04184線性代數(shù)

1、04184線性代數(shù)X1,X2,X3，令 P = X1,X2,X3 ,24.向量組a 1,口2,川，5的秩為r的1.設(shè)A、B均為n階矩陣，且A可逆, 則下列結(jié)論正確的是 則B可逆A.若 AB 0,則 pAP =D_ diag(1,-1,3 )充要條件為 C向量組線性無關(guān)25 .已知3階矩陣A的特征值為1、12.矩陣一01是C.正定矩陣13-設(shè) Xi,X2 是 Ax = 0 的解，yi,y2是-1、2，則矩陣A2+E的特征值為A 1、L1-13.下列矩陣，是初等方陣的是D4.下列向量與a= （ 1, -1 , 0）正交的是 A. a1 = (1, 1, 1)5.計(jì)算行列式=C.246.設(shè) A=14

2、,則1 (2A) -11= C-17.設(shè)A為n階實(shí)矩陣,對(duì)于線性方組（l）AX=0 和線性方程組(ll)A TAX=0 必有 B. (I)的解是（II）的解，但（II）的解不是（I）的解設(shè)2是3階方陣A的一個(gè)特征值， 則A必有一個(gè)特征值為A.8 n階方陣A B相似的充分必要條 件是A.存在可逆矩陣 P,使P8.9.10 對(duì)任意 n階方陣 A, B,總有D. AB = BA1-111 .矩陣A=的秩為C.31012 .設(shè)3階矩陣A有特征值1, -1, 3，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別Ax = b 的解，則LX1+X2是 Ax = 0的解14.矩陣A的屬于不同特征值的特征 向量C.線性無關(guān)15.設(shè)n階方陣

3、A,且I A |工0,則（A廠亠話A16. n階方陣A可對(duì)角化的充分必要 條件是 D.A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向 量17. 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A為 正定的充要條件cBA的特征值全大D于 0.-.18 .齊次線性方程組 Ax=0有非零解的充要條件為 D系數(shù)矩陣A中任意列向量可由其余列向量線性表出000 0ana100 000a20 001 T TT T TT T TT T TT T TT 1000anJ019. n階行列式的值為C./八 n- 1(-1) a 依2 an20設(shè)行列式的取值為A. 1-1、226.解，27.X t方程組X1 2x2 = 012 只有零3為 + kx2 = 0則D

4、. k設(shè)矩陣A與C分別為mX n和s陣若使 ABC有意義，B應(yīng)為工一6B.n X s 陣28. 設(shè)A為n階方陣，方陣行列式A = a, k為一個(gè)常數(shù)，則kAB. kna29.設(shè)A為3階方陣，其特征值分別 為 2, I , 0 貝U | A-2 E|= A. 030 .設(shè)A,B均為3階矩陣r (A) =3, r (B) =2,則 r( AB= B.231.設(shè)2階矩陣A的伴隨矩陣-10=0，貝U k121 .設(shè)A、B、C為均為n階可逆矩陣,且ABC= E,則下列結(jié)論成立的是D. CAB= E22.初等方陣A.都可逆23.設(shè)A為3階方陣，且 IA =1，則2aJ+a= D.32A*1 0A = A.

5、 432.已知向量組A： a 1,02,3嚴(yán)4 中234線性無關(guān)，那么C. 03線性無關(guān)33.設(shè)A,B均為3階矩陣r (A) r (B) =2,則 r( AB=34.設(shè)四階方陣A=（P),B=(a 2, a 3,式 A =2,B.2=3,a 3,行列B = C. 2435.若 A為 4 階方陣，r(A)=3, n-n?是線性方程組 Ax=b的解，則Ax=b的通解為4中隊(duì) -*2）36.設(shè)方陣A有一個(gè)特征值為 2,則A. A有一個(gè)特征值為 237.齊次線性方程組 X1+X2+X3+Xn=0的基礎(chǔ)解析中解向量的個(gè)數(shù)D. n-138 .設(shè)4階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分 別為2 , I , 0 , -2,

6、貝y A的正慣性指 數(shù)為B. 2D. A-1有一個(gè) 1 寺征值為1 148.矩陣A= 20 2所對(duì)應(yīng)的二59.二次型f(Xi,X2,X3)的矩陣A有矩陣0 10、110 0P =1 0 0,Q =0 1 00 0 bJ 0 b39.設(shè)3階方陣A的秩為3,若矩陣B = PAQ則秩(B)= _3_40 .-1，-20 -2的特征值，則1丿41.若n階方陣A與B相似，且|A|=2 ,42 .設(shè) A =-1,B =1J丿1，則aTb =_(1).則 |BA|=_4_43.、幾f1 1 )設(shè)A = I11 2丿1、I1 1丿44.若A為3咒5矩陣，且A有一個(gè)三階子式不等于0,則R(A)=345.設(shè)A為三

7、階方陣,A= -146.若3階矩陣A有特征值1,2,3,則 A+E =2447.已知矩陣滿足 A2+A 2E= 0,則A的特征值為-2 和1L1次型 XtAx-1三個(gè)特征值1 , 3, 2,該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 X 12+3x22+2x322 2 2=X1 +3X2 -X3 +4X1 X2+2X1X3_： : !49已知向量a =(1k,1k,k)是單32位向量，k= _6/750.設(shè)三階矩陣 A滿足A2+2A=Q且r(A)=2 ,貝U A的特征值為51.設(shè)行列式行列式a11a21a31600，-2,-2aiiai2ai3a21a31a11a21a31a22a32+ 2a12+ 2a22+ 2a

8、32a 23a33=5,則a13a23a33=1052齊次線性方程組 AX=0的系數(shù)矩陣A的秩為r (r n),則其任意一個(gè)基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)數(shù)為n-r 個(gè)。53 .二次型 f (X1,X2, X3)=xTAx 經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形yj + 5y| ,則A的最小的特征值是054. 設(shè)A為3階方陣，特征值分別為-2 , -1 , I，貝U |5 A|= 250,55. 若A、B為同階方陣，且Bx=0只有零解，若r(A)=3 ,則r(AB=_ h56.設(shè)矩陣A= I 1I10次型-2-2-2，則二XT Ax = X2-2xz2+4x32+2x1X2-4x_2X357. A是3階方陣，且I A

9、=2, A*是A的伴隨矩陣，貝y A* =_4_58.已知方陣A滿足A2+2A- 3E= 0,則A的特征值為-3和12f(X1,X2,X3)=2X12丄 2 X2 + X3 ,該二次型的負(fù)慣性指數(shù)等于61.A31I1 2A-11-362.三元齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是系數(shù)行列式63 .設(shè) a =(-1 , 2, 2)，則a的長(zhǎng)度r(A)=3,64. 設(shè)A為5階方陣，且則線性空間W=x| Ax=0的維數(shù)是_3_65. 設(shè)A為3階反實(shí)對(duì)稱矩陣方陣，則 | A|=_0_66. A為 4X 5 矩陣，r (A) =r (A,b)方程組Ax=b有無窮多解67設(shè)D= aj為n階行列式，Ai為元

10、aij的代數(shù)余子式，njajAkjQHkrj68. 設(shè) A2+2A-E=O,則 A= A+2E69. 已知向量 a 1= (3 , 4 , -1 ) , a 2=(1 , 0, 3) , a1與a 2的內(nèi)積為070 .次型 f(X1 ,X22 2X3)= X1 -2 X1X2+ X2 -2X2X3 所對(duì)應(yīng)的矩陣是1-10-11-1A,B都是3階矩陣，且71.設(shè)| A|=2,B=-2 E 則 | A B|=_- 72.3階A的特征值為1 , -1 , 2則B=A+E寺征值是2,0,373.Da1111a1111a1111a可以證明不存在不全為 0的k1,k2, k311113=(a+3)(a-1

11、)124813927141664=1274.3D=D=k +k2(a1 +a2)+k3(a1 +a2 +a3)因=0此 a,a1 + a2+ a2 + a2 也線性無76.已知A為n階方陣可逆，Aj （i=1 ,解: x=2,y=081.已知解:,求:Ao1/21234234134124123=16012，n）為它的特征值，證明一為A82.-2求A的特征值的特征值.解：由題意知： AX= aX，等式兩邊同乘A得X = A-aX，等式兩邊同時(shí)除以A,所以=AX ,n ,八 n+1=x +(-1) y已知向量組(1)= (1,0, 2,1)T ,2= (1,1,4,-3)t,叫= (3,1,0,-

12、1)T ,= (3,0,10,3)T ,(2) a 1= ( -1 , 2, 0, 1 , 3), a 2= (1 , 2 , 0 , 5 , 4), a 3= (3 , 2 , 2 , 0 , -1 ), a 4= ( 0 , 4 , 0 , 6 , 7 )分 別求向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。(1)最大線性無關(guān)組是 a2, a3, a 4最大線性無關(guān)組是 , 2 , 375.設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān)，證明印+a2,a1+a2乜2也線性無關(guān)。解：假設(shè) a1,a1 +a2,a1 +a2 +a2也線性相關(guān)，則有不全為 0的k1,k2,k3使1你2心1 +a2）棟3佝匕2心3）=整理后得到(

13、k1 +k2 + k3)a1 +(k2 +k3)a2 +k3a3=0由于向量組44243線性無關(guān)，所以k1,k2,k3均為0,由此與假設(shè)矛盾,1所以丄為A-1的特征值3丿與其對(duì)應(yīng)的特征向量。解：特征值分別為 4，4的特征向量是（1,0,1）（ 0,1,1）; 2的特征向量是（83 .已知 卩0A133 24, 20, -1,1)0,且滿足02 J77.fo01，求r(A + E) +r(AE) o解:78.r(A + E) +r(A-E) =3”(1已知A IA=|011,且滿足A2 + X = AX + E ,求矩陣 X。解: X=A+E=2 0 10 3 0Il 0 2丨心1 + X2 +

14、 X3 = 1 I79.已知方程組 X1 +泳2 + *3= 2I1/1 + X2 + 幾 x3 =人（1 ） A為何值時(shí)方程組有唯一解？（2） A為何值時(shí)方程組無解 （3） Z 0為何值時(shí)方程組有無窮多個(gè)解 ？解：（1）入工1, AM 2時(shí)方程組 有唯一解（2） z= 2時(shí)方程組無 解（3） A =1時(shí)方程組有無窮多個(gè)解-22I 380 .已知 I a =0121A2 + B = AB + E ,求矩陣 Bo解:84.解:B=A+E=已知AAn=4n-1A已知矩陣A= f1 a 為正定矩陣,la 1丿則a滿足什么條件？ 解：一 1a1f386.已知 IA=|085.求(A+3E)-1(a2

15、-9E) o解: (A + 3E)(a2 9E)=0A3E =0 10 1 0L0 0 2-87.求方程組的通解(1)I Xl X2 X3 中 X4 =0 oN3X4=1* 一卷一2卷二冷解：其通解為(7/2,1,9/2,2) T+k1(-1,1,-1,0) T+ k2 (1,-1,2,1) TA的相似對(duì)角矩陣為3為 +4x2 +X3 +2x4 =3I(2)彳 6為 +8x2 +2x3 +5x4 =7 9x1 +12X2 +3X3 +10X4 =13 解：其 通解為(-1,1,0,1) T+k1(-1,1,-1,0) T+ k2 (1,-1,1,0) TQ 0 1判斷A= 0 11R 1 289.已知-（2丿Pa，（邙）n88.已知A能否對(duì)角化，并寫出A的相似對(duì)角矩陣解：幾E A =入（入-1 ）（入-3）,所以A有三個(gè)特征向量，所以A可以對(duì)角化。解:90.3、A=J522、12-6 0.3丿I2 0 -4丿aii=-5 0 ,a21a22據(jù)赫爾維茨定理,fA =-80 0解：A是n階正定陣，所以A的所有特征值全部大于 0.(A+E)的所有特征值全部大于 1, A+E的行列式是它所有特征值的乘積，所以A+E的行列式大于1，所以 A + E 099.已知3階行列式解：A12= -4x=8,所以(1100設(shè)矩陣A