2003考研數(shù)三真題及解析

1、(1)已知曲線y = x設(shè) a O， f(X)=g(x) “a，若縮：而D表示全平面，則O,其他，2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題：本題共 6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上xcos.若xh0.X 卄其導(dǎo)函數(shù)在X=O處連續(xù)，則A的取值范圍是o,若 X=O,3 2 2 2-3a x+b與X軸相切，則b可以通過a表示為b =精品文檔17I = JJf (x)g(y x)dxdy=D設(shè)n維向量a =(a,O,，O, a)T, a cO ； E為n階單位矩陣，矩陣 A = E act T，1B = E +aaT，其中A的逆矩陣為B，則a = .a設(shè)隨機變

2、量X和丫的相關(guān)系數(shù)為O.9,若Z = X - O.4，則丫與Z的相關(guān)系數(shù)為設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，Xi,X2，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本,則當(dāng)nT處時，Yn =丄2 Xj2依概率收斂于n y二、選擇題：本題共 6小題，每小題4分，共24分，下列每小題給出的四個選項中，只有 一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且f 0)存在,則函數(shù)g(x)(A)在X=0處左極限不存在.(C)在x=o處右極限不存在.(B)(D)有跳躍間斷點有可去間斷點f(x)()X=O.=O.設(shè)可微函數(shù)f(x, y)在點(X0, yo)取得極小值,則下列結(jié)論正確的

3、是()(A)f(xo,y)在yy。處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)f(Xo,y)在y = yo處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C)f (xo, y)在y = yo處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D) f (xo, y)在y = yo處的導(dǎo)數(shù)不存在.an + |a n2 an -Ian，n =1,2，則下列命題正確的是()(A)若送an條件收斂，則znAn 43CPn與送qnn 都收斂.CcC(B)若無an絕對收斂，則ZnAnACPn 與 2 qnnJ都收斂.COCa=b(C)若送an條件收斂，則送Pn與無qn斂散性都不定.n(D)若 2 ann 1COC絕對收斂，則送Pn與S qn斂散性都不定.nAnA(4)設(shè)三階矩陣A -abb

4、-b，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有()Lb(A) a =b 或a+ 2b =0.(C) aHb且a+ 2b =0.(B) a = b 或 a + 2b H 0.(D) a H b 且 a + 2b H 0.(5)設(shè)口1,02,叫均為n維向量,下列結(jié)論不正確的是()(A)若對于任意一組不全為零的數(shù)ki, k2,ks，都有kp 1 + k2a 2 + ks s H 0 , 則a 102,企線性無關(guān).s.ki,k2,ks ,都有(B)若a 1,02,，tts線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)kH +k2a2 + kss =0.(C) 01,2, 亠線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為(D) 1

5、,02, d 線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān)(6)將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：Ai=擲第一次出現(xiàn)正面，A2=擲第二次出現(xiàn)正面，A3 =正、反面各出現(xiàn)一次， A4 =正面出現(xiàn)兩次，則事件(A)A1, A2, A3相互獨立.(B)A2 , A3, A4相互獨立.(C)A1, A2 , A3兩兩獨立.(D)A2, Ag, A4兩兩獨立.三、(本題滿分8分)11111設(shè)f(x)=丄,x引丄,1),試補充定義f(1)使得f(x)在-,1上連JTX sinJix 兀(1-x)22四、(本題滿分8分)r2 fr2 f1設(shè)f (u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足e 2+2 =1，又g(x,

6、 y) = fxy, (X2 -y2),cudv2五、(本題滿分8分) 計算二重積分I = JJe旳一皿 sin(X2 + y2)dxdy.D其中積分區(qū)域D =( X, y)X2 +y2 蘭兀.六、(本題滿分9分)求幕級數(shù)1 +送(1)n 42n n x(X 2【分析】無窮小量乘以有界函數(shù)的極限仍是無窮小量【詳解】A是參變量，x是函數(shù)f(x)的自變量； 1f( ) f (0)X-COS-1f (0) =lim MX ( Jimx =lim xcos1 =0 ,7 X -0 T XMPXX -0要使該式成立，必須lim =0 ,即幾1.當(dāng) x( = ,0)U(0,時,f (x) = Axcos1

7、 +xFsin1XX要使f (x) =0在X = 0處連續(xù)，由函數(shù)連續(xù)的定義應(yīng)有吧 f(x)=IJm (x溉cos- + xPsin - J= f (x) =0由該式得出幾2所以f (X)在X = 0處右連續(xù)的充要條件是幾2 【答案】4a6【詳解】設(shè)曲線與x 軸相切的切點為(X0,0)，則 y=0.而 y = 3x2-3a2，有 Sx。2 =3a2I X o又在此點y坐標(biāo)為0(切點在X軸上)，于是有Xo -3a2x0 +b =0，故b =x0 -3x =x0(x0 -3)，所以 b2 = x0(3a2 -x；)2 = a2 a = 4a6.【答案】a2【詳解】本題積分區(qū)域為全平面，但只有當(dāng)0

8、X 1,0 y - X 1時，被積函數(shù)才不為零,則二重積分只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分商積分即可, 需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.因此實際上只221 X 十212I = JJf(x)g(y-x)dxdy= JJ a2dxdy= a J0dx( dy =a (x +1)-xdx = a D0應(yīng)芻0 魚 _xDX(EXi)2 = -+(2)1A nA因此根據(jù)大數(shù)定律有 Ynx依概率收斂于-Z E (X j2 ) =1n yn y2二、選擇題【答案】(D)【詳解】方法1:直接法：由f (x)為奇函數(shù)知，f(0) =0 ;又由g(x)，知 g(x)在xx=0處沒定義，顯然 x=0

9、為g(x)的間斷點，為了討論函數(shù)g(x)的連續(xù)性，求函數(shù)g(x)在XT 0的極限.limg(xlimf=limf(xf(0)導(dǎo)數(shù)的定義xx y xx yX-0=f(0)存在,故x=0為可去間斷點.方法2：間接法：取f(x) =x，此時g(x) = -x1 x H 0可排除(A) (B) (C)三項.0 , x = 0,【答案】(A)【詳解】由函數(shù)f(x,y)在點(X0，y0)處可微，知函數(shù)f(x,y)在點(x。)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，又由二元函數(shù)極值的必要條件即得f (x, y)在點(X0, y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都等于零.從而有dydf (x0,y)(x,y)x0，y0)選項(A)正確.【答案

10、】(B)【詳解】由an + anpn =,qnan |an|. c 孑，知0蘭Pnanan若2 an絕對收斂，則Z an收斂.再由比較判別法,Z pn與送(-qn)都收斂，后者n=1與藝qn僅差一個系數(shù)，故 qn也收斂，選(B).(4)【答案】(C)【分析】A的伴隨矩陣的秩為1,說明A的秩為2,由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.【詳解】方法1:根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系r(A )詔10r(A)= n r(A) =n-1 r(A)吒 n 1abb1bb1bbA =bab= (a+2b)1ab= (a+2b)0a - b0bba1ba00a b知秩（A）=2，它的秩小于它的列數(shù)或者行數(shù),故有=

11、 (a+2b)(a -b)2 =0有 a +2b =0或 a = b 當(dāng)a = b時，L0bl00bbLb顯然秩（A ）=1 H 2，故必有a Hb且 a +2b =0應(yīng)選(C) r(A) =n方法2：根據(jù)A與其伴隨矩陣 A”秩之間的關(guān)系，r（A ）=1r( A) = n -1 , r(A) n 1知r（A ）=1 , r（A）=2.對A作初等行變換abab -aa bLb|_b - a0a-b j當(dāng)a =b時，從矩陣中可以看到abb 1abb-fa + 2bbblb -aa - b0T1-100-10|_b -a0a -b10-1隔00-1A的秩為1,與秩（A） = 2，不合題意（排除（A）

12、、（B）AT且a Hb時，秩（A）=2，故應(yīng)選.故a+ 2b =0,【答案】（B）【分析】本題涉及到線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解,以及線性相關(guān)、線性無關(guān)的等價表現(xiàn)形式.應(yīng)注意是尋找不正確的命題.【詳解】(A):若對于任意一組不全為零的數(shù)k1, k2 , ks，都有kj%樸202十+ksas H ,則a 1,(X2,，4必線性無關(guān).因為若,僅2,，口5線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,，ks,使得kj% +k2a2 +k 0,矛盾. 可見(A)成立.(B)：若0ti,0t2,ots線性相關(guān)，則存在一組(而不是對任意一組不全為零的)數(shù)ki,k2,，ks，都有 ki% +k2a2 中+k

13、0. (B)不成立.(C)%,，線性無關(guān)，則此向量組的秩為s ；反過來，若向量組 禺2,0 s的秩為s，則口仆，線性無關(guān)，因此(C)成立.9)1,2,，s線性無關(guān)，則其任一部分組線性無關(guān)， 則其中任意兩個向量線性無關(guān),可見(D)也成立.綜上所述，應(yīng)選(B).【評注】原命題與其逆否命題是等價的例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,，ks，使得kHk- +k成立，則a 1嚴(yán)2,，as線性相關(guān). 其逆否命題為：若對于任意一組不全為零的數(shù)k1, k2 ,ks，都有k1a1 +k2a2+ksUs H ,則a 1,(X2,0s線性無關(guān).在平時的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價性

14、.【答案】C【分析】(1) A, B兩事件相互獨立的充要條件：PAB = PAPBA,B,C三事件相互獨立的充要條件:(i) A, B,C 兩兩相互獨立；(ii) PABC = P-PU) pc【詳解】方法1:因為P仏 = 1, P人,卩人,卩仏，且2224AAAAp3宀=-, paa , p/=, p4=-, p3宀民 = ,4444可見有P3人=pgpg, paaJmpgpg, pSaJmpaJpg,PAA2A32PApA2Pa, pAA hPApg.故A1, A2, A3兩兩獨立但不相互獨立；A2, A3, A4不兩兩獨立更不相互獨立，應(yīng)選(C) 方法2：由三事件相互獨立的定義可知：相互

15、獨立必兩兩獨立；反之，兩兩獨立不一定相互 獨立.可見(A)不正確，因為如果正確，則 (C)也正確，但正確答案不能有兩個；同理, (B)也不正確.因此只要檢查(C)和(D)111P 人人代 = P0=OH 卩入”pg ”P幾=X X 2 4 4故(D)錯，應(yīng)選(C) 三【詳解】為使函數(shù)f(x)在丄,1上連續(xù)，只需求出函數(shù)f(x)在x=1的左極限lim f(x),2I1-然后定義f (1)為此極限值即可.二1 + lim丄=丄 + lim 吐止沁 兀 Tsin兀X 兀(1-x) 兀K 71(1-X)sin 兀 X令U =1 X，則當(dāng)XT 1 一時，UT o+,所以1兀U -sin 兀(1 一u)l

16、im fd)-1 + lim* U (1 U)兀 UT0 十兀 usi n 兀(1-u)= 1 + lim+W-U) 兀utFu (sin= + lim嚴(yán)沁匕 兀cos兀U-cos兀sin兀u) 兀 t 兀u，sin兀u等丄 + limru-siyu)洛丄+ limf。酬呵=兀uT兀 U=兀UT0*兀2U227i2u2、 1 丄 r 兀 sin 兀(1 -U) 1 , C 1 洛一+ lim =一 +0=兀 UT0十1定義f(1)=,從而有l(wèi)im f(x)兀一上連續(xù)，所以f(x)在1，1上連續(xù).= - = f(1), f(x)在 x=1 處連續(xù).又 f (x)在-,1)兀2四【詳解】由復(fù)合函數(shù)

17、 z = f(x,y)(x,y)的求導(dǎo)法則，得-fl/ 22 色f%2(x y)丿f+xfccrccJrcex cu oxcvexcucv從而所以f1cVcU0cV次f=xcUcf&也r 2 y I r 2ex_cU-2 f=y2 J +2xy +x,2fL汙，y + x + +x cUsVJ ZV_cUV自-.2 Cf.a2別2cVegcfc f=x 牙 x cydu2 Cf 2 C2f =x 苕 一2xy1 書M2f,y 1_一 _y REV 別 怔uZV 亠 2 C f f + y T 一 dv 別y+xc2fX _i7 ” y旦+ 旦十2 +y2)卑 +(x2 +y2)卑=(x2 +y

18、2)(卑 +空)=X2 + y2m 內(nèi)CUVcucv五【詳解】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)利用極坐標(biāo)進行計算.作極坐標(biāo)變換：設(shè) X = r cos日，y = r sinQ，有I =n(x2 +y2)dxdy護 sin(x2 +y2)dxdyDry r2兀航=遷0 d叫eDTT1X 22.2* e 2兀 航丄2.2t-兀二丄亠sinr rdr = d0 e sin rdr =兀0. e sintdt.2 0000 0L e 丄 sintdt，貝U兀t；e sintdt兀=-1 e dcost =-一 ie! + f；dsint=e4+1 -esint I0ecost +e-costdt0 ，

19、0 兀，兀_LS-f e sintdt = e +1 - A.0 0-t1 仃兀e仃兀-rp因此A= (1 +eT) , I =(1+ e )=(1 +e )2 2 2【分析】(1)和函數(shù)一般經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q后，考慮對其逐項求積分后求和，再求導(dǎo)即 可得和函數(shù)；或者先通過逐項求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù).本題可直接采用后者.(2)等比級數(shù)求和公式處1送 xn =1 +x +x2 +HI +xn +111 = (一1 x1)n 出1 x處x2n【詳解】先對和函數(shù) f(x) =1+2： (T)n 求導(dǎo) n#2n譏(1)n A= -xZ (-x2)nn丄1=X 1+x2-X 21 + x2對上式兩邊從

20、0到X積分XX tfOdt J。=f(X)-f (0) =1n(1 + x2)由 f (0) =1 ,得I2f (X) =1-In(1 +x2)2(x 1).為了求極值，對f (x)求一階導(dǎo)數(shù),f(x)r2 1+x2_-X1+x2n 2n _2L / 八n 2nX=xS (1) Xn3精品文檔23令f(X)=0，求得唯一駐點X = 0 .由于f(x)1 一x22 2 ，(1+x )f (0) =-1 c0且極大值為f (0) = 1 由極值的第二充分條件，得f(x)在X = 0處取得極大值,七【分析】題目要求F(x)所滿足的微分方程，而微分方程中含有其導(dǎo)函數(shù)，自然想到對F(x)求導(dǎo)，并將其余部

21、分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程即可.【詳解】(1)方法1：由F(x) = f (x)g(x)，有F (X)= f (x)g(x) + f (x)g(x) = g2(x) + f 2(x)2X 2= f(x)+ g(x) -2f(x)g(x) = (2e ) -2F(x)可見F(x)所滿足的一階微分方程為F (X)+2F(x) =4e2x.相應(yīng)的初始條件為 F (0) = f (0) g(0) = 0 .方法 2：由 F(x) =f(x)g(x)，有F (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) = f (x)2 +g(x)2=f(X)+g(x

22、)2 -2f(x)g(x)又由 f(X)+g(x) =2ex.有 f 0)+g0) =2ex , f(x)=g(x) , g(x) = f (x)，于是F (x) =4e2x -2f (x)g(x) =4e2x _2F(x)可見F(x)所滿足的一階微分方程為2xF (X)+ 2F(x) =4e .相應(yīng)的初始條件為 F(0) = f (O)g(O) =0一階線性非齊次微分方程巴+ P(x) y =Q(x)的通解為dx_P(x)dx fP(X)y =eQ(x) e_|2dx(2)題(1)得到F(x)所滿足的一階微分方程，求F(x)的表達式只需解一階微分方程.又dxrdx +C所以 F(x) =eF

23、dX j4e2x e dx+C =eX j4e4Xdx+ C =e2Cex將F(0)=0代入上式，得0=1+C,C=-1.所以 F(x)=e2xex八【分析】題目要證存在忘(0,3)，使得其一階導(dǎo)數(shù)為零，自然想到用羅爾定理.而羅爾定理要求函數(shù)在某閉區(qū)間連續(xù)，且端點處函數(shù)值相等. 題目中已知f(3)=1，只需要再證明存在一點C引0,3)，使得f(C)=1 = f (3)，然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可.條件f (0) + f (1) + f (2) = 3等價于f(0)+ f+ f(2)= 1 .問題轉(zhuǎn)化為1介于f (x)的最值之間，最終用介值定理可以達到目的.【詳解】方法1:因為f (x)在0

24、, 3 上連續(xù)，所以f (x)在0, 2上連續(xù)，則在0 , 2上必有最大值M和最小值m (連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理 )，于是m f (0) M , m f (1) M , m f (2) M .三式相加3m f (0) + f (1)+ f 3M .從而mf空f(羅M.由介值定理知，至少存在一點C忘0,2，使f(c)二込込也彳因為f(c) =f(3) =1 ,且f (x)在c,3上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理知,必存在匕 (g3)u(0,3)，使 f(G =0.方法2:由于f(0) + f(1 )+f (2)=3，如果f(0), f(1), f (2)中至少有一個等于1,例如f(2)

25、 =1，則在區(qū)間2, 3上對f(x)使用羅爾定理知，存在紅(0, 2戸(0, 3使()=0.如果 f (0), f(1),f(2)中沒有一個等于1，那么它們不可能全大于1,也不可能全小于1.即至少有一個大于1，至少有一個小于1，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知,在區(qū)間(0, 2)內(nèi)至少存在一點n使f(n)=1.在區(qū)間13對f (x)用羅爾定理知，存在匕迂(匕3)匚(0,3)，使f徉)=0.證畢.九【分析】方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同，問題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)(-1)倍加到其余各行，即可計算出行列式的值.行列式的計算具有明顯的特征：所有行對應(yīng)元素相加后相等可先將所有行對應(yīng)元素相加， 然后提

26、出公因式，再將第一行的【詳解】方程組的系數(shù)行列式aba2a3ana1a2 +ba3ana11a21a3 +b an hl a1a2a3an +bnb+2aia2aHIani 3nb +2 aii 3nb +2 aii 3a2 +ba2a3a3 +bIIIIIIanannb +2 aii =a2IIIn= (b+2： ai)i =1a2a3INanaba3INana2Ras +bRIN+an1Ra2Ra3+INian +ba3an(1)a2b0a30b當(dāng)A h0 ,即卩b h0且b +送INth川INan00n= bn(b+2 ai).7ai工0時，秩（A） =n，方程組僅有零解.當(dāng)b = 0時

27、，A = 0，原方程組的同解方程組為a1X1 +82X2 十+anXn =0.h0可知，ai（i =1,2，n）不全為零.不妨設(shè)印工0，得原方程組的一個基礎(chǔ)解系% =(亞,1,0，,0)T , a 2 =( ,0,1，,0)T，,5 =(,0,0，,1)T. a1a1aiaiaiaiA =0.這時 b H0，原方程組的系數(shù)矩陣可化為將第1行的（-1）倍加到其余各a2a3IIIann2 -藝 aia3HIani 二na2a3 -2 a.,IIIan卜i毘卜1-卜hFna2a3IIIan 送 aiiTna1-送 aa2a3illani ztnn無ai-2 ai0ill0i rnynn2 ai0-Z

28、 C%川0i 3i =1+J1nn-Z aii-III精品文檔31從第2行到第n行同乘以倍S aina1 2 ai 4-1-1a2-1a3IllIIIIIIIIIan將第i行的（-aj倍加到第1行，i =2 3iH n ,0-1IIIIII00-1L-1IIIIII由此得原方程組的同解方程組為X2 = X1 , X3 = X1,Xn = X1原方程組的一個基礎(chǔ)解系為= (1,1，,1)t.十【分析】特征值之和等于 A的主對角線上元素之和，特征值之積等于A的行列式，由此可求出a,b的值；進一步求出 A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所

29、構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.a0【詳解】（1）二次型f的矩陣為A =Lb叮設(shè)A的特征值為込123），由題設(shè)得-2+ 耐* )3=811+ a22 + a33= a+2+( -2)=1，b 0-2解得 a =1,b = 2 .（2）求矩陣A的特征值，令幾100A2-20=4a 2b2 = 12.-2= (a-2)2(a +3) = 0 ,得矩陣A的特征值=幾2 =2,兀3=3.對于-扎2 = 2,解齊次線性方程組（2E - A）x = 0 ,系數(shù)矩陣為基礎(chǔ)解系= (2,0,1)t ,2 =(0,1,0)t.對于-，解齊次線性方程組 （-3E - A）x = 0 ,系數(shù)矩陣為基礎(chǔ)解系= (1,0,-2)T.由于g, J上3已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將由此得2112 T珂眉吃）心,1,0）円于廠肩.令矩陣275則Q為正交矩陣.在正交變換X =QY下，有2qtaqL01r-45-210 ，得-2-1，得J, J, J單位化,且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f =2丫12 +2y； -3注【評注】本題求 a, b也可先計算特征多項式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定:二次型f的矩陣A對應(yīng)特征多項式為-bA a=(a -2)a2 -(a-2)A -(2a+b2).-b設(shè)A