拋物線與圓綜合探究題

1、3)設(shè)x2 x1 2 .(2)由( 1 )、( 2 ) 得：x2 r 1 .(3)將 N(r 1,y) 代 入 解 析 式2y x2 2x 3 ，得 y (r 1) 2 2(r 1) 3 ，.(4)整理得：y r 2 4由于 r= y，當(dāng) y 0時(shí)， r 2r 4 0，解得，r12 1 17r2 r 4 0，解得，r112 171 17 1 17， r2(舍去)，當(dāng) y 0 時(shí)，221 17 1 17r2(舍去)所以圓的半徑是22專題： 拋物線與圓綜合探究題拋物線與圓綜合探究題，綜合性強(qiáng)，難度較大，通常都作為“壓軸題” ，解此類題通常 需要熟練掌握拋物線與圓相關(guān)的基本知識(shí)和基本技能，求解時(shí)注意

2、運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行綜 合、分析、探究解題思路。2例 1、拋物線 y ax2 bx c交 x軸于 A、 B兩點(diǎn)，交 y軸于點(diǎn) C ,已知拋物線的對(duì)稱 軸為 x 1， B(3,0) ,C(0, 3) ， 求二次函數(shù) y ax2 bx c的解析式； 在拋物線對(duì)稱軸 上是否存在一點(diǎn) P ，使點(diǎn) P 到 B 、 C 兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； 平行于 x軸的一條直線交拋物線于 M 、N兩點(diǎn)，若以 MN 為直徑的圓恰好與 x 軸相切，求此圓的半徑解：(1)將C(0, 3)代入 y ax2 bx c，得 c 3將 c3， B(3,0) 代入y ax2 bx c ， 得

3、9a 3b c 0 x 1 是 對(duì) 稱 軸 ， b 1將( 2)代入( 1)得 a 1，b2 二次函數(shù)得解析2a式是 y x2 2x 3(2) AC 與對(duì)稱軸的交點(diǎn) P 即為到 B、C的距離之差最大的點(diǎn) C 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0, 3)， A點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 1,0) ， 直點(diǎn) P 的坐標(biāo) (1, 6) 線 AC 的解析式是 y 3x 3 ，又對(duì)稱軸為 x 1 ，M(x1,y)、 N( x2, y) ，所求圓的半徑為 r，則 x2 x1 2r ，.(1) 對(duì)稱軸為 x 1，或 1 17例 2、 已知：在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一次函數(shù) y=kx-4k 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) y ax2 bx c

4、經(jīng)過 O、A兩點(diǎn)。 試用含 a 的代數(shù)式表示 b； 設(shè)拋物線的頂點(diǎn) 為 D，以 D 為圓心， DA為半徑的圓被 x 軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿 x 軸 翻折，翻折后的劣弧落在 D 內(nèi)，它所在的圓恰與 OD相切，求 D 半徑的長(zhǎng)及拋物 線的解析式； 設(shè)點(diǎn) B 是滿足中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在 x 軸上方 的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得 POA 4 OBA ？若存在， 求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；3 若不存在，請(qǐng)說明理由。（ 1）解法一： 一次函數(shù) y kx 4k 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （4，0）拋物線 y ax2 bx c經(jīng)過 O、A 兩點(diǎn) c 0，16a 4b

5、0 b 4a 解法二： 一 次函數(shù) y kx 4k 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 4， 0）拋物線 y ax2 bx c 經(jīng)過 O、 A 兩點(diǎn) 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x 2 x b 22a（ 2）解：由拋物線的對(duì)稱性可知， DODA點(diǎn) O在 D上，且 DOA DAO 又由（ 1）知拋物線的2解析式為 y ax2 4ax點(diǎn) D的坐標(biāo)為（ 2， 4a） 當(dāng)a 0時(shí)， 如圖 1，設(shè) D被x軸分得的劣弧為 OmA，它沿 x 軸翻折后所得劣弧為 OnA ，顯然 OnA所在的圓與 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱， 設(shè)它的圓心為 D 點(diǎn) D 與點(diǎn) D也關(guān)于 x 軸對(duì)稱點(diǎn) O在 D上，且 OD與D相切

6、點(diǎn) O為切點(diǎn) DOOD DOA DOA45ADO為等腰直角三角形4a 2OD 2 2 點(diǎn) D的縱坐標(biāo)為 2 1a， b 4a 2212x2 2x 當(dāng) a 0 時(shí)，2線的解析式為 y 1 x2 2x 綜上， D 半徑的長(zhǎng)為 2 2 ，拋物線的解析式為2拋物線的解析式為 y同理可得： OD 2 2拋物2 2x 或y 1 x2 2x2設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 （x，3）解答：拋物線在 x 軸上方的部分上存在點(diǎn) P，使得 POA 4OBA 3y），且 y0 當(dāng)點(diǎn) P在拋物線y 1 x2 2x 上時(shí)（如圖 2）2點(diǎn) B 是 D 的優(yōu)弧上的一點(diǎn)OBA 1 ADO245 POA 4 OBA 603過點(diǎn) P 作 P

7、E xtanPOEEPOE軸于點(diǎn) E y tan60 xy 3xy 3x12yx2解得：2xx1 4 2 3 x2 0 ，y1 6 4 3 y2 0x2 0舍去）12點(diǎn) P的坐標(biāo)為 4 2 3，6 4 3 當(dāng)點(diǎn) P在拋物線 yx2 2x 上時(shí)（如圖 3）2同理可得， y 3x由yy3x1 解得：12x 2x2x2x1 4 2 3 ，y16 4 3 y20 （舍去）0點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 4 2 3， 6 4 3綜上，存在滿足條件的點(diǎn) P，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為4 2 3，6 4 3 或4 2 3， 6 4 3例 3、如圖，在直角坐標(biāo)系中， C過原點(diǎn) O，交 x軸于點(diǎn) A（ 2，0），交y 軸于點(diǎn) B（0

8、，2 3）求圓心的坐標(biāo)； 拋物線 yax2bxc 過 O、A 兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上，求拋物線的解析式；過圓心 C 作平行于 x 軸的直線 DE，交 C 于 D、E 兩點(diǎn)，試判斷 D、E兩點(diǎn)是否在中的拋物線上；若中的拋物線上存在點(diǎn) P（x0， y0），滿足 APB為鈍角，求 x0 的取值范圍。解：（ 1） C經(jīng)過原點(diǎn) O， AB為C的直徑。 C為 AB的中點(diǎn)。11過點(diǎn) C作CH垂直 x軸于點(diǎn) H，則有 CH1 OB 3 ，OH 1 OA1。圓心 C22的坐標(biāo)為（ 1， 3 ）。2）拋物線過 O、A 兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為的頂點(diǎn)在直線 y 3 x 上， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，3坐標(biāo)代入拋物

9、線拋物線c04a 2b c 04a 2b c 0a b c 332yax bx c，a3得a323b3 c0拋物線y 33 x223x。33） OA2，OB2 3 ， AB22 (2 3)22 4 . 即 C的半徑 r 2。 D（3，3 ），E（ 1，3 ）代入32yx32 3 x檢驗(yàn)，知點(diǎn)D、 E 均在拋物線上（ 4） AB為直徑，當(dāng)拋物線上的點(diǎn) P 在 C的內(nèi)部時(shí)，滿足 APB為鈍角。 1x00，或 2x0 0，則 PA是圓的半徑且 PA2u222過 P做直線 CD的垂線，垂足為 Q，則 PQ PA時(shí)以 P為圓心的圓與直線 CD相切。由第（ 2）小題易得： MDE為等腰直角三角形，故 PQ

10、M也是等腰直角三角形，由 P（1，u）得 PEu， PM |4-u| ， PQ2PM |4-u| 由 PQ2PA2得方程：（4u）u222，解得 u4 2 6 ，舍去負(fù)值 u2 2 242 6 ，符合題意的 u 42 6 ，所以， 點(diǎn) P 存在，其坐標(biāo)為（ 1， 42 6 ）.1 2 3例 5、已知：如圖，拋物線 yx233交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C點(diǎn)， ACB90，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)； 過 A、 B、 C 的三點(diǎn)的 M交 y 軸于另一點(diǎn) D，連結(jié) DM并延長(zhǎng)交 M于點(diǎn) E， 過 E點(diǎn)的 M的切線分別交 x 軸、y 軸于點(diǎn) F、G，求直線 FG的解析式； 在條件下，設(shè) P為 上的動(dòng)點(diǎn)（

11、 P不與 C、D重合），連結(jié) PA交 y 軸于點(diǎn) H，問是否存在一個(gè)常數(shù) k，始終滿足 AH2 APk，如果存在，請(qǐng)寫出求解過程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.解： 由拋物線可知，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0， m），且 m0.設(shè) A（ x1， 0）， B（ x2， 0）.則有 x12 x23m 又OC是 RtABC的斜邊上的高， AOCCOB OA OC x1m ，即2x12 x2 m m2 3m，解得m 0 或 mOC OBmx2 3 而 m 0，故只能取m 3這時(shí)， y 1 x223x31(x3)2 4333故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3 ，4）解法一 ：由已知可得： M（ 3 ， 0）， A（ 3 ，0

12、），B（3 3，0），C（0,3），D（0， 3） 拋物線的對(duì)稱軸是 x 3，也是 M的對(duì)稱軸，連結(jié) CEDE是 M的直徑， DCE90，直線 x 3 ，垂直平分 CE， E 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2 3， 3）OA OMOC OD3， AOC DOM 903， ACO MDO30， ACDE ACCB，的解析式為：3CBDE又 FGDE，F(xiàn)GCB由 B（3 3 ，0）、C（0，3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)易求直線 CB可設(shè)直線 FG的解析式為 y 3 xn，把（ 2 3， 3）代入3求得 n 5 故直線 FG的解析式為 yx 53解法二： 令 y0，解 1x2 2 3x30得 x1 3，x23 3 ，即 A（ 3

13、， 330）， B（3 3 ， 0）根據(jù)圓的對(duì)稱性，易知： ： M半徑為 2 3， M（ 3，0）在 RtBOC 中， BOC 90， OB3 3 ，OC3 CBO30，同理， ODM30。而 BME DMO， DOM90， DEBCDEFG， BCFG EFM CBO30在 RtEFM中， MEF90，ME2 3 ， FEM30， MF 4 3，OFOMMF5 3，F(xiàn) 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 5 3 ，0）在 RtOFG中， OGOF2 tan305 33 5G 點(diǎn)的坐標(biāo)為0，5）直線 FG的解析式為 y 3 x 53解法二的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參照解法一酌定）解法一： 存在常數(shù) k 12，滿足 AH2 AP12

14、 連結(jié) CP由垂徑定理可知AD AC ， P ACH(或利用 P ABC ACO)又 CAH PAC，AC AP 2 2ACH APC即 AC2AH2 AP 在 Rt AOC中， AC2AH ACAOOC（ 3 ）2 32 12（或利用 AC2AO2 AB 33 4 312 AH2 AP12解法二： 存在常數(shù) k12，滿足 AH2 AP 12 設(shè) AHx，AP y 由 相 交 弦 定 理 得 HD 2 HC AH 2 HP 即(3 x 3)(3 x 3) x(y x) 化簡(jiǎn)得： xy 12 即AH2 AP 12練習(xí)：21、拋物線 y ax2 bx c（ a 0）交 x軸于點(diǎn) A（-1,0） 、B（ 3,0 ）, 交y軸于點(diǎn) C,頂點(diǎn)為 D,以BD 為直徑的 M恰好過點(diǎn) C. （1） 求頂點(diǎn) D的 坐標(biāo) （ 用 a的代數(shù)式表示 ） ；（2） 求拋物線的解析式； （3） 拋物線上是否存在點(diǎn) P 使 PBD 為直角三角 形？若存在 ,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在 ,說明理由 .2、已知拋物線 y=ax2+bx+c（a 0）與 x 軸交于不同的兩點(diǎn) A和 B（4，0）， 與