時(shí)間序列模型2匯總

1、第 2 章 時(shí)間序列模型時(shí)間序列分析方法由 Box-Jenkins （1976） 年提出。它適用于各種領(lǐng)域的時(shí)間序列分析。 時(shí)間序列模型不同于經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型的兩個(gè)特點(diǎn)是： 這種建模方法 不以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù) ，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制 描述時(shí)間序列的變化。 明確 考慮時(shí)間序列的非平穩(wěn)性 。如果時(shí)間序列非平穩(wěn)，建立模型之前應(yīng)先通過(guò)差分 把它變換成平穩(wěn)的時(shí)間序列，再考慮建模問(wèn)題。時(shí)間序列模型的應(yīng)用： （1）研究時(shí)間序列本身的變化規(guī)律（建立何種結(jié)構(gòu)模型，有無(wú)確定性趨勢(shì)，有無(wú)單位 根，有無(wú)季節(jié)性成分，估計(jì)參數(shù)） 。（ 2）在回歸模型中的應(yīng)用（預(yù)測(cè)回歸模型中解釋變量的值）。（3）時(shí)間序列模型

2、是非經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)之一（不懂時(shí)間序列模型學(xué)不好非經(jīng)典 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)） 。分節(jié)如下：1隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間序列定義2時(shí)間序列模型的分類 3自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù) 4建模步驟（識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、診斷檢驗(yàn)、案例分析） 5回歸與時(shí)間序列組合模型 6季節(jié)時(shí)間序列模型（案例分析）2.1 隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間序列 為什么在研究時(shí)間序列之前先要介紹隨機(jī)過(guò)程？就是要把時(shí)間序列的研究提高到理論 高度來(lái)認(rèn)識(shí)。 時(shí)間序列不是無(wú)源之水。 它是由相應(yīng)隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的。 只有從隨機(jī)過(guò)程的高度 認(rèn)識(shí)了它的一般規(guī)律。對(duì)時(shí)間序列的研究才會(huì)有指導(dǎo)意義。對(duì)時(shí)間序列的認(rèn)識(shí)才會(huì)更深刻。自然界中事物變化的過(guò)程可以分成兩類 。 一類是確定型過(guò)程，一類

3、是非確定型過(guò)程 。 確定型過(guò)程即可以用關(guān)于時(shí)間 t 的函數(shù)描述的過(guò)程。 例如，真空中的自由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程， 電容器通過(guò)電阻的放電過(guò)程，行星的運(yùn)動(dòng)過(guò)程等。非確定型過(guò)程即不能用一個(gè) （或幾個(gè)） 關(guān)于時(shí)間 t 的確定性函數(shù)描述的過(guò)程。 換句話說(shuō)， 對(duì)同一事物的變化過(guò)程獨(dú)立、 重復(fù)地進(jìn)行多次觀測(cè)而得到的結(jié)果是不相同的。 例如， 對(duì)河流 水位的測(cè)量。 其中每一時(shí)刻的水位值都是一個(gè)隨機(jī)變量。 如果以一年的水位紀(jì)錄作為實(shí)驗(yàn)結(jié) 果，便得到一個(gè)水位關(guān)于時(shí)間的函數(shù)xt。這個(gè)水位函數(shù)是預(yù)先不可確知的。 只有通過(guò)測(cè)量才能得到。而在每年中同一時(shí)刻的水位紀(jì)錄是不相同的。隨機(jī)過(guò)程 ：由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過(guò)程，

4、記為x （s, t） , s S , t T 。其中 S表示樣本空間， T表示序數(shù)集。對(duì)于每一個(gè) t, t T, x（, t ） 是樣本空間 S中的一個(gè)隨機(jī)變量。對(duì)于每一個(gè) s, s S , x （s, ） 是隨機(jī)過(guò)程在序數(shù)集 T 中的一次實(shí)現(xiàn)。隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)記為 xt 或 xt。隨機(jī)過(guò)程也常簡(jiǎn)稱為過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程一般分為兩類。一類是離散型的，一類是連續(xù)型的 。如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 xt 對(duì)任意的 t T 都是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱此隨機(jī)過(guò)程為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。如果一個(gè)隨機(jī) 過(guò)程 xt對(duì)任意的 t T 都是一個(gè)離散型隨機(jī)變量， 則稱此隨機(jī)過(guò)程為離散型隨機(jī)過(guò)程。 本書(shū) 只考慮離散型隨機(jī)過(guò)程 。連續(xù)型隨機(jī)過(guò)

5、程離散型平穩(wěn)的嚴(yán)(強(qiáng))平穩(wěn)過(guò)程寬平穩(wěn)過(guò)程非平穩(wěn)的嚴(yán)(強(qiáng))平穩(wěn)過(guò)程 ：一個(gè)隨機(jī)過(guò)程中若隨機(jī)變量的任意子集的聯(lián)合分布函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，即無(wú)論對(duì) T的任何時(shí)間子集( t1, t 2, ,tn)以及任何實(shí)數(shù) k, (ti + k) T, i= 1, 2, n ,都有F( x(t1), x(t2), , x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), x ,(tn+ k) )成立，其中 F() 表示 n 個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱其為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程或強(qiáng)平穩(wěn)過(guò)程。 嚴(yán)平穩(wěn)意味著隨機(jī)過(guò)程所有存在的矩都不隨時(shí)間的變化而變化。 嚴(yán)平穩(wěn)的條件是非常嚴(yán) 格的， 而且對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程， 上述聯(lián)合分布

6、函數(shù)不便于分析和使用。 因此希望給出不象強(qiáng) 平穩(wěn)那樣嚴(yán)格的條件。 若放松條件， 則可以只要求分布的主要參數(shù)相同。 如只要求從一階到 某階的矩函數(shù)相同。這就引出了寬平穩(wěn)概念。如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 m階矩以下的矩的取值全部與時(shí)間無(wú)關(guān)，則稱該過(guò)程為 m 階平穩(wěn)過(guò) 程。比如E x(ti) = E x(ti + k) = ,2Varx(ti) = Var x(ti + k) = 2 ,2Cov x(ti), x(tj) = Cov x (ti + k), x (tj + k) = i j2 ,2 2其中 , 2 和 ij2 為常數(shù)，不隨 t, (t T ); k, ( (tr + k) T, r = i,

7、j ) 變化而變化，則稱該隨 機(jī)過(guò)程 xt 為二階平穩(wěn)過(guò)程(協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程) 。 該過(guò)程屬于寬平穩(wěn)過(guò)程。如果嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的二階矩為有限常數(shù)值， 則其一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。 反之， 一個(gè)寬平穩(wěn)過(guò) 程不一定是 嚴(yán) 平穩(wěn)過(guò)程。 但對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程而言， 嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)是一致的。 這是因?yàn)檎?態(tài)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布函數(shù)完全由均值、 方差和協(xié)方差所惟一確定。 本書(shū)簡(jiǎn)稱二階平穩(wěn)過(guò)程 為平穩(wěn)過(guò)程。時(shí)間序列 ：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)稱為時(shí)間序列，也用x t 或 x t表示。與隨機(jī)過(guò)程相對(duì)應(yīng)，時(shí)間序列分類如下，連續(xù)型 * (心電圖，水位紀(jì)錄儀，溫度紀(jì)錄儀)時(shí)間序列 從相同的時(shí)間間隔點(diǎn)上取自連續(xù)變化的序列(人口序列)離散型一

8、定時(shí)間間隔內(nèi)的累集值(年糧食產(chǎn)量，進(jìn)出口額序列)時(shí)間序列中的元素稱為觀測(cè)值。 xt 既表示隨機(jī)過(guò)程，也表示時(shí)間序列。 xt 既表示隨機(jī) 過(guò)程的元素隨即變量，也表示時(shí)間序列的元素觀測(cè)值。在不致引起混淆的情況下，為方便， xt 也直接表示隨機(jī)過(guò)程和時(shí)間序列。隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間序列的關(guān)系如下所示：隨機(jī)過(guò)程 :x1,x2, , xT-1,xT,第 1 次觀測(cè)：x11,1x2 , 1 , xT-1 ,xT1第 2 次觀測(cè)：x12,2 x2 , 2 , xT-1 ,xT22第 n 次觀測(cè)： x1n, x2n, , xT-1n, xTn某河流一年的水位值， x1, x2, x, T-1, xT, ，可以看作一個(gè)

9、隨機(jī)過(guò)程。 每一年的水位紀(jì)錄 則是一個(gè)時(shí)間序列， x11, x21, ,x T-11, xT1。而在每年中同一時(shí)刻(如 t = 2 時(shí))的水位紀(jì)錄 是不相同的。 x21, x22, ,x2n, 構(gòu)成了 x2 取值的樣本空間。例如， 要記錄某市日電力消耗量， 則每日的電力消耗量就是一個(gè)隨機(jī)變量， 于是得到一 個(gè)日電力消耗量關(guān)于天數(shù) t 的函數(shù)。而這些以年為單位的函數(shù)族構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程xt, t= 1, 2, 365 。因?yàn)闀r(shí)間以天為單位，是離散的，所以這個(gè)隨機(jī)過(guò)程是離散型隨機(jī)過(guò)程。而 一年的日電力消耗量的實(shí)際觀測(cè)值序列就是一個(gè)時(shí)間序列。自然科學(xué)領(lǐng)域中的許多時(shí)間序列常常是平穩(wěn)的 。如工業(yè)生產(chǎn)中對(duì)

10、液面、 壓力、 溫度的控 制過(guò)程， 某地的氣溫變化過(guò)程， 某地 100 年的水文資料， 單位時(shí)間內(nèi)路口通過(guò)的車輛數(shù)過(guò)程 等。但經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中多數(shù)宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列卻都是非平穩(wěn)的。如一個(gè)國(guó)家的年 GDP 序列，年 投資序列，年進(jìn)出口序列等。為便于計(jì)算，先給出差分定義。差分 ：時(shí)間序列變量的本期值與其滯后值相減的運(yùn)算叫差分。差分分為一階差分和高階差分。首先給出差分符號(hào)。對(duì)于時(shí)間序列x t ，一階差分可表示為xt -xt -1 = xt = (1- L) xt = xt - L xt(2.1)其中 稱為一階差分算子 。L 稱為 滯后算子 ，其定義是 Ln xt = xt- n 。差分算子和滯后算子可以直接

11、參與運(yùn)算。二次一階差分表示為，xt= xt - xt -1= (xt - xt -1) (xt-1 - xt -2) = xt - 2 xt -1+ xt 2，或2 2xt = (1- L) 2 xt = (1 2L + L 2 ) xt = xt 2 xt-1+ xt2(2.2)k 階差分可表示為xt-xt -k = k xt = (1- Lk ) xt= xtLk xtk 階差分常用于季節(jié)性數(shù)據(jù)的差分，如 4 階差分、 12 階差分。滯后算子有如下性質(zhì)。(1)常數(shù)與滯后算子相乘等于常數(shù)。Lc = c( 2)滯后算子適用于分配律。 (Li + Lj) xt= Li xt+ Lj xt= xt

12、 -i+ xt j( 3)滯后算子適用于結(jié)合律。 Li Lj xt= Li+ j xt= xt -ij( 4)滯后算子的零次方等于 1。L0xt = xt(5)滯后算子的負(fù)整數(shù)次方意味著超前。L-i xt = xt+i下面介紹兩種基本的隨機(jī)過(guò)程(1) 白噪聲( white noise)過(guò)程( file： 5gener1， u)2白噪聲過(guò)程 ：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程 xt, t T , 如果 E(xt) = 0, Var (xt) = 2 , t T; Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) T , k 0 , 則稱 xt為白噪聲過(guò)程。圖 2.1a 由白噪聲過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列（ nr

13、nd ）圖 2.1b 日元對(duì)美元匯率的收益率序列0.30.250.20.150.10.0500 0.5 1 1.5 2 2.5 3圖 2.1c 白噪聲過(guò)程的總體譜白噪聲是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，因其均值為零，方差不變，隨機(jī)變量之間非相關(guān)。顯然上述 白噪聲是二階寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。如果xt 同時(shí)還服從正態(tài)分布，則它就是一個(gè)強(qiáng)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。白噪聲源于物理學(xué)與電學(xué)，原指音頻和電信號(hào)在一定頻帶中的一種強(qiáng)度不變的干擾聲。（ 2） 隨機(jī)游走（ random walk ）過(guò)程（ file ： 5gener1， x1 ） 對(duì)于下面的表達(dá)式圖 2.1e. 由隨機(jī)游走過(guò)程產(chǎn)生時(shí)間序列圖 2.1f. 深圳股票綜合指數(shù)“隨機(jī)游

14、走” 一詞首次出現(xiàn)于 1905 年自然（ Nature ）雜志第 72 卷 Pearson K.和 Rayleigh L.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機(jī)游走問(wèn)題” 。文中討論尋找一個(gè)被放在野地中央的 醉漢的最佳策略是從投放點(diǎn)開(kāi)始搜索。隨機(jī)游走過(guò)程的均值為零，方差為無(wú)限大。xt = xt -1 + ut = ut + ut-1 + xt -2 = ut + ut-1 + ut-2 + E(xt) = E(ut + ut-1 + ut-2 + ) = 0,Var(xt) = Var( ut + ut-1 + ut-2 + ) =t2 u所以隨機(jī)游走過(guò)程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。2.2 時(shí)間序列模型的

15、分類(1) 自回歸過(guò)程如果一個(gè)剔出均值和確定性成分的線性過(guò)程可表達(dá)為xt = 1xt-1 + 2 xt-2 + + p xt-p + ut ,(2.4)其中 i, i = 1, p 是自回歸參數(shù)，ut 是白噪聲過(guò)程，則稱 xt為 p 階自回歸過(guò)程，用 AR(p) 表示。 xt是由它的 p個(gè)滯后變量的加權(quán)和以及 ut相加而成。若用滯后算子表示(1- 1L - 2 L2 - - p Lp) xt= L) xt = ut(2.5)其中 L) = 1- 1L - 2 L2 - - p Lp稱為特征多項(xiàng)式或自回歸算子。與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是 平穩(wěn)性問(wèn)題。對(duì)于自回歸過(guò)程 AR( p)，如果其特征方程

16、z) = 1- 1 z - 2 z2 - - p z p =(1 G1 z) (1 G2 z) . (1 Gp z) = 0(2.6)的所有根的絕對(duì)值都大于 1，則 AR( p)是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。4圖 2.2 AR(1)過(guò)程( file： 5gener1， x2) xt = 1 xt-1 + utAR(1)過(guò)程分析。(2.7)保持其平穩(wěn)性的條件是特征方程(1 - 1 L) = 0 根的絕對(duì)值必須大于 1，滿足| 1/ 1| 1也就是 | 1| 1解釋如下：一階自回歸過(guò)程， xt = 1 xt-1+ ut，可寫(xiě)為(1- 1L) xt = ut xt = (1- 1 L)-1 ut在 | 1|

17、 1, L2 1 (在單位圓外)或+ ( 1 L) 1 1, 2 1(2)對(duì)于 AR(2) 模型，求特征方程的根要比 AR(1) 模型困難得多。下面利用特征方程的根與模型 +) ut若保證 AR(1)具有平穩(wěn)性，i 0 112 4 21, 2 =(1)Li必須收斂，即 1必須滿足 | 1| 1。這是容易理解的，如果| 1| 1，1iLi 發(fā)散，于是 xt 變成一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。i0由( 2.7)式有 22xt = ut + 1 ut-1 + 12 xt-2 = ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + (短記憶過(guò)程)因?yàn)?ut 是一個(gè)白噪聲過(guò)程，所以對(duì)于平穩(wěn)的AR(1) 過(guò)程E(xt)

18、 = 02 2 2 4 2 1 2 Var (xt) = u + 1 u + 1 u + =2 u1 12上式也說(shuō)明若保證 xt平穩(wěn)，必須保證 | 1| 1。例 1 ：有 AR(1) 模型xt = 0.6 x t-1 +ut 則，(1 - 0.6 L ) x t = ut1 2 3xt =ut= (1 + 0.6 L + 0.36 L2 + 0.216 L3+ )u t1 0.6L= ut + 0.6 ut-1 + 0.36 ut-2 + 0.216 ut-3 + 上式變換為一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程。(0)AR(2)過(guò)程分析。 xt = 1 xt-1+ 2 xt-2+ u t 具有平穩(wěn)性的條件

19、。對(duì)于 AR(2) 過(guò)程，特征方程式是1 - 1 L- 2 L2 = 0上式的兩個(gè)根是L1, L2 =1 12 4 2 2 2設(shè) = 1 / L，則相應(yīng)的特征方程是。2 - 1 - 2 = 0 其兩個(gè)根是參數(shù) 2， 1 的關(guān)系求保證 AR(2) 過(guò)程平穩(wěn)的 2， 1 的取值條件(或值域) 。由 (1) 式得112 4 2 112 4 21 + 2 = + = 1 2212 12 4 21 2 = - = - 244利用 (3)， (4) 式得2+ 1 = - 1 2 + ( 1 + 2) = 1 (1- 1) (1- 2 )(3)(4)無(wú)論 1, 2 為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，由2+ 1 12- 1

20、11 1, 2 0 ，從而得(5) (6)2- 1 = - 1 2 - ( 1 + 2) = 1 (1+ 1) (1+ 2 )由 (2) 和 (4) 式得(7)-1 2 0 時(shí)，L1, L2 為不等實(shí)數(shù)根。 2, 1的值位于過(guò)阻尼區(qū)(自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減) 。(3)當(dāng) 12+ 4 2 0 時(shí)，根為共軛復(fù)根。 2, 1 的值位于欠阻尼區(qū)(自相關(guān)函數(shù)呈正弦震蕩衰減) 。例 2 有 AR(2) 模型 xt = 0.7 xt -1 - 0.1 xt -2 + ut， 試判別 xt 的平穩(wěn)性。解：有 3 種方法。解法 1：(檢查 1, 2 約束條件)?1+ ?2= 0.6，- ?1+ ?2= -0.8，

21、 ?2= - 0.1，滿足條件( 5)(6)(7)，所以 xt是平穩(wěn)的。解法 2：(因式分解求根)特征方程為，由原式得 (1 - 0.7 L + 0.1 L2) xt = ut(1 - 0.7 L + 0.1 L 2) = 0(1 - 0.2 L) (1- 0.5 L) = 0特征方程的兩個(gè)根是， L1 = 5，L2 = 2。因?yàn)閮蓚€(gè)根都在單位圓之外，所以xt是平穩(wěn)的。解法 3：（觀察（ 1, 2）點(diǎn)是否落在三角區(qū)）從圖 1看，因?yàn)椋?1, 2）= （0.7, -0.1） ，落在了 AR（2） 過(guò)程的平穩(wěn)域，落在了過(guò)阻尼區(qū)， 所以 xt 為平穩(wěn)過(guò)程。例 3：有 AR（2） 模型 x t = 0

22、.6 x t-1 - 0.1 x t-2 + ut ，試判別 xt 的平穩(wěn)性。 解：解法 1：（檢查 1, 2 約束條件）?1+?2= 0.5，- ?1+ ?2= -0.7， ?2= - 0.1，滿足條件（ 5）（6）（7），所以 xt是平穩(wěn)的。解法 2：（因式分解求根）由原式得， （1 - 0.6 L + 0.1 L2 ） x t = ut ，特征方程為，（1 - 0.6 L + 0.1 L2） = 0 因?yàn)樘卣鞣匠讨懈黜?xiàng)都是實(shí)數(shù)，所以其虛根必然是共軛的。1- (0.3 - 0.1 i ) L 1- (0.3 + 0.1 i ) L = 0特征方程的兩個(gè)根是，L1=10.3 0.1i(0.3

23、 0.1i)(0.3 0.1i)(0.3 0.1i)= 3 + i，L2 =10.3 0.1i= 3 - i，過(guò)程的平穩(wěn)域，落在了欠阻尼區(qū)，因?yàn)閮蓚€(gè)根都在單位圓之外，所以 xt 是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。 解法 3：（觀察（ 1, 2）點(diǎn)是否落在三角區(qū)） 從圖 1看，因?yàn)椋?1, 2）= （0.6, -0.1） ，落在了 AR（2）所以 xt 為平穩(wěn)過(guò)程。例 4：有 AR（2） 模型 x t = 0.7 x t-1 + 0.6 x t-2 +ut ，試判別 xt的平穩(wěn)性。解：解法 1：（檢查 1, 2 約束條件）?1+ ?2 = 1.3，- ?1+ ?2= -0.1， ?2 = 0.6，條件（ 5）不

24、滿足，所以 xt是非平穩(wěn)的。解法 2：（因式分解求根）由原式得， （1 - 0.7 L - 0.6 L2） xt = ut ，特征方程為，2（1 - 0.7 z - 0.6 z 2 ） = 0（1 + 0.5 z ） （1- 1.2 z ） = 0特征方程的兩個(gè)根是， z1= -2，z2 = 0.83 。因?yàn)橐粋€(gè)根 0.83 在單位圓內(nèi)，所以 xt是一個(gè)非平 穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。解法 3：（觀察（ 1, 2）點(diǎn)是否落在三角區(qū)）從圖 1看，因?yàn)椋?1, 2）= （0.7, 0.6） ，落在了 AR（2） 過(guò)程的非平穩(wěn)域，所以 xt為非平穩(wěn) 過(guò)程。對(duì)于一般的自回歸過(guò)程 AR （ p） ，特征多項(xiàng)式2p(

25、L) = 1 - 1 L - 2 L2- - p Lp = (1 G1 L) (1 G2 L) . (1 Gp L)則 xt 可表達(dá)為xt = -1 (L) ut = (k11-G1 L+ k21-G2 Lkp+ +1-GpL)ut(2.8)其中 k1, k 2, ,kp 是待定系數(shù)。 xt具有平穩(wěn)性的條件是-1 (L) 必須收斂，即應(yīng)有 | Gi | 1。由上式可看出一個(gè)平穩(wěn)的 AR( p)過(guò)程可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程(p 個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)之和)。保證 AR(p) 過(guò)程平穩(wěn)的一個(gè)必要但不充分的條件是 p 個(gè)自回歸系數(shù)之和要小于 1，即pi i1重新分析隨機(jī)游走過(guò)程。因?yàn)? = 1，所以隨

26、機(jī)游走過(guò)程是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。(2) 移動(dòng)平均過(guò)程如果一個(gè)剔出均值和確定性成分的線性隨機(jī)過(guò)程可用下式表達(dá)xt = ut + 1 ut 1 + 2 ut -2 + + q ut q= (1 + 1L + 2 L2 + + q Lq) ut = L) ut(2.9)其中 1, 2, , q是回歸參數(shù)， ut為白噪聲過(guò)程，則上式稱為q 階移動(dòng)平均過(guò)程，記為MA( q) 。之所以稱“移動(dòng)平均” ，是因?yàn)?xt是由 q +1 個(gè) ut和 ut 滯后項(xiàng)的加權(quán)和構(gòu)造而成。 “移動(dòng)”指 t 的變化，“平均”指加權(quán)和。由定義知任何一個(gè) q 階移動(dòng)平均過(guò)程都是由 q + 1 個(gè)白噪聲變量的加權(quán)和組成， 所以任

27、 何一個(gè)移動(dòng)平均過(guò)程都是平穩(wěn)的。與移動(dòng)平均過(guò)程相聯(lián)系的一個(gè)重要概念是 可逆性。移動(dòng)平均過(guò)程具有可逆性的條件是特 征方程。z) = (1 + 1 z + 2 z2 + + q zq)= 0(2.10)的全部根的絕對(duì)值必須大于 1。由 (2.9) 有 L)-1xt = ut。由于 L) 可表示為L(zhǎng)) = (1 H1L) ( 1 H2L) 1( HqL)所以有-1m1 m2mqL)-1 =(1+ 2+q), (2.11)1 H1L 1 H 2L1 HqLmi 為待定參數(shù)?？梢?jiàn)保證 MA( q)過(guò)程可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階自回歸過(guò)程，即MA( q)具有可逆性的條件 L)-1收斂。對(duì)于 | L | 1，必須

28、有|Hj| 1，j = 1，2，q成立。 -1而Hj -1是特征方程L) = (1 H1L) ( 1 H2L) 1( HqL) = 0 的根，所以 MA( q)過(guò)程具有可逆性的條件是特征方程L) = 0 的根必須在單位圓之外。 (因?yàn)?x t = L) ut是平穩(wěn)的，如果變換成L)-1xt = ut 后，變得不平穩(wěn)，顯然失去可逆性。 )注意，對(duì)于無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程xt =( i u t -i = ut (1+ 1 L + i02L 2 + )其方差為Var(xt) =(2i2 Var (ut i) =u2 i2i0i0(2.12)(2.13)很明顯雖然有限階移動(dòng)平均過(guò)程都是平穩(wěn)的， 但對(duì)于無(wú)

29、限階移動(dòng)平均過(guò)程還須另加約束條件 才能保證其平穩(wěn)性。這條件就是 x t的方差必須為有限值，即i2i0MA( q) 過(guò)程中最常見(jiàn)的是一階移動(dòng)平均過(guò)程，xt = (1+ 1 L) ut(2.14)其具有可逆性的條件是( 1 + 1L) = 0 的根(絕對(duì)值)應(yīng)大于 1，即 |1/ 1| 1, 或| 1| 1。 當(dāng)| 1| 1時(shí)， MA(1)過(guò)程( 2.14)應(yīng)變換為12 2 3 3ut= (1+ 1L) 1xt = (1 - 1L + 12L2- 13L3 + ) xt(2.15)這是一個(gè)無(wú)限階的以幾何衰減特征為權(quán)數(shù)的自回歸過(guò)程。MA(1) 過(guò)程分析。3圖 2.3 MA(1) 過(guò)程( file ：

30、 5gener1， x5)E(x t) = E(ut) + E( 1 ut - 1) = 02 2Var(xt) = Var(ut) + Var( 1 ut 1) = (1+ 12 ) u2自回歸與移動(dòng)平均過(guò)程的關(guān)系 一個(gè)平穩(wěn)的 AR( p)過(guò)程(1 - 1L - 2L2 - - pLp ) xt = ut 可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程，xt = (1 - 1L - 2L2 - - pLp)-1 u t =L)-1 ut 一個(gè)可逆的 MA( q)過(guò)程xt= (1 + 1L + 2L2+ + q Lq ) ut = L)ut 可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的自回歸過(guò)程，102 q -1 -1(1 +

31、1L + 2L2+ + q Lq)-1 xt = L) -1 xt= ut 對(duì)于 AR( p)過(guò)程只需考慮平穩(wěn)性問(wèn)題，條件是L)= 0 的根(絕對(duì)值)必須大于 1。不必考慮可逆性問(wèn)題。 對(duì)于 MA( q)過(guò)程，只需考慮可逆性問(wèn)題， 條件是 L) = 0的根(絕對(duì)值)必須大于 1， 不必考慮平穩(wěn)性問(wèn)題。(3) 自回歸移動(dòng)平均過(guò)程 由自回歸和移動(dòng)平均兩部分共同構(gòu)成的隨機(jī)過(guò)程稱為自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，記為ARMA( p, q), 其中 p, q分別表示自回歸和移動(dòng)平均部分的最大階數(shù)。 ARMA( p, q) 的一般表 達(dá)式是xt = 1xt-1 + 2xt-2 + p xt-p + ut + 1ut-

32、1 + 2 ut-2 + .+ q ut-q(2.16)即(1 - 1L - 2 L2 - - pLp ) xt = (1 + 1 L + 2 L2+ + q Lq ) ut 或(L) xt = (L) ut(2.17)其中 (L) 和 (L) 分別表示 L 的 p, q階特征多項(xiàng)式。ARMA( p, q) 過(guò)程的平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分， 即 (L) = 0 的全部根取值在單位圓 之外(絕對(duì)值大于 1)。其可逆性則只依賴于移動(dòng)平均部分，即(L) = 0 的根取值應(yīng)在單位圓之外。圖 2.4 ARMA(1,1) 過(guò)程( file ：5gener1， x7)圖 2.5 ARIMA(1,1,1)

33、過(guò)程實(shí)際中最常用的是 ARMA(1, 1) 過(guò)程。xt - 1xt-1 = ut + 1 ut - 1(2.18)或(1 - 1 L)xt =(1 + 1 L)ut很明顯只有當(dāng) 1 1 1和1 1 1 時(shí)，上述模型才是平穩(wěn)的，可逆的。(4) 單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程以上介紹了三種平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于 ARMA 過(guò)程(包括 AR 過(guò)程)，如果特征方程 (L) = 0 的全部根取值在單位圓之外， 則該過(guò)程是平穩(wěn)的；如果若干個(gè)或全部根取值在單位 圓之內(nèi)，則該過(guò)程是強(qiáng)非平穩(wěn)的。例如，xt = 1.3 xt-1 + ut特征方程的根 = 1/ 1.3 = 0.77 )上式兩側(cè)同減 xt-1得xt = 0.

34、3 xt-1 + ut11 仍然非平穩(wěn)。 除此之外還有第三種情形， 即特征方程的若干根取值恰好在單位圓上。 這種根 稱為單位根，這種過(guò)程也是非平穩(wěn)的。下面介紹這種重要的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程含有 d個(gè)單位根，其經(jīng)過(guò) d 次差分之后可以變換為一個(gè)平穩(wěn)的自回歸 移動(dòng)平均過(guò)程。則該隨機(jī)過(guò)程稱為單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。伯克斯詹金斯積數(shù)十年理論與實(shí)踐的研究指出，時(shí)間序列的非平穩(wěn)性是多種多樣的， 然而幸運(yùn)的是經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常常具有這種特殊的線性齊次非平穩(wěn)特性(即參數(shù)是線性的，xt及其滯后項(xiàng)都是一次冪的) 。對(duì)于一個(gè)非季節(jié)性經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常?？梢杂煤幸粋€(gè)或多個(gè)單 位根的隨機(jī)過(guò)程模型描述?？紤]如下模型

35、(L) d yt = (L) ut(2.19)其中 (L) 是一個(gè)平穩(wěn)的自回歸算子。即(z) = 0 的根都大于 1。 (L)表示可逆的移動(dòng)平均算子。若取xt = d yt(2.20)則( 2.19 )可表示為(L) xt = (L) ut(2.21)說(shuō)明 yt 經(jīng)過(guò) d 次差分之后，可用一個(gè)平穩(wěn)的、可逆的 ARMA 過(guò)程 xt 表示。隨機(jī)過(guò)程 yt 經(jīng)過(guò) d 次差分之后可變換為一個(gè)以(L)為 p 階自回歸算子， (L)為 q 階移動(dòng)平均算子的平穩(wěn)、可逆的隨機(jī)過(guò)程，則稱yt 為(p, d, q)階單整(單積)自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，記為 ARIMA ( p, d, q)。這種取名的目的是與以后各章

36、中的稱謂相一致。ARIMA 過(guò)程也稱為 綜合自回歸移動(dòng)平均過(guò)程 。其中 (L) d稱為 廣義自回歸算子 。(2.19) 是隨機(jī)過(guò)程的一般表達(dá)式。當(dāng) p 0, d = 0, q 0 時(shí)，( 2.19)變成 ARMA ( p, q) 過(guò)程，d = 0, p = 0, q 0時(shí)， ARIMA 過(guò)程變成 AM( q)過(guò)程；而當(dāng) p = d = q = 0 時(shí)， ARIMA 過(guò)程變成白噪聲過(guò)程。做 d yt = xt 的逆運(yùn)算yt= S dxt(2.22)其中 S是無(wú)限累加(積分)算子。當(dāng)d = 1 時(shí)，S xt 定義如下t2 -1 -1S xt =xi = (1 + L + L2+ )xt = (1

37、L)-1 xt= -1 xt = yt.(2.23)i則S = (1 L)-1 = -1 (2.24)單整 ( 單積 ) 與差分互為逆運(yùn)算。例 5：以 yt = yt-1 + xt, y0 = 0 為例， xt中元素的逐步疊加，得到的是 yt 序列。而 yt 的差分運(yùn)算得到的是 xt 序列。y1 = x1y2 = x2 + x1 y3 = x3 +x2 + x1yt-1 = xt-1 + + x3 +x2 + x1yt= xt + xt-1 + + x3 +x2 + x1可見(jiàn) S是 的逆運(yùn)算。 (2.23)表明隨機(jī)過(guò)程 xt 經(jīng)過(guò)逐步疊加之后可以得到y(tǒng)t。每次疊加類12 似于連續(xù)函數(shù)的一次積分

38、，這就是為什么稱 AR1MA 過(guò)程為單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。 “單 整”在這里就是積分的意思?，F(xiàn)在容易理解，隨機(jī)游走過(guò)程( 2.3)就是由白噪聲過(guò)程累加一次而得到的。 給出若干具體的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程如下：1. ARIMA (0, 1, 1) 過(guò)程yt = ut + 1 ut 1 = (1 + 1L)ut其中 p = 0，d = 1，q = 1， (L) = 1， (L) = 1+ 1 L。2. ARIMA(1, 1, 0) 過(guò)程yt - 1 yt 1 = u t其中 p = 1，d = 1，q = 0， (L) = 1 - 1 L， (L) = 1。3. ARIMA(1,1,1) 過(guò)程yt -

39、1 yt -1 = ut + 1 ut -1或(1 - 1 L) yt 1= (1 + 1L) ut其中 p = 1, d = 1, q = 1， (L) = 1 - 1 L， (L) = 1+ 1 L。對(duì)于非季節(jié)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列 p, d, q 的取值很少有大于 2的情景。這些參數(shù)的常見(jiàn)取值是 0、 1 和 2。( 5)Wold 分解定理： 任何協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程 xt，都可以被表示為xt - - dt= ut+ 1 ut-1+ 2 ut-2 + + =jut jj0其中 表示 xt 的期望。 dt 表示 xt的線性確定性成分，如周期性成分、時(shí)間t 的多項(xiàng)式和指2數(shù)形式等，可以直接用 xt的滯后值預(yù)

40、測(cè)。 0= 1，j2 。 ut為白噪聲過(guò)程。 ut表示j0用 xt 的滯后項(xiàng)預(yù)測(cè) xt 時(shí)的誤差。ut = xt - E(xt xt-1, xt-2 , )j 0 j ut j 稱為 xt 的線性非確定性成分。當(dāng) dt = 0 時(shí)，稱 xt 為純線性非確定性過(guò)程。Wold 分解定理由 Wold 在 1938年提出。 Wold 分解定理只要求過(guò)程 2階平穩(wěn)即可。 從原 理上講，要得到過(guò)程的 Wold 分解，就必須知道無(wú)限個(gè)j 參數(shù)，這對(duì)于一個(gè)有限樣本來(lái)說(shuō)是不可能的。 實(shí)際中可以對(duì) j做另一種假定， 即可以把 (L)看作是 2 個(gè)有限特征多項(xiàng)式的比，j(L) 11L2L2.qLq(L) =jLj=(L) =12qj 0j(L) 11L2L2.p Lp注意， 無(wú)論原序列中含有何種確定性成分， 在前面介紹的模型種類和后面介紹的自相關(guān) 函數(shù)、偏自相關(guān)