律動(dòng)力學(xué)的基本定律 1-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 1-4 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的例子質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的例子 第第 一一 章章 質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)點(diǎn) 動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué) 基基 礎(chǔ)

3、礎(chǔ) 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué) 動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué) 目錄 第一定律第一定律 慣性定律慣性定律 第二定律第二定律 力與加速度關(guān)系定律力與加速度關(guān)系定律 第三定律第三定律 作用與反作用定律作用與反作用定律 1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律 質(zhì)點(diǎn)因受力作用而產(chǎn)生的加速度質(zhì)點(diǎn)因受力作用而產(chǎn)生的加速度, ,其方向與力相同，其大小與力成正比其方向與力相同，其大小與力成正比 而與質(zhì)量成反比。而與質(zhì)量成反比。 1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律 第一定律第一定律 慣性定律慣性定律 質(zhì)點(diǎn)如不受力作用質(zhì)點(diǎn)如不受力作用, ,則保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變則保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變, ,即作直線勻速運(yùn)動(dòng)或者靜止。即作直線勻速運(yùn)動(dòng)或

4、者靜止。 第二定律第二定律 力與加速度關(guān)系定律力與加速度關(guān)系定律 第三定律第三定律 作用與反作用定律作用與反作用定律 任何兩個(gè)物體間相互作用的力任何兩個(gè)物體間相互作用的力, ,總是大小相等，方向相反總是大小相等，方向相反, ,沿同一直線，沿同一直線， 同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。 第一定律說(shuō)明了任何物體都具有慣性。第一定律說(shuō)明了任何物體都具有慣性。 F = ma 第二定律說(shuō)明了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，不僅決定于作用于物體的第二定律說(shuō)明了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，不僅決定于作用于物體的 力，而且與物體的慣性有關(guān)。力，而且與物體的慣性有關(guān)。 第三定律說(shuō)明了二物體間相互作用

5、力的關(guān)系。第三定律說(shuō)明了二物體間相互作用力的關(guān)系。 (11) 1-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律 2. 2. 牛頓第一定律和第二定律不是在任何參考系中皆成立的。牛頓第一定律和第二定律不是在任何參考系中皆成立的。 1. 1. F = ma 該式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。該式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。 3. 3. 牛頓定律適用的參考系稱為牛頓定律適用的參考系稱為基礎(chǔ)坐標(biāo)系基礎(chǔ)坐標(biāo)系。 4. 4. 慣性參考系慣性參考系相對(duì)于基礎(chǔ)參考系作慣性運(yùn)動(dòng)的相對(duì)于基礎(chǔ)參考系作慣性運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系坐標(biāo)系。 5. 5. 在慣性參考系中牛頓定律也同樣適用。在慣性參考系中牛頓定律也同樣適用。 加速度可分為加速度可分為aa，ae，ar，a

6、c， 公式公式F = ma中的中的a指指 的是什么加速度。的是什么加速度。 思考題 矢量形式矢量形式 直角坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式 自然形式自然形式 1-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 1-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 設(shè)有可以自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)設(shè)有可以自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn) M，質(zhì)質(zhì) 量是量是 m，作用力的合力是，作用力的合力是 F，加速，加速 度是度是 a 。 這就是這就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式。 )21 ( d d 2 2 F r t m x y z M一、矢量形式一、矢量形式 1-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 把上式沿固定直角坐標(biāo)系把上式沿固定直角坐標(biāo)系 Oxyz 的各的各 軸投影軸投影, ,得

7、得 Fx , Fy , Fz 是作用力是作用力 F 的合力在各軸上的投影。式的合力在各軸上的投影。式(1-3)(1-3) 是是直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。 二、直角坐標(biāo)形式二、直角坐標(biāo)形式 )21( d d 2 2 F r t m 這就是這就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式。 x y z r M F a 如采用自然軸系如采用自然軸系 Mtnb,并把式并把式(1-2)向各軸投向各軸投 影影, ,可得可得 是加速度是加速度 a 在切線、主法線和副法線正向的投影在切線、主法線和副法線正向的投影; ;Ft t , , Fn n 和 和 Fb b

8、 是合力 是合力 F 在相應(yīng)軸上的投影。式在相應(yīng)軸上的投影。式(1-4)就是就是自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。 )41 ( 0, d d bn 2 t 2 2 FF v mF t s m 0, d d b 2 n 2 2 t a v a t s a和 1-2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 x y z r M F a O n t b 三、自然形式三、自然形式 這就是這就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式。 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第一類問(wèn)題質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第一類問(wèn)題 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類問(wèn)題質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類問(wèn)題 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

9、的兩類問(wèn)題質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題: : 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類問(wèn)題：已知力，求運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類問(wèn)題：已知力，求運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第一類問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)，求力。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第一類問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)，求力。 解決第一類問(wèn)題，只需根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的已知運(yùn)動(dòng)解決第一類問(wèn)題，只需根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的已知運(yùn)動(dòng) 規(guī)律規(guī)律 r = r (t)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，求出加速度，通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，求出加速度， 代入代入(1-1) (1-4)，即得作用力即得作用力 F。 )21 ( d d 2 2 F r t m m a = F (1-1) 求解第二類問(wèn)題，是個(gè)積分過(guò)程。求解第二類問(wèn)題，是個(gè)積分過(guò)程。 必須注意：在求解第二類問(wèn)題時(shí)，方程的積必須

10、注意：在求解第二類問(wèn)題時(shí)，方程的積 分中要出現(xiàn)積分常數(shù)，為了完全確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分中要出現(xiàn)積分常數(shù)，為了完全確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng), , 必須根據(jù)運(yùn)動(dòng)的初始條件定出這些積分常數(shù)。必須根據(jù)運(yùn)動(dòng)的初始條件定出這些積分常數(shù)。 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 例題例題 1-1 設(shè)電梯以不變的加速度設(shè)電梯以不變的加速度a 上升上升, ,求放在電梯地板上重求放在電梯地板上重W 的物塊的物塊 M 對(duì)地板的壓力。對(duì)地板的壓力。 分析物體分析物體 M ，它受重力，它受重力 W 和和 地板反力地板反力 F FN 的作用。的作用。 ma = FN W 注意到注意到 m = W /g ，則由上式解得地板反力則由上式解得地板反力 )

11、1( N g a Wa g W WF M M FN a W x 根據(jù)根據(jù)F = ma 可得可得 解: 例題 1-1 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 )1( N g a Wa g W WF 上式第一部分稱為上式第一部分稱為靜壓力靜壓力，第二部分稱為，第二部分稱為 附加附加動(dòng)壓力動(dòng)壓力， FN 稱為稱為動(dòng)壓力動(dòng)壓力。 g a n1 nWF . n1動(dòng)壓力大于靜壓力，這種現(xiàn)象稱為動(dòng)壓力大于靜壓力，這種現(xiàn)象稱為超重超重 . n1, 動(dòng)壓力小于靜壓力，這種現(xiàn)象稱為動(dòng)壓力小于靜壓力，這種現(xiàn)象稱為失重失重 所以地板所受的壓力為所以地板所受的壓力為 M M FN a W x 討論 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 1-

12、3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 1. 明確研究對(duì)象；明確研究對(duì)象； 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)解題步驟：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)解題步驟： 2. 進(jìn)行受力分析，并畫(huà)出受力圖；進(jìn)行受力分析，并畫(huà)出受力圖； 3. 進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，并畫(huà)出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)量，如速度、加速度、角速度、進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，并畫(huà)出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)量，如速度、加速度、角速度、 角加速度等；角加速度等； 4. 選擇動(dòng)力學(xué)定理進(jìn)行分析求解。選擇動(dòng)力學(xué)定理進(jìn)行分析求解。 例題例題 1-2 單擺單擺 M 的擺錘重的擺錘重 W , ,繩長(zhǎng)繩長(zhǎng) l , ,懸于固定點(diǎn)懸于固定點(diǎn) O , ,繩的質(zhì)繩的質(zhì) 量不計(jì)。設(shè)開(kāi)始時(shí)繩與鉛垂線成偏角量不計(jì)。設(shè)開(kāi)始時(shí)繩與鉛垂線成偏

13、角 0 /2 , ,并被無(wú)初速釋放，并被無(wú)初速釋放， 求繩中拉力的最大值。求繩中拉力的最大值。 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 例題 1-2 任意瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度在切向和法向的投影為任意瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度在切向和法向的投影為 寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)的自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)的自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程 22 n 2 2 t ) d d (, d d l t lal t la )2( cos ) 1 ( sin N 2 n t WFl g W ma Wl g W ma 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 O M M0 0 解: 擺錘擺錘M 在繩的約束下只能沿已知圓弧運(yùn)動(dòng)，用在繩的約束下只能沿已知圓弧運(yùn)動(dòng)，用 自然形式

14、的質(zhì)點(diǎn)用自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程求解較自然形式的質(zhì)點(diǎn)用自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程求解較 方便。方便。 n t 以擺錘以擺錘M為研究對(duì)象為研究對(duì)象。選擇如圖自然軸系選擇如圖自然軸系。 O M M0 0 FN W an at 考慮到考慮到 則式則式(1)(1)化成化成 對(duì)上式采用定積分對(duì)上式采用定積分, ,把初條件作為積分下限，有把初條件作為積分下限，有 從而得從而得 把式把式(4)(4)代入式代入式(2)(2)，得繩拉力，得繩拉力 FN = W(3cos 2cos 0) FNmax = W(3 2cos 0) d d 2 1 d d d d d d d d 2 tt sin d d 2 1 2 l g

15、 d)sin 2 ()(d 0 0 2 l g )4( )cos(cos 2 0 2 l g )2( cos ) 1 ( sin N 2 WFl g W Wl g W 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 O M M0 0 FN W an at （3） 例題例題 1-3 小車載著質(zhì)量為小車載著質(zhì)量為m物體以加物體以加 速度速度a沿著斜坡上行，如果物體不捆扎，也沿著斜坡上行，如果物體不捆扎，也 不致于掉下，物體與小車接觸面的摩擦系不致于掉下，物體與小車接觸面的摩擦系 數(shù)至少應(yīng)為多少？數(shù)至少應(yīng)為多少？ a 解：解：取物體為研究對(duì)象。取物體為研究對(duì)象。 mg FN F a yx sinmgFma cos0 N

16、 mgF cos N mgF )sin( g a mgF 解得解得 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 例題 1-3 cos N mgF )sin( g a mgF 要保證物體不下滑，應(yīng)有要保證物體不下滑，應(yīng)有 cos )sin( min g a f 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 a mg FN F a yx Nmax fFFF cos )sin(fmg g a mg 例題例題1-4 粉碎機(jī)滾筒半徑為粉碎機(jī)滾筒半徑為R，繞通過(guò)中心的水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)，繞通過(guò)中心的水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi) 鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵

17、球 應(yīng)在應(yīng)在=0 時(shí)（如圖）才掉下來(lái)。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)時(shí)（如圖）才掉下來(lái)。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 n 例題1-4 視鐵球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)。鐵球被旋轉(zhuǎn)的滾筒帶著沿圓弧向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)鐵視鐵球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)。鐵球被旋轉(zhuǎn)的滾筒帶著沿圓弧向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)鐵 球到達(dá)某一高度時(shí)，會(huì)脫離筒壁而沿拋物線下落。球到達(dá)某一高度時(shí)，會(huì)脫離筒壁而沿拋物線下落。 鐵球在上升過(guò)程中，受到重力鐵球在上升過(guò)程中，受到重力mg、筒壁的法向反力、筒壁的法向反力FN和切向反力和切向反力F的作用。的作用。 cos N 2 mgF R v m 解：解： 列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程在主法線上的投影式列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程在主法線上的投影

18、式 鐵球在未離開(kāi)筒壁前的速度，等于筒壁上與其重鐵球在未離開(kāi)筒壁前的速度，等于筒壁上與其重 合點(diǎn)的速度。即合點(diǎn)的速度。即 R n Rv 30 n 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本問(wèn)題 根據(jù)根據(jù)F = ma 解得解得 2 1 N ) cos( 30 mgF m R R n 當(dāng)當(dāng)=0 時(shí)，鐵球?qū)⒙湎?，這時(shí)時(shí)，鐵球?qū)⒙湎?，這時(shí)FN =0，于是得滾筒轉(zhuǎn)速，于是得滾筒轉(zhuǎn)速 0 cos549. 9 R g n 2 . 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，鐵球就，鐵球就 會(huì)緊貼筒壁轉(zhuǎn)過(guò)最高點(diǎn)而不脫離筒壁落下，會(huì)緊貼筒壁轉(zhuǎn)過(guò)最高點(diǎn)而不脫離筒壁落下， 起不到粉碎礦石的作用。起不到粉碎礦石的作用。 R g n549.90 0 1-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力

19、學(xué)基本問(wèn)題 , cos N 2 mgF R v m R n Rv 30 1. 顯然，顯然， 越小，要求越小，要求n 越大。越大。 討論 例題例題 1-5 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為m ，彈簧的剛彈簧的剛 度系數(shù)為度系數(shù)為k，物塊自平衡位置的初始速度為物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物塊的運(yùn)。求物塊的運(yùn) 動(dòng)方程。動(dòng)方程。 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 例題 1-5 解：解：這是已知力這是已知力(彈簧力彈簧力)求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，故為第二類動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，故為第二類動(dòng)力 學(xué)問(wèn)題。學(xué)問(wèn)題。 i ix Fx m kxxm 以彈簧未變形時(shí)的平衡位置為原點(diǎn)建立以彈簧未變形

20、時(shí)的平衡位置為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，將坐標(biāo)系，將 物塊置于任意位置物塊置于任意位置 x 0 處。物塊在處。物塊在 x 方向只受有彈簧力方向只受有彈簧力 Fk x i。根據(jù)直角坐標(biāo)系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)直角坐標(biāo)系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 x xO m k l0 m 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 0kxxm m k xx 2 0 2 0 0, 00 0,; 00, )sin(vxtxttAx, t m k k m vx v Asin0 0 0 0 ;, 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 x xO m k l0 m l0 k 例題例題 1-6 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為彈簧質(zhì)量

21、系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為m，彈簧彈簧 的剛度系數(shù)為的剛度系數(shù)為k，物塊自平衡位置的初始速度為物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物。求物 塊的運(yùn)動(dòng)方程。塊的運(yùn)動(dòng)方程。 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 例題 1-6 解：解：以物塊為研究對(duì)象。這是已知力以物塊為研究對(duì)象。這是已知力(彈簧力彈簧力)求運(yùn)動(dòng)求運(yùn)動(dòng) 規(guī)律的問(wèn)題，故為第二類動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。規(guī)律的問(wèn)題，故為第二類動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。 以彈簧在靜載以彈簧在靜載mg作用下變形后作用下變形后的平衡位置的平衡位置 （稱為靜平衡位置稱為靜平衡位置）為原點(diǎn)建立）為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，將物坐標(biāo)系，將物 塊置于任意位置塊置于任意位置 x 0 處。處。 x m k

22、x O l0 st F W 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 列出物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程列出物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程 根據(jù)根據(jù)F = ma mgxkxm)( st 因?yàn)橐驗(yàn)?mgk st 所以上式為所以上式為 m k xx 2 0 2 0 0, 0 , )sin(tAx t m k k m vxsin 0 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 求解可得求解可得 m k xx 2 0 2 0 0, 注意到注意到 故可得物塊的運(yùn)動(dòng)方程故可得物塊的運(yùn)動(dòng)方程 0 , 0 , 0vxxt x m k x O l0 st F W 計(jì)算結(jié)果分析計(jì)算結(jié)果分析 v0 l0 x xO m k v0 t m

23、k k m vx v Asin0 0 0 0 ;, 1. 重力重力mg只改變了系統(tǒng)的平衡位置，對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律并無(wú)影響。只改變了系統(tǒng)的平衡位置，對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律并無(wú)影響。 2. 物塊垂直懸掛時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)選擇不同，對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程物塊垂直懸掛時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)選擇不同，對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 的影響這一問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們自己研究。的影響這一問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們自己研究。 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程 積分的典型例子 取坐標(biāo)軸取坐標(biāo)軸 Ox 鉛直向下，原點(diǎn)在物體的初鉛直向下，原點(diǎn)在物體的初 始位置。寫(xiě)出物體始位置。寫(xiě)出物體 M 的運(yùn)動(dòng)微分方程的運(yùn)動(dòng)微分方程 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型

24、例子 例題例題 1-7 質(zhì)量是質(zhì)量是 m 的物體的物體 M 在均勻重力場(chǎng)中沿鉛直線由在均勻重力場(chǎng)中沿鉛直線由 靜止下落，受到空氣阻力的作用。假定阻力靜止下落，受到空氣阻力的作用。假定阻力 F 與速度平方成與速度平方成 比例，即比例，即 F=v2 ，阻力系數(shù)，阻力系數(shù) 單位取單位取 kg/m ，數(shù)值由試驗(yàn)測(cè)定。，數(shù)值由試驗(yàn)測(cè)定。 試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解解: 加速度為零時(shí)加速度為零時(shí) 以以 m 除式除式(1)(1)兩端，并代入兩端，并代入 u 的值，得的值，得 ) 1 ( d d 2 vmg t v m u mg v x x F W v 例題 1-7 分離變量分離變量, ,并

25、取定積分并取定積分, ,有有 由上式求解由上式求解v, ,得得 )3( 1 1 )/()/( )/()/( )/2( )/2( tugtug tugtug tug tug ee ee u e e uv 于是物體速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律為于是物體速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律為 th 是雙曲正切。是雙曲正切。 )2()( d d 22 2 vu u g t v t u g vu vu tv d d 00 22 )a ()(tht u g uv 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 于是求得物體的運(yùn)動(dòng)方程為于是求得物體的運(yùn)動(dòng)方程為 為了求出物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，只需把式為了求出物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，只需把式(3)

26、再積分一次，有再積分一次，有 tugtug tugtug tx ee ee g u x )/()/( )/()/( 0 2 0 d d )b()chln( 2 ln 2)/()/(2 u gt g uee g u x ugtugt 1-4 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程積分的典型例子 )3( 1 1 )/()/( )/()/( )/2( )/2( tugtug tugtug tug tug ee ee u e e uv 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程 幾種特殊情形幾種特殊情形 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng) 微分方程 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 設(shè)已知坐標(biāo)系設(shè)已知坐標(biāo)系 O1x1y1z

27、1 對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系 Oxyz 進(jìn)行著某種運(yùn)動(dòng)。進(jìn)行著某種運(yùn)動(dòng)。 以以 F 和和FN 代表作用于質(zhì)點(diǎn)代表作用于質(zhì)點(diǎn) M 的主動(dòng)力和約束力，的主動(dòng)力和約束力， 對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系 Oxyz ，有有 m aa = F + FN 由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，絕對(duì)加速度由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，絕對(duì)加速度 aa 等于牽連加等于牽連加 速度速度 ae ，相對(duì)加速度，相對(duì)加速度 ar 和科氏加速度和科氏加速度 aC 三者的矢量和，即三者的矢量和，即 aa = ae + ar + aC 一、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程一、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程 代入上式得代入上式得 m(ae + ar + aC) = F + F

28、N 則有則有 mar = F + FN + Fe* + FC* 這就是這就是質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程，又叫，又叫質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)基本方程點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)基本方程。 令令Fe* = mae , FC*= maC 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 m(ae + ar + aC) = F +FN m ar = F + FNmae m aC Fe*和和 FC*分別稱為質(zhì)點(diǎn)的分別稱為質(zhì)點(diǎn)的牽連慣性力牽連慣性力和和 科氏慣性力科氏慣性力，通稱為歐拉慣性力。，通稱為歐拉慣性力。 設(shè)動(dòng)系設(shè)動(dòng)系 O1x1y1z1 對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系 Oxyz 作勻作勻 速直線運(yùn)動(dòng)。速直線運(yùn)

29、動(dòng)。 牽連加速度、科氏加速度都等于牽連加速度、科氏加速度都等于 零。故零。故 設(shè)動(dòng)系設(shè)動(dòng)系 O1x1y1z1 相對(duì)相對(duì)基礎(chǔ)坐標(biāo)系作平動(dòng)。在此基礎(chǔ)坐標(biāo)系作平動(dòng)。在此 情況下情況下, ,沒(méi)有科氏加速度和對(duì)應(yīng)的科氏慣性力。沒(méi)有科氏加速度和對(duì)應(yīng)的科氏慣性力。 故故 這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)加速度就等于對(duì)基礎(chǔ)坐標(biāo)系的絕對(duì)加速度。這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)加速度就等于對(duì)基礎(chǔ)坐標(biāo)系的絕對(duì)加速度。 1.1.相對(duì)于平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)相對(duì)于平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng) mar = F + FN + Fe* 2.2.相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng) mar = F + FN 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 二、幾種特殊情形二、幾種特殊情形

30、 mar = F + FN + Fe* + FC* m ar = F + FNmae m aC （1 1）相對(duì)平衡）相對(duì)平衡 F + FN +Fe* + FC*= 0 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系作勻速直線當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系作勻速直線 運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱為相對(duì)平衡。運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱為相對(duì)平衡。 F + FN + Fe* = 0 3.3.相對(duì)平衡和相對(duì)靜止相對(duì)平衡和相對(duì)靜止 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 此時(shí)此時(shí)ar = 0，有，有 （2 2）相對(duì)靜止）相對(duì)靜止 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在動(dòng)系中的位置不變時(shí)， 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在動(dòng)系中的位置不變時(shí)， 稱為相對(duì)靜止。稱為相對(duì)靜止。 此時(shí)此時(shí) vr = 0 , ar = 0 , aC = 0 , 有有

31、mar = F + FN + Fe* + FC* m ar = F + FNmae m aC 例題例題 1-8 設(shè)車廂以勻加速度設(shè)車廂以勻加速度 a 沿水平直線軌道向右行駛。求沿水平直線軌道向右行駛。求 由車廂棚頂由車廂棚頂 M0 處自由落下的質(zhì)點(diǎn)處自由落下的質(zhì)點(diǎn) M 的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 x1 z1 y1 h Fe* W M0 Ma 例題 1-8 解解: :分析質(zhì)點(diǎn)分析質(zhì)點(diǎn)M，取動(dòng)坐標(biāo)系，取動(dòng)坐標(biāo)系 O1x1y1z1 固連于車廂。固連于車廂。 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程 mar = W + Fe* (1) 其中：其中：Fe

32、* = mae，方向與車廂加速度，方向與車廂加速度 a 相反。相反。 把式把式(1)(1)向動(dòng)坐標(biāo)系各軸上投影向動(dòng)坐標(biāo)系各軸上投影, ,得相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程得相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 mgzmmaymxm 111 , 0 即即)2(, 0 111 gzayx 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 mar = F + FN + Fe* + FC* 注意到動(dòng)系作直線平動(dòng)，有注意到動(dòng)系作直線平動(dòng)，有 x1 z1 y1 h Fe* W M0 Ma 當(dāng)當(dāng) t t = 0 = 0 時(shí)時(shí), , ) 3(0;, 0 111 111 zyx vvvhzyx 把式把式(2)(2)積分，并利用初始條件積分，并利用初始條件(3)(3

33、)確定積分常量，求得質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)確定積分常量，求得質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī) 律為律為 2 1 2 11 2 1 , 2 1 ,0gthzatyx 消去時(shí)間消去時(shí)間 t t 后，得到相對(duì)軌跡方程后，得到相對(duì)軌跡方程 11 y a g hz 這表示軌跡是一條向后方偏斜的直線。這表示軌跡是一條向后方偏斜的直線。 )2(, 0 111 gzayx 根據(jù)所選坐標(biāo)系根據(jù)所選坐標(biāo)系, ,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件寫(xiě)成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件寫(xiě)成 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 x1 z1 y1 h Fe* W M0 Ma 例題例題 1-9 細(xì)管細(xì)管 AB 以勻角速度以勻角速度 繞鉛直軸繞鉛直軸 O1z1 轉(zhuǎn)動(dòng)，管轉(zhuǎn)動(dòng)，管 內(nèi)

34、放一質(zhì)量是內(nèi)放一質(zhì)量是 m 的光滑小球的光滑小球 M 。欲使小球在管內(nèi)任何位置。欲使小球在管內(nèi)任何位置 處于相對(duì)靜止，或沿管作勻速相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則細(xì)管應(yīng)在鉛直平處于相對(duì)靜止，或沿管作勻速相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則細(xì)管應(yīng)在鉛直平 面面 O1y1z1 內(nèi)彎成何種曲線內(nèi)彎成何種曲線? 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 例題 1-9 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 解解:設(shè)細(xì)管彎成圖示形狀，設(shè)細(xì)管彎成圖示形狀， 取動(dòng)系與彎管固連。取動(dòng)系與彎管固連。 分析小球，實(shí)際作用于小球的力有重力分析小球，實(shí)際作用于小球的力有重力 W 和管壁的法向反力和管壁的法向反力 FN。 此外，當(dāng)研究小球此外，當(dāng)研究小球 M 相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)

35、于轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系O1y1z1 的運(yùn)動(dòng)時(shí)，還要加入小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)，還要加入小球 的牽連慣性力和科氏慣性力。的牽連慣性力和科氏慣性力。 小球牽連慣性力小球牽連慣性力 Fe*的大小等于的大小等于 Fe* = m 2| y1 | , ,其方向水平而背離鉛直轉(zhuǎn)軸其方向水平而背離鉛直轉(zhuǎn)軸 O1z1。 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 科氏慣性力科氏慣性力 FC*方向垂直于相對(duì)速度方向垂直于相對(duì)速度 vr 和轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)軸 O1z1，即垂直于，即垂直于 O1y1z1平面向里；平面向里； 受力分析受力分析 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析 mar = W + FN + Fe* + FC* 投影到細(xì)管曲線的切線方向，注意到相對(duì)靜止時(shí)投影到

36、細(xì)管曲線的切線方向，注意到相對(duì)靜止時(shí)ar =0，相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí) art = 0，則得則得 Fet* Wt = 0 即即 my12cos mgsin = 0 其中其中 是切線對(duì)是切線對(duì)O1y1 軸的傾角，由此求得軸的傾角，由此求得 切線的斜率切線的斜率 求出積分，并確定積分常量，得求出積分，并確定積分常量，得 cy g z 2 1 2 1 2 可見(jiàn)細(xì)管應(yīng)彎成拋物線形狀。可見(jiàn)細(xì)管應(yīng)彎成拋物線形狀。 1 2 tgy g 由相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程由相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 1 1 d d y z 1-5 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 O C O R M 例題例題 1-10 一質(zhì)量是一質(zhì)量是 m 的小環(huán)的小環(huán) M 套在半徑是套在半徑是 R 的光滑圓環(huán)上，并可沿的光滑圓環(huán)上，并可沿 大圓環(huán)滑動(dòng)，而大圓環(huán)在水平面內(nèi)以勻角速度大圓環(huán)滑動(dòng)，而大圓環(huán)在水平面內(nèi)以勻角速度 繞通過(guò)點(diǎn)繞通過(guò)點(diǎn) O 的鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。的鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 在初瞬時(shí)，在初瞬時(shí)， = 0， = 2 ，試寫(xiě)出小環(huán)試寫(xiě)出小環(huán) M 相對(duì)于大圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程，相對(duì)于大圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程， 并求出大圓環(huán)對(duì)小環(huán)并求出大圓環(huán)對(duì)小環(huán)M 的約束力。的約束力。 例題 1-10 解: 分析小環(huán)。分析小環(huán)。 取動(dòng)坐標(biāo)系與大圓環(huán)固連，小環(huán)取動(dòng)坐標(biāo)系與大圓環(huán)固連，小環(huán) M 相對(duì)于大圓環(huán)的相對(duì)于大圓環(huán)的 位置用弧坐標(biāo)位